2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)8空間中直線與直線之間的位置關(guān)系新人教A版必修2

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)8空間中直線與直線之間的位置關(guān)系基礎(chǔ)鞏固1．若空間三條直線a，b，c滿意a⊥b，b∥c，則直線a與c()A．肯定平行 B．肯定相交C．肯定是異面直線 D．肯定垂直解析：因?yàn)閍⊥b，b∥c，則a⊥c，故選D.答案：D2．a(chǎn)、b為異面直線是指①a∩b＝?，且a不平行于b；②a?平面α，b?平面α，且a∩b＝?；③a?平面α，b?平面β，且α∩β＝?；④不存在平面α能使a?α，且b?α成立．()A．①②③ B．①③④C．②③ D．①④解析：②③中的a，b有可能平行，①④符合異面直線的定義．答案：D3．三棱錐的對(duì)角線相互垂直相等，順次連接這個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)，所組成的四邊形是()A．梯形 B.矩形C．平行四邊形 D.正方形圖1解析：如圖1所示，因?yàn)锽D⊥AC，且BD＝AC，又因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別為對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，所以FG綊EH綊eq\f(1,2)BD，HG綊EF綊eq\f(1,2)AC.所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四邊形EFGH為正方形．答案：D4．若直線a∥b，b∩c＝A，則a與c的位置關(guān)系是()A．異面 B．相交C．平行 D．異面或相交解析：a與c不行能平行，否則由a∥b，得b∥c與b∩c＝A沖突．故選D.答案：D5．(2024年綿陽高一檢測)若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是()A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1C．OB與O1B1不平行 D．OB與O1B1不肯定平行解析：如圖2甲，∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，但OB與O1B不平行，故A、B解除；如圖2乙，∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，此時(shí)OB∥O1B1，故C解除．答案：D圖36．如圖3，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，AD的中點(diǎn)，∠GEF＝120°，則BD和AC所成角的度數(shù)為________.解析：依題意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其補(bǔ)角即為異面直線AC與BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以異面直線BD與AC所成的角為60°.答案：60°實(shí)力提升1．如圖4，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是()圖4A．CC1與B1E是異面直線B．C1C與AE共面C．AE，B1C1是異面直線D．AE與B1C1所成的角為60°解析：由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，所以A錯(cuò)誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn)，點(diǎn)E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯(cuò)誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點(diǎn)，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，D錯(cuò)誤．答案：C2．(2024年安徽宿州十三校聯(lián)考)在正方體ABCD-A1B1C1D1的全部面對(duì)角線中，與AB1成異面直線且與AB1成60°的有()A．1條 B．2條 C．3條D．4條解析：如圖5，△AB1C是等邊三角形，所以每個(gè)內(nèi)角都為60°，所以面對(duì)角線中，全部與B1C平行或與AC平行的直線都與AB1成60°角．所以異面的有2條．又△AB1D1也是等邊三角形，同理滿意條件的又有2條，共4條，選D.圖5答案：D3．如圖6，在四面體S-ABC中，G1，G2分別是△SAB和△SAC的重心，則直線G1G2與BC的位置關(guān)系是()圖6A．相交 B．平行C．異面 D．以上都有可能解析：連接SG1，SG2并延長，分別與AB，AC交于點(diǎn)M，N，連接MN，則M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，由重心的性質(zhì)，知eq\f(SG1,SM)＝eq\f(SG2,SN)，∴G1G2∥MN.又M，N分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴MN∥BC，再由平行公理可得G1G2∥BC，故選B.答案：B4．如圖7所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是()A．45° B．60°C．90° D．120°圖7

圖8解析：連接AB1，易知AB1∥EF，連接B1C，B1C與BC1交于點(diǎn)G，取AC的中點(diǎn)H，連接GH，則GH∥AB1∥EF.設(shè)AB＝BC＝AA1＝a，連接HB，在三角形GHB中，易知GH＝HB＝GB＝eq\f(\r(2),2)a，故所求的兩直線所成的角即為∠HGB＝60°.答案：B5．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，有下列結(jié)論：①∠BAC＝∠B′A′C′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.則肯定成立的是________(填序號(hào))．解析：因?yàn)锳B∥A′B′，AC∥A′C′，所以∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°答案：③6．如圖9，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則當(dāng)AC，BD滿意條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形；當(dāng)AC，BD滿意條件________時(shí)，四邊形EFGH是正方形．圖9解析：由圖易證：EF綊eq\f(1,2)AC綊HG，∴四邊形EFGH為平行四邊形，故當(dāng)EF＝FG，即AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH為菱形；EF⊥FG且EF＝FG，即AC⊥BD且AC＝BD時(shí)，四邊形EFGH為正方形．答案：AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD7．如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，求異面直線DB1與EF所成角的大小．圖10解：(干脆平移法)如圖11，圖11連接A1C1，B1D1，并設(shè)它們相交于點(diǎn)O，取DD1的中點(diǎn)G，連接OG，則OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．連接GA1，GC1，∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點(diǎn)，∴GO⊥A1C1，∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.拓展要求1.(2024年復(fù)旦高校自主招生)如圖12，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，則AB1與BC1所成的角的大小是()圖12A．60° B．75°C．90° D．105°解析：圖13設(shè)BB1＝1，如圖13，延長CC1至C2，使C1C2＝1，連接B1C2，則B1C2∥BC1，所以∠AB1C2為AB1與BC1所成的角(或其補(bǔ)角)．連接AC2，因?yàn)锳B1＝eq\r(3)，B1C2＝eq\r(3)，AC2＝eq\r(6)，所以AC22＝AB12＋B1C22，則∠AB1C2＝90°.答案：C2．如圖14，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn)，畫出過D1，C，E的平面與平面ABB1A1的交線，并說明理由．圖14解：如圖15，取AB的中點(diǎn)F，連接EF，A1B，CF.圖15又∵E是AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1B.在正方體ABCD－A1B