克拉默法則課件

克拉默法則克拉默法則含有n個(gè)方程的n元線性方程組的一般形式為其中，aij(i,j=1,2,…,n)是未知數(shù)xj(j=1,2,…,n)的系數(shù)，bj(j=1,2,…,n)是自由項(xiàng)．未知數(shù)的系數(shù)構(gòu)成的行列式（4-1）稱為方程組（4-1）的系數(shù)行列式．對(duì)于n×n線性方程組，我們有下面的結(jié)論：定理4-1［克拉默（Cramer）法則］

對(duì)于n元線性方程組（4-1），當(dāng)其系數(shù)行列式D≠0時(shí)，有且僅有唯一解其中，Dj(j=1,2,…,n)是將系數(shù)行列式D中第j列元素a1j,a2j,…,anj對(duì)應(yīng)地?fù)Q為方程組的常數(shù)項(xiàng)b1,b2,…,bn后得到的行列式，即證明

對(duì)n元線性方程組（4-1）的第i(i=1,2,…,n)個(gè)方程兩邊乘以Aik（元素aik的代數(shù)余子式）然后相加，得(a11A1k+a21A2k+…+an1Ank)x1+…+(a1kA1k+a2kA2k+…+ankAnk)xk+…+

(a1nA1k+a2nA2k+…+annAnk)xn=b1A1k+b2A2k+…+bnAnk

由行列式的性質(zhì)，上式中對(duì)j≠k的xj，其系數(shù)為a1jA1k+a2jA2k+…+anjAnk=0而xj的系數(shù)即為系數(shù)行列式D，因故式（4-

1）的右端項(xiàng)可對(duì)照上式寫為這是在系數(shù)行列式D中，第j列元素a1j,a2j,…,anj對(duì)應(yīng)地?fù)Q為方程組的常數(shù)項(xiàng)b1,b2,…,bn后得到的行列式，記作Dj(j=1,2,…,n)，于是式（4-1）可寫成Dxk=Dk令k分別等于1，2，…，n，則得證畢.用克拉默法則求解線性方程組解先求系數(shù)行列式：【例4-1】由克拉默法則，可知方程組有唯一解.此時(shí)所以用克拉默法則求解一個(gè)n×n的線性方程組時(shí)，需要計(jì)算n+1個(gè)n階行列式，一般來(lái)講，其計(jì)算量大大超過(guò)下一節(jié)要講的高斯消元法的計(jì)算量，因此該法則適用于解未知數(shù)個(gè)數(shù)較少的線性方程組．但這毫不影響克拉默法則的重要性及其理論價(jià)值.當(dāng)線性方程組自由項(xiàng)b1,b2,…,bn不全為0時(shí)，稱該方程組為非齊次線性方程組；當(dāng)b1,b2,…,bn全為0時(shí)，稱該方程組為齊次線性方程組．n×n齊次線性方程組的一般形式為顯然，齊次線性方程組總是有解的，因?yàn)閤j=0(j=1,2,…,n)就是一個(gè)解，稱它為零解．對(duì)于方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相同的齊次線性方程組，應(yīng)用克拉默法則有如下兩個(gè)明顯的推論：推論4-1

若n×n齊次線性方程組的系數(shù)行列式D≠0，則它只有零解．推論4-2

若n×n齊次線性方程組有非零解，則必有D=0．問λ取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解.解由推論4-2可知，若齊次方程組有非零解，則其系數(shù)行列式D=0．而【例4-2】三家物流公司A1，A2，A3為運(yùn)輸需要，他們同意彼此實(shí)行資源共享，由于運(yùn)輸工具與成本各異，他們達(dá)成了如下協(xié)議：（1）每個(gè)公司總共工作10天（包括給自己家運(yùn)輸在內(nèi)）.（2）每個(gè)公司的日資金根據(jù)測(cè)算在60萬(wàn)～80萬(wàn)元.（3）每個(gè)公司的日資金數(shù)應(yīng)使得每個(gè)公司的總收入與總支出相等．【例4-3】表4-1是他們協(xié)商后制訂出的工作天數(shù)的分配方案，如何計(jì)算出每個(gè)公司應(yīng)得的日資金？

解

下面進(jìn)行問題分析與模型建立：設(shè)x1表示公司A1的日資金，x2表示公司A2的日資金，x3表示公司A3的日資金．公司A1的10個(gè)工作日總收入為10x1，公司A1、公司A2和公司A3三家公司在公司A1的工作天數(shù)分別為2天、1天、6天，則公司A1的總支出為2x1+x2+6x3（萬(wàn)元）．由于公司A1總支出與總收入要相等，于是公司A1的收支平衡關(guān)系為2x1+x2+6x3=10x1．同理可得線性方程組：移項(xiàng)得三家公司的日資金數(shù)應(yīng)滿足如下的齊次線性方程組：解齊次線性方程組，得它的通解為