常微分第一章-緒論教學(xué)案例

常微分方程模型

-----常微分方程的應(yīng)用主要內(nèi)容第一章緒論基本概念和常微分方程的發(fā)展歷史在初等數(shù)學(xué)中，我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)代數(shù)方程，三角方程，指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程等等。在高等代數(shù)中，我們又學(xué)習(xí)了高次代數(shù)方程，n元線(xiàn)性代數(shù)方程組。這些方程(組)有一個(gè)共同點(diǎn)，就是作為未知而需要求出來(lái)的是一個(gè)或幾個(gè)特定的值(稱(chēng)為方程的根或解)。這樣的方程我們把它們稱(chēng)為初等方程（包含代數(shù)方程和超越方程）。第一節(jié)常微分方程模型一、微分方程概念的引進(jìn)例如數(shù)學(xué)分析中的隱函數(shù)問(wèn)題，就是在一定條件下，由方程(*)來(lái)確定隱函數(shù)，上述方程(*)是眾所周知的隱函數(shù)方程，它是函數(shù)方程中最簡(jiǎn)單的一種。而隱函數(shù)就是所要求的未知函數(shù)。而在高等數(shù)學(xué)中，常常需要研究的是另外一類(lèi)性質(zhì)上完全不同的方程。在這類(lèi)方程中,作為未知而需要求出來(lái)的已經(jīng)不是一個(gè)或幾個(gè)特定的值，而是一個(gè)函數(shù)。我們稱(chēng)這類(lèi)方程為高等方程也稱(chēng)它為函數(shù)方程。因?yàn)樵谘芯窟@些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，往往不能直接找到所研究的那些量之間的依賴(lài)關(guān)系，但是卻能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)含的某些規(guī)律，建立起它們和它們的變化率(導(dǎo)數(shù))之間的關(guān)系式。

數(shù)學(xué)分析中所研究的函數(shù),是反映客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過(guò)程中量與量之間的一種關(guān)系。但是在大量實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)于稍為復(fù)雜一些的運(yùn)動(dòng)過(guò)程,反映運(yùn)動(dòng)規(guī)律的量與量之間的關(guān)系(即函數(shù))往往不能直接寫(xiě)出來(lái),卻比較容易建立這些變量和它們的導(dǎo)數(shù)(或微分)之間的關(guān)系式。于是，我們把包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程叫做微分方程。二、實(shí)際問(wèn)題的常微分方程模型問(wèn)題一：將某物體放置于空氣中，在時(shí)刻時(shí)，測(cè)量得它的溫度為，10分鐘后測(cè)量得溫度為問(wèn)題與要求：決定此物體的溫度和時(shí)間的關(guān)系基本假設(shè)：空氣的溫度保持為.分析：了解有關(guān)物體溫度變化的基本規(guī)律：熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)；在一定的溫度范圍內(nèi)(其中包括了上述問(wèn)題的溫度在內(nèi))，一個(gè)物體的溫度變化速度與這一物體和其所在介質(zhì)溫度的差值成比例，這就是牛頓（Newton）冷卻定律。假設(shè)：設(shè)物體在時(shí)刻t的溫度為，則溫度的變化速度為。注意到熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)的。因而，所以溫差恒正；又因物體將隨時(shí)間而逐漸冷卻，故溫度變化速度恒為負(fù)。因此由牛頓冷卻定律得其中k是比例常數(shù)，方程(1.1)就是物體冷卻過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，它含有未知函數(shù)u及它的(一階)導(dǎo)數(shù)，這樣的方程，就稱(chēng)為(一階)微分方程。將(1.1)改寫(xiě)成變量u和t被分離出來(lái)了,對(duì)上式兩邊積分得由此，令，有代入初始條件，并整理得到解曲線(xiàn)其中是積分常數(shù)，對(duì)上式進(jìn)行變形又得到：圖解評(píng)注：符合實(shí)際情況，真實(shí)地反映了物理現(xiàn)象：高溫物體在低溫環(huán)境中的溫度變化過(guò)程和情況。問(wèn)題二：R-L電路電流方程:MQOAPmg問(wèn)題三：R-L-C電路電流方程:問(wèn)題四：數(shù)學(xué)擺（下圖）的運(yùn)動(dòng)方程(下面三個(gè)方程)。前面我們介紹了微分方程的一些物理背景，其實(shí)在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的其它領(lǐng)域，例如化學(xué)、生物學(xué)、自動(dòng)控制、電子技術(shù)、分支、混沌、非線(xiàn)性振動(dòng)等學(xué)科中，都提出了大量的微分方程問(wèn)題。同樣在社會(huì)科學(xué)的一些領(lǐng)域里也存在著微分方程的問(wèn)題。因此，微分方程是一門(mén)與實(shí)際聯(lián)系比較密切的數(shù)學(xué)課程，應(yīng)該注意它的實(shí)際背景與應(yīng)用；而作為一門(mén)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，又應(yīng)該把重點(diǎn)放在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究微分方程本身的問(wèn)題上。第一章緒論第二章一階微分方程的初等解法第三章一階微分方程的解的存在定理第四章高階微分方程第五章線(xiàn)性微分方程組第六章非線(xiàn)性微分方程定性、穩(wěn)定性理論第七章一階線(xiàn)性偏微分方程常微分方程課程的基本內(nèi)容：教材：王高雄等編，常微分方程（第三版），高教出版社，2006《常微分方程》，東北師范大學(xué)微分方程教研室編，高等教育出版社，2005《常微分方程教程》，丁同仁等編，高等教育出版社，1991《常微分方程習(xí)題解》(第1版)，莊萬(wàn)，山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004《微分方程數(shù)值解法》,李榮華，高等教育出版社，2005《微分方程模型與混沌》，王樹(shù)禾編著，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1999主要參考書(shū)第二節(jié)微分方程的基本概念定義聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及它的導(dǎo)數(shù)(或微分)的關(guān)系式稱(chēng)為微分方程。1.微分方程注微分方程是函數(shù)方程，其中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分必不可少。不定積分問(wèn)題可以用方程的概念敘述為假設(shè)是自變量的連續(xù)函數(shù),試求函數(shù)使其滿(mǎn)足微分方程方程（**）就是一個(gè)典型的微分方程。2.什么是常微分方程？定義所討論的微分方程，當(dāng)未知函數(shù)是一元函數(shù)時(shí),稱(chēng)為常微分方程，而未知函數(shù)是多元函數(shù)時(shí)，稱(chēng)為偏微分方程。偏微分方程：常微分方程：一階，非線(xiàn)性二階，線(xiàn)性一階，線(xiàn)性二階，非線(xiàn)性常微分方程是古老的數(shù)學(xué)分支之一，它與動(dòng)力系統(tǒng)緊密相關(guān)并有相當(dāng)重要的應(yīng)用價(jià)值。如分支問(wèn)題、混沌問(wèn)題、非線(xiàn)性振動(dòng)的復(fù)雜性等等。常微分方程與其他學(xué)科也緊密相關(guān)。偏微分方程是研究客觀現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量間相互制約關(guān)系的有力工具，它的研究對(duì)象來(lái)源于數(shù)學(xué)的其它分支和自然科學(xué)及工程技術(shù)中的有關(guān)問(wèn)題。在上個(gè)世紀(jì)中偏微分方程的理論取得了重大進(jìn)展，但是關(guān)于偏微分方程初始邊值問(wèn)題適定性還有許多問(wèn)題有待進(jìn)一步的研究。3.微分方程的階

定義微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱(chēng)為微分方程的階數(shù)。n階常微分方程的一般形式為

這里是的已知函數(shù)，一定含有；是未知函數(shù)，是自變量。4.線(xiàn)性和非線(xiàn)性定義如果微分方程對(duì)未知函數(shù)和出現(xiàn)的各階導(dǎo)數(shù)而言是一次有理整式，則稱(chēng)此微分方程為線(xiàn)性微分方程，否則稱(chēng)為非線(xiàn)性微分方程。參見(jiàn)上述各例。n階線(xiàn)性微分方程的一般形式為

這里是的已知函數(shù)。5.解和隱式解如果可微函數(shù)代入方程（1.12）后，能使它變?yōu)楹愕仁?，則稱(chēng)函數(shù)為方程（1.12）的解。定義如果由關(guān)系式所確定的隱函數(shù)是微分方程（1.12）的解，則稱(chēng)關(guān)系式為微分方程（1.12）的積分或隱式解。6.通解和特解定義把含有個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱(chēng)為階方程（1.12）的通解

類(lèi)似地可以定義n階方程（1.12）的隱式通解。為了方便，通常我們不對(duì)解和隱式解，通解和隱式通解加以區(qū)分，統(tǒng)稱(chēng)為方程（1.12）的解，通解。定解條件：為了確定微分方程一個(gè)特定的解而給出這個(gè)解所必需滿(mǎn)足的條件。常見(jiàn)的定解條件就是初始條件和邊界條件。初始條件所謂n階微分方程（1.12）的初始條件是指如下的n個(gè)條件：當(dāng)時(shí)，定解問(wèn)題:求微分方程滿(mǎn)足定解條件（初始條件）的解初值問(wèn)題(柯西Cauchy問(wèn)題)：當(dāng)定解條件是初始條件時(shí)，相應(yīng)的定解問(wèn)題就稱(chēng)為初值問(wèn)題。這是本課程討論的重點(diǎn)。特解把滿(mǎn)足初始條件的解稱(chēng)為微分方程的特解。說(shuō)明：初始條件不同，對(duì)應(yīng)的特解也不同，一般來(lái)說(shuō)，特解可以通過(guò)初始條件的限制，從通解中確定任意常數(shù)而得到。定義一階微分方程

的解

代表xy平面上的一條曲線(xiàn)，就稱(chēng)之為微分方程的積分曲線(xiàn)。（1.17）而微分方程的通解代表xy平面上的一族曲線(xiàn)，就稱(chēng)之為微分方程的積分曲線(xiàn)族。7.積分曲線(xiàn)和方向場(chǎng)__一階微分方程的幾何意義

積分曲線(xiàn)

滿(mǎn)足初始條件的特解就是通過(guò)點(diǎn)的一條積分曲線(xiàn)。

為方程（1.17）的積分曲線(xiàn)的充要條件是其上每一點(diǎn)上的切線(xiàn)斜率剛好等于函數(shù)在這點(diǎn)的值.方向場(chǎng)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，在每一點(diǎn)處畫(huà)上一個(gè)有向小線(xiàn)段，其斜率等于在該點(diǎn)的值，把帶有這種直線(xiàn)段的區(qū)域稱(chēng)為由方程（1.17）規(guī)定的方向場(chǎng)，又稱(chēng)向量場(chǎng)。等斜線(xiàn)在方向場(chǎng)中，方向相同的點(diǎn)的幾何軌跡稱(chēng)為等斜線(xiàn)（等傾斜線(xiàn)）。方向場(chǎng)畫(huà)法適當(dāng)畫(huà)出若干條等斜線(xiàn)，再在每條等斜線(xiàn)上適當(dāng)選取若干個(gè)點(diǎn)畫(huà)出對(duì)應(yīng)的方向向量,這樣即可畫(huà)出這個(gè)方向場(chǎng).例畫(huà)出方程所確定的方向場(chǎng)示意圖.解方程的等斜線(xiàn)為畫(huà)出五條等斜線(xiàn),再在每條等斜線(xiàn)上適當(dāng)選取若干個(gè)點(diǎn)，畫(huà)出對(duì)應(yīng)的方向向量，得右圖所示的方向場(chǎng)。根據(jù)方向場(chǎng)可大致描繪出積分曲線(xiàn)．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，(0,0)，(0,-1)的三條積分曲線(xiàn)．如右圖所示。圖1.2等斜線(xiàn)積分曲線(xiàn)：圖中實(shí)線(xiàn)例討論微分方程的積分曲線(xiàn)的分布等斜線(xiàn)是雙曲線(xiàn)：積分曲線(xiàn)的分布概況如右圖.拐點(diǎn)所在的曲線(xiàn)8.微分方程組定義由含有若干未知函數(shù)的若干個(gè)微分方程聯(lián)立而成的數(shù)學(xué)式子稱(chēng)為微分方程組。Lorenz方程組Volterra兩種種群競(jìng)爭(zhēng)模型(1.18)(1.19)高階微分方程的顯式形式如果把都理解為未知函數(shù)，并作變換上述高階微分方程就可以化為下列微分方程組并可以記為向量形式其中均為向量函數(shù)．說(shuō)明：微分方程（組）的向量形式為以后用線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)進(jìn)行研究討論提供了方便。可以化為微分方程組9.駐定與非駐定方程組、動(dòng)力系統(tǒng)如果方程組的右端不顯含有自變量，即則稱(chēng)其為駐定(自治)的，否則就稱(chēng)為非駐定的(非自治)的。注：對(duì)于非駐定方程組總可以引入變換變?yōu)轳v定方程組。把滿(mǎn)足恒同性和可加性的映射族稱(chēng)為動(dòng)力系統(tǒng)。動(dòng)力系統(tǒng)分為離散和連續(xù)兩種類(lèi)型，對(duì)應(yīng)有離散動(dòng)力系統(tǒng)和連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)。和結(jié)論記為單參數(shù)的上的映射(變換)族，則該映射族滿(mǎn)足恒同性和可加性，即：（1.20）10.相空間、奇點(diǎn)和軌線(xiàn)相空間：不含自變量、僅由未知函數(shù)組成的空間稱(chēng)為相空間。奇點(diǎn)：f(y)=0的解稱(chēng)為駐定微分方程組（1.20）的平衡解（駐定解、常數(shù)解）或奇點(diǎn)（平衡點(diǎn)）。軌線(xiàn)：積分曲線(xiàn)在相空間中的投影稱(chēng)為軌線(xiàn)。對(duì)于方程組此時(shí)相空間為相平面,可以利用f(x,y)=0和g(x,y)=0所確定的垂直和水平等斜線(xiàn)劃分相平面，而在所得區(qū)域上判斷軌線(xiàn)的走向,討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.11.雅可比矩陣與函數(shù)相關(guān)性當(dāng)時(shí)，稱(chēng)雅可比矩陣對(duì)應(yīng)的行列式為雅可比行列式，記為雅可比矩陣:對(duì)于個(gè)變?cè)膫€(gè)函數(shù)定義雅可比矩陣為常微分方程發(fā)展歷史大致分為如下四個(gè)階段:1)17世紀(jì)至18世紀(jì),微分方程發(fā)展初期,求通解時(shí)代.2)19世紀(jì)初中葉,轉(zhuǎn)向求特解時(shí)代,存在唯一性,微分方程的解析理論,近似解法3)19世紀(jì)末到20世紀(jì)5