2025年滬科版九年級數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 專題24.15 圓全章專項(xiàng)復(fù)習(xí)【6大考點(diǎn)21種題型】

專題24.15圓全章專項(xiàng)復(fù)習(xí)【6大考點(diǎn)21種題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1圖形的旋轉(zhuǎn)】 1【題型1利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角的度數(shù)】 2【題型2利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段長度】 3【題型3利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求面積】 4【題型4平面直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換】 5【題型5與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究性問題】 7【考點(diǎn)2中心對稱】 10【題型6識別中心對稱圖形】 11【題型7中心對稱的性質(zhì)運(yùn)用】 11【題型8與中心對有關(guān)的探究問題】 12【考點(diǎn)3圓的有關(guān)性質(zhì)】 15【題型9垂徑定理的應(yīng)用】 16【題型10弧、弦、圓心角的關(guān)系】 17【題型11圓周角定理及其推論的應(yīng)用】 18【題型12巧用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解】 20【考點(diǎn)4點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系】 21【題型13切線的判定】 23【題型14切線的性質(zhì)】 24【題型15切線長定理】 25【題型16三角形的外接圓與內(nèi)切圓】 27【考點(diǎn)5正多邊形和圓】 28【題型17正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算】 29【題型18正多邊形中的規(guī)律探究性問題】 30【考點(diǎn)6弧長和扇形面積】 32【題型19圓錐側(cè)面展開圖的有關(guān)計(jì)算】 32【題型20不規(guī)則圖形面積的計(jì)算】 34【題型21利用弧長和扇形面積公式解決幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問題】 35【考點(diǎn)1圖形的旋轉(zhuǎn)】知識點(diǎn)一旋轉(zhuǎn)的定義在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。知識點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點(diǎn)：圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。（3）圖形的大小與形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。知識點(diǎn)三利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：（1）任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它就是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為：①連：即連接圖形中每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，的到各點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；④接：即連接到所連接的各點(diǎn)?！绢}型1利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角的度數(shù)】【例1】（23-24九年級·重慶·期中）如圖，將正方形ABCD的邊BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到CE，連接AE，再將AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AF，連接FE,FB，若∠BCE=α0<α<90°，則∠ABF的大小為（

A．α2 B．α?30° C．45°?α2【變式1-1】（23-24九年級·河南新鄉(xiāng)·期中）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P為三角形內(nèi)一點(diǎn)．PA=32，PB=8，PC=10，則【變式1-2】（23-24九年級·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=126°，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB1C1．若點(diǎn)B1恰好落在BC邊上，且AA．14° B．16° C．18° D．20°【變式1-3】（23-24九年級·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，兩個(gè)全等的含30°角的直角三角板，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<90°）得到△A1B1C1，若C1B1交AB于點(diǎn)【題型2利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段長度】【例2】（23-24九年級·上?！て谀┤鐖D，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=62，點(diǎn)D、點(diǎn)E在邊AC上，且∠DBE=45°，若AE=9，則CD=

【變式2-1】（23-24九年級·福建福州·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=3，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CDE，連接AD，

【變式2-2】（23-24九年級·上海長寧·期末）如圖，正方形ABCD的邊長為2，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△AB′C′，其中B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)B′、C′．如果點(diǎn)B′在正方形ABCD內(nèi)，且到點(diǎn)B【變式2-3】（23-24九年級·河南南陽·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABCD外部時(shí)，連接PC，PD．若△DPC為直角三角形，則【題型3利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求面積】【方法總結(jié)】解答圖形旋轉(zhuǎn)衍生的面積計(jì)算問題時(shí),要善于分析圖形面積之間的和差關(guān)系,并運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化(旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的面積相等),將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.【例3】（23-24九年級·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形A′B′CD′，邊A′A．2?2 B．2?1 C．22【變式3-1】（23-24九年級·安徽蕪湖·期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，BC=23，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使得點(diǎn)A′恰好落在AB上，A′【變式3-2】（23-24九年級·廣東佛山·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，O為BC的中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEF，D、E分別在邊AC和CA的延長線上，連接CF，若AD=3，則△OFC的面積是（）A．923 B．2723 C．【變式3-3】（23-24九年級·四川成都·期中）如圖，△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△A′B′C，若△ABC【題型4平面直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換】【方法總結(jié)】此類題目主要對旋轉(zhuǎn)、勾股定理、軸對稱等內(nèi)容進(jìn)行綜合考查.要注意旋轉(zhuǎn)中心的確定.【例4】（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）在8×5的網(wǎng)格中建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O0,0，A3,4，B8,4(1)將線段CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對應(yīng)線段CD；(2)在線段AB上畫點(diǎn)E，使∠BCE=45°（保留畫圖過程的痕跡）；(3)連接AC，畫點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)F，并簡要說明畫法．【變式4-1】（23-24九年級·陜西漢中·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A3,4，B1,1，(1)△ABC先向下平移2個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位得到△A1B1C1（點(diǎn)A1、B1、C1(2)將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2BC2（點(diǎn)A2、C2分別與點(diǎn)A【變式4-2】（23-24九年級·河南鄭州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)為A1,0(1)平移△ABC，若點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為7,4，畫出平移后的△(2)將△ABC以點(diǎn)0,0為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△A(3)已知將△A1B【變式4-3】（23-24九年級·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）正方形網(wǎng)格中（網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長是1），△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請?jiān)谒o的直角坐標(biāo)系中解答下列問題：(1)作出△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的△AB(2)作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的△A(3)在x軸上找一點(diǎn)P使得PC+PB最小，則P點(diǎn)坐標(biāo)(4)請直接寫出以A1，B2，【題型5與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究性問題】【方法總結(jié)】與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究性問題,考查操作、想象、探究能力.解決這類問題,需要首先確定旋轉(zhuǎn)的角度和方向、旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)的角與邊,明確旋轉(zhuǎn)過程中的變量與不變量,利用旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等進(jìn)行邊與角的計(jì)算.【例5】（2024·山西大同·模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐：如圖1，已知點(diǎn)D是等邊三角形△ABC邊BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）．動(dòng)手操作：第一步：連接AD，以A為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接DE；第二步：以D為旋轉(zhuǎn)中心，將線段DC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段DF，連接BF，交DE于點(diǎn)M．特例探究：（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F恰好在AB上，請寫出線段EM與DM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；探索發(fā)現(xiàn)：（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D不是BC中點(diǎn)時(shí)，請判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）當(dāng)BC=6，CD=2時(shí)，請直接寫出AM的長．【變式5-1】（23-24九年級·陜西西安·期末）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=4，PB=3，PC=5，求∠APB的度數(shù)．解：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△BP′A的位置，連接．P∴PP又∵AP=4，A∴P∴△PAP∴∠APB的度數(shù)為______．（2）【類比延伸】如圖2，在正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的長；（3）【拓展遷移】如圖3，在正六邊形ABCDEF內(nèi)部有一點(diǎn)P，若PA=4，PB=2，PF=213，請直接寫出∠APB【變式5-2】（23-24九年級·湖北孝感·期末）在“綜合與實(shí)踐”課上，同學(xué)們以“圖形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．

(1)探究發(fā)現(xiàn)如圖1，在等邊△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接AP，BP，CP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AD，連接PD，CD，若(2)類比延伸如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接AP，BP，CP，若(3)遷移應(yīng)用如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．在直線AC的上方有一點(diǎn)P，連接AP，BP，CP，若∠APC=60°，則存在實(shí)數(shù)λ使得【變式5-3】（2024·吉林長春·二模）旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運(yùn)動(dòng)中的一種重要變換，通常與全等三角形等數(shù)學(xué)知識相結(jié)合來解決實(shí)際問題，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在研究三角形旋轉(zhuǎn)的過程中，進(jìn)行如下探究：△ABC和△DEF均為等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，連接AE、CF．觀察猜想：（1）如圖1，在△DEF旋轉(zhuǎn)過程中，求證：AE=CF；探究發(fā)現(xiàn)：（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在△ABC內(nèi)且A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，試探究線段CF、AF與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；解決問題：（3）若△ABC中，AB=5，在△DEF旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE=3且A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出【考點(diǎn)2中心對稱】知識點(diǎn)一中心對稱的定義中心對稱：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心。注意以下幾點(diǎn)：中心對稱指的就是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系；只有一個(gè)對稱中心；繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°兩個(gè)圖形能夠完全重合。知識點(diǎn)二作一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)對稱的圖形要作出一個(gè)圖形關(guān)于某一點(diǎn)的成中心對稱的圖形，關(guān)鍵就是作出該圖形上關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對稱中心的對稱點(diǎn)。最后將對稱點(diǎn)按照原圖形的形狀連接起來，即可的出成中心對稱圖形。知識點(diǎn)三中心對稱的性質(zhì)有以下幾點(diǎn)：關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形上的對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對稱中心，并且都被對稱中心平分；關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形能夠互相重合，就是全等形；關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對應(yīng)線段平行（或共線）且相等。知識點(diǎn)四中心對稱圖形的定義把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就就是它的對稱中心。知識點(diǎn)五關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，它們的坐標(biāo)符號相反，即點(diǎn)p（x,y）關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)為（-x,-y）?！绢}型6識別中心對稱圖形】【例6】（23-24九年級·廣東深圳·期中）下列幾種著名的數(shù)學(xué)曲線中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式6-1】（2024·四川自貢·模擬預(yù)測）在圖形“線段、矩形、等腰梯形、等邊三角形、平行四邊形”中是軸對稱不是中心對稱的圖形有．【變式6-2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）我國古代典籍《周易》用“卦”描述世間萬象的變化．下圖為部分“卦”的符號，其中是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式6-3】（23-24九年級·湖北黃岡·期中）下列四種圖案中，是中心對稱圖形的有個(gè)，

【題型7中心對稱的性質(zhì)運(yùn)用】【例7】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，連接AC，BD，交于點(diǎn)O．若△BOC與△B′O′C關(guān)于點(diǎn)C成中心對稱，連接AA．15 B．14 C．13 D．12【變式7-1】（23-24九年級·陜西咸陽·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD+BC，AD∥BC，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)E成中心對稱，連接AE并延長，與BC的延長線交于點(diǎn)F．求證：【變式7-2】（23-24九年級·福建泉州·期末）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB=60°，AC=4．作出△ABC共于點(diǎn)A成中心對稱的△AB′C′，其中點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)為CA．128 B．643 C．64 D．【變式7-3】（2024·江蘇泰州·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A、C分別是直線y=?83x+4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B(?2,0)，點(diǎn)D是邊AC上的一點(diǎn)，DE⊥BC，垂足為E，點(diǎn)F在AB邊上，且D、F兩點(diǎn)關(guān)于y軸上某點(diǎn)成中心對稱，連接DF、EF．線段EF

【題型8與中心對有關(guān)的探究問題】【例8】（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐[動(dòng)手操作]任意一個(gè)四邊形ABCD通過剪裁，都可以拼接成一個(gè)三角形，方法如下：如圖1，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，連接EH，P是線段EH的中點(diǎn)，連接PF，PG，沿線段EH，PF，PG剪開，將四邊形ABCD分成①，②，③，④四部分，按如圖2所示的方式即可拼成一個(gè)無縫隙也不重疊的△P關(guān)于在拼接過程中用到的圖形的變換，說法正確的是（

）A．①→①是軸對稱B．②→②是平移C．③→③是中心對稱D．④→④是中心對稱[性質(zhì)探究]如圖3，連接EF′，F(xiàn)′C′[綜合運(yùn)用]若△P′MN是一個(gè)邊長為4的等邊三角形，則四邊形E【變式8-1】（23-24九年級·湖北荊州·期末）閱讀下面材料，完成以下問題．如圖1，如圖2，將一張矩形紙片順著中縫或?qū)蔷€所在的直線翻折，其折痕將這個(gè)矩形一分為二，兩部分的形狀與大小完全一樣．如圖3，如圖4，用兩條直線將一個(gè)矩形分成面積相等的四部分.我們知道，矩形是一種特殊的平行四邊形，對于一般的平行四邊形（如圖4），是否和矩形一樣，也存在這樣的直線，將其面積二等分，或進(jìn)一步將其面積四等分？它們之間又有什么規(guī)律呢？

問題1：平分平行四邊形的面積，除以下兩種方法以外（圖5、圖6），你還有其他什么方法，請?jiān)趫D7中畫出來．

問題2：通過平分平行四邊形的面積，你能平分下面圖案（圖8）的面積，請?jiān)趫D8中畫出來問題3：老師將兩個(gè)正方形按照圖9所示的方式擺放，請你試著將整個(gè)圖形的面積平分．問題4：如圖10，平面直角坐標(biāo)系中放著6個(gè)邊長為1個(gè)單位的小正方形，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線恰好將6個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，請你畫出這條直線，并直接寫出該直線的表達(dá)式．【變式8-2】（23-24九年級·江蘇淮安·期中）如圖，△ABC是等邊三角形，BC邊在直線l上，動(dòng)點(diǎn)O在直線l上（O不與點(diǎn)B重合）．操作探究1：在圖中作出△ABC關(guān)于點(diǎn)O的中心對稱圖形△A1B1C1，連接操作探究2：如圖，若把等邊三角形改為等腰三角形，動(dòng)點(diǎn)O在直線l上（O不與點(diǎn)B重合），△ABC與△A1B1C1關(guān)于O成中心對稱，當(dāng)C1操作探究3：若△ABC是任意三角形，且點(diǎn)A在直線l的上方，動(dòng)點(diǎn)O在直線l上（O不與點(diǎn)B重合），在下圖中已作出△ABC關(guān)于點(diǎn)O的中心對稱圖形．△A1B1C1的一個(gè)參考圖形，連接AB【變式8-3】（23-24九年級·四川成都·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2,0，點(diǎn)B0,6，點(diǎn)D?6,0，以AB、AD為邊作?ABCD，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接DE

(1)分別求出線段AE和線段DE所在直線解析式；(2)點(diǎn)P為線段AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)P的中心對稱點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為a，用含a的代數(shù)式表示點(diǎn)F的坐標(biāo)（不用寫出a的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，①當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)到△ADE的邊上時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；②M為PE中點(diǎn)，N為PA中點(diǎn)，連接MF、NF．請利用備用圖探究，直接寫出在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，△MFN周長的最小值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)3圓的有關(guān)性質(zhì)】知識點(diǎn)一圓的定義圓的定義：第一種：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn)O叫作圓心，線段OA叫作半徑。第二種：圓心為O，半徑為r的圓可以瞧成就是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合。比較圓的兩種定義可知：第一種定義就是圓的形成進(jìn)行描述的，第二種就是運(yùn)用集合的觀點(diǎn)下的定義，但就是都說明確定了定點(diǎn)與定長，也就確定了圓。知識點(diǎn)二圓的相關(guān)概念弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑?；。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。等圓：等夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。弦就是線段，弧就是曲線，判斷等弧首要的條件就是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完全重合的弧才就是等弧，而不就是長度相等的弧。知識點(diǎn)三圓的對稱性圓就是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都就是它的對稱軸。知識點(diǎn)四垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理的推論：平分弦（不就是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧注意：因?yàn)閳A的兩條直徑必須互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必須不就是直徑，否則結(jié)論不成立。知識點(diǎn)五弦、弧、圓心角的關(guān)系弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余的各組量也相等。注意不能忽略同圓或等圓這個(gè)前提條件，如果丟掉這個(gè)條件，即使圓心角相等，所對的弧、弦也不一定相等，比如兩個(gè)同心圓中，兩個(gè)圓心角相同，但此時(shí)弧、弦不一定相等。知識點(diǎn)六圓周角定理圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角就是直角，90°的圓周角所對弦就是直徑。圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關(guān)系。“同弧或等弧”就是不能改為“同弦或等弦”的，否則就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對的圓周角有兩類。知識點(diǎn)七圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)圓內(nèi)接多邊形：如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。【題型9垂徑定理的應(yīng)用】【例9】（2024·江西吉安·三模）如圖，一座石橋的主橋拱是四弧形，某時(shí)刻添得水面AB的寬度為8米，拱高CD（AB的中點(diǎn)C到水面的距離）為2米．(1)求主橋拱所在圓的半徑．(2)在主橋拱所在圓的圓心處有一水位檢測儀，若過幾天某時(shí)刻的水面為EF，檢測儀觀測點(diǎn)E的仰角為25.6°，求此時(shí)水面的寬度．（參考數(shù)據(jù)：sin25.6°≈0.43，cos25.6°≈0.90，【變式9-1】（23-24九年級·安徽淮南·期末）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大?。鐖D，用鋸去鋸這木材，鋸口深ED=1寸，鋸道長AB=1尺（1尺=10寸）．這根圓柱形木材的直徑是多少寸？【變式9-2】（2024·河南周口·二模）《九章算術(shù)》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．在《九章算術(shù)》中記載有一類似問題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶顑纱?，鋸道長一尺二，問徑幾何?”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為2寸，鋸道AB=1.2尺（1.2尺=12寸），求該圓材的直徑為多少寸?【變式9-3】（23-24九年級·河北唐山·期末）如圖，裝有水的水槽放在水平桌面上，其橫截面是以AB為直徑的半圓O，AB=40cm，GH為桌面截線，水面截線MN∥GH，直徑一端點(diǎn)B剛好與點(diǎn)N(1)計(jì)算MN的長度，并比較直徑AB與MN長度的大??；(2)請?jiān)趫D中畫出線段CD，用其長度表示水的最大深度，并求水的最大深度．【題型10弧、弦、圓心角的關(guān)系】【例10】（2024·江蘇南京·二模）如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，AC與BD相交于點(diǎn)E，AB=CD．(1)求證：AC=BD；(2)連接BC，作直線EO，求證：【變式10-1】（23-24九年級·湖南湘西·期末）如圖，AC=CB，D，E分別是半徑OA，OB的中點(diǎn)．求證：CD=CE【變式10-2】（23-24九年級·甘肅武威·期末）已知，如圖，在⊙O中，AB=DE，BC=EF，求證：AC=DF．【變式10-3】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知AB，CD是圓O的內(nèi)接四邊形ACBD的兩條對角線，AB，CD相交于點(diǎn)(1)如圖1，求證：BM=DM．(2)在圖1中找出一組全等的三角形，并給出證明．(3)如圖2，圓O的半徑為5，弦CD⊥AB于點(diǎn)P，當(dāng)△CBP的面積為3.5時(shí)，求AB的長．【題型11圓周角定理及其推論的應(yīng)用】【例11】（2024·貴州遵義·三模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是弧AC的中點(diǎn)，連接BD，AD，CD．CE平分∠ACB交BD于點(diǎn)E．(1)寫出圖中一個(gè)與∠ACD相等的角______；(2)試判斷△CDE的形狀，并說明理由；(3)若⊙O的半徑為23，∠ABC=60°，求AC【變式11-1】（2024·安徽合肥·二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，已知AC⊥BD，垂足為E，弦AB的弦心距為OF．（1）若AF=OF，則∠ADB的度數(shù)為；（2）若⊙O的半徑為5，AB=8，則CD的長為．【變式11-2】（2024·江蘇南京·二模）千姿百態(tài)的橋問題：景區(qū)計(jì)劃在半徑為1km的人工湖⊙O“X型”（1）如圖①，若點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，則AC+BD的最大值為km；“L型”（2）如圖②，若點(diǎn)A，B，C在⊙O上，且AB⊥BC．求AB+BC的最大值；“T型”（3）如圖③，若點(diǎn)A，B，C在⊙O上，且AC⊥BD，垂足為D，則AC+BD的最大值為km．【變式11-3】（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，弦CD，CE分別交AB于點(diǎn)F，G，且∠DCE=1(1)設(shè)∠ACD=α，用含α的式子表示∠CDE的度數(shù)；(2)求證：FG(3)若⊙O的半徑為1，記△ACF，△BCG，△CFG的面積分別為S1，S2，S，設(shè)AF=a，BG=b，且滿足【題型12巧用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解】【例12】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知AB，CD為⊙O的位于圓心兩側(cè)的兩條弦，且AD=(1)如圖1，連接AC，BD．求證：AB∥CD．(2)如圖2，過點(diǎn)A作CD的垂線交⊙O于點(diǎn)E．若在AC上取一點(diǎn)F，使得AF=CE．求證：D，O，【變式12-1】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，A,B,C,D,E均是⊙O上的點(diǎn)，且BE是⊙O的直徑，若∠BCD=2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是（

）A．20° B．30° C．40° D．45°【變式12-2】（2024·吉林白城·模擬預(yù)測）如圖，AC是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一條對角線，點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E在邊AB上，若∠ABC=70°，則∠AEC=°．【變式12-3】（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)E，BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADB．如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCDABCD的對角線ACAC，BDBD交于點(diǎn)EE，BDBD平分∠ABC∠ABC，∠BAC=∠AD(1)求證：DB平分∠ADC，并求∠BAD的大??；(2)過點(diǎn)C作CF∥AD交AB的延長線于點(diǎn)F，若AC=AD，BF=2，試求四邊形ABCD的面積和此圓半徑的長．【考點(diǎn)4點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系】知識點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。（2）用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)⊙O的半徑就是r，點(diǎn)P到圓的距離OP=d，則有：點(diǎn)P在圓外d＞r；點(diǎn)p在圓上d=r；點(diǎn)p在圓內(nèi)d＜r。知識點(diǎn)二過已知點(diǎn)作圓（1）經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)的圓（如點(diǎn)A）以點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)（如點(diǎn)O）為圓心，以O(shè)A為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個(gè)。·O1A·O2·O3（2）經(jīng)過兩點(diǎn)的圓（如點(diǎn)A、B）以線段AB的垂直平分線上的任意一點(diǎn)（如點(diǎn)O）為圓心，以O(shè)A（或OB）為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作無數(shù)個(gè)。AB（3）經(jīng)過三點(diǎn)的圓①經(jīng)過在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓②不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，即經(jīng)過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓，且只能作一個(gè)圓。如經(jīng)過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C作圓，作法：連接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A（或OB、OC）的長為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一個(gè)。知識點(diǎn)三三角形的外接圓與外心（1）經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓。（2）外接圓的圓心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。知識點(diǎn)四直線與圓的位置關(guān)系（1）直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。（2）直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示若設(shè)⊙O的半徑就是r，直線l與圓心0的距離為d，則有：直線l與⊙O相交d＜r；直線l與⊙O相切d=r；直線l與⊙O相離d＞r。知識點(diǎn)五切線的判定與性質(zhì)（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線就是圓的切線。（2）切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。（3）切線的其她性質(zhì)：切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；必過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。知識點(diǎn)六切線長定理（1）切線長的定義：經(jīng)過園外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長。（2）切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角。（3）注意：切線與切線長就是兩個(gè)完全不同的概念，必須弄清楚切線就是直線，就是不能度量的；切線長就是一條線段的長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)就是在圓外一點(diǎn)，另一個(gè)就是切點(diǎn)。知識點(diǎn)七三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。（2）三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。（3）注意：三角形的內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時(shí)，過三角形的頂點(diǎn)與內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角?！绢}型13切線的判定】【方法總結(jié)】因?yàn)榍芯€與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以題中信息是否明確給出公共點(diǎn)可以作為判定切線方法選擇的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).【例13】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在圓上，∠CDB=3∠ABC，CD平分∠ACB，與AB相交于點(diǎn)E．(1)在CA的延長線上找一點(diǎn)F，使CF=CD，連接FD（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)求證：FD是⊙O的切線．【變式13-1】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，將△ABC沿過點(diǎn)A的直線翻折并展開，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′落在邊AB上，折痕為AD，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A、D．若∠ACB=90°，判斷BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．【變式13-2】（2024·山東青島·一模）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC是⊙O的直徑，D為BC的中點(diǎn)，∠ABE=∠C，E在CA的延長線上．(1)EB是⊙O的切線嗎？為什么？(2)若DB=12AC【變式13-3】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，BC的延長線與過點(diǎn)A的直線相交于點(diǎn)E，且∠ABE=∠EAC．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)點(diǎn)F是弧AD的中點(diǎn)，點(diǎn)B在弧DF上，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，是否存在常數(shù)k，使AB+BD=kAG？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．【題型14切線的性質(zhì)】【方法總結(jié)】已知圓的切線時(shí),常連接圓心和切點(diǎn),得到半徑垂直于切線,通過構(gòu)造直角三角形解決問題,即“見切線,連半徑,得垂線”.【例14】（2024·湖南·二模）如圖，⊙O為四邊形ABCD的外接圓，△ABC是等邊三角形，AE是⊙O的切線，D是AC的中點(diǎn)，CD的延長線交AE于點(diǎn)E．(1)求證：AE∥(2)若DE=2，求△ADE的面積．【變式14-1】（2024·天津?yàn)I海新·模擬預(yù)測）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AB=2AC．(1)如圖①，點(diǎn)P是弧BC上一點(diǎn)，求∠APC的大?。?2)如圖②，過點(diǎn)C作⊙O的切線MC，過點(diǎn)B作BD⊥MC于點(diǎn)D，BD與⊙O交于點(diǎn)E，若AB=4，求CE的長．【變式14-2】（2024·安徽合肥·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AO平分∠BAD．點(diǎn)O在AC上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑，作⊙O與BC相切于點(diǎn)B，BO延長線交⊙O于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接AE，DE．

(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若AE=DE=8，求AF的長．【變式14-3】（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，AD是⊙O的直徑，B、C都是⊙O上的點(diǎn)，連接AB、BC、OC、AC，E是(1)證明：DE是⊙O的切線；(2)連接OE，交⊙O于點(diǎn)F．當(dāng)CD=AO時(shí)，若CE=2，求EF的長．【題型15切線長定理】【例15】（23-24九年級·河南商丘·期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D在邊BC上，以CD為直徑的⊙O與直線AB相切于點(diǎn)E，連接OA，且OA=OB．連接CE交OA于點(diǎn)F．(1)求證：AB=2AC．(2)若AC=3，求線段OC，CF【變式15-1】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，圓O的圓心在梯形ABCD的底邊AB上，并與其它三邊均相切，若CD∥AB，AB=10，AD=6，則CB長（

）A．4 B．5 C．6 D．無法確定【變式15-2】（2024·山東聊城·二模）如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓弧的三等分點(diǎn)，過B，C兩點(diǎn)的半圓O的切線交于點(diǎn)P，若AB的長是2a，則PA的長是．【變式15-3】（23-24九年級·江蘇揚(yáng)州·期中）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在探究等分問題的過程中，得到了很多成果．成果一：制作了三分角儀．圖(1)是示意圖，點(diǎn)B在半徑OC的延長線上，CD⊥OC，BC=OC，CD足夠長．若要將∠GAH三等分，只需要適當(dāng)放置三分角儀，使點(diǎn)A在CD上，點(diǎn)B落在AG上，當(dāng)AH與半⊙O相切時(shí)，AC、AO就將∠GAH三等分了．成果二：創(chuàng)造了只用圓規(guī)將圓四等分的方法．如圖(2)，具體步驟為：①將⊙O六等分，等分點(diǎn)分別是點(diǎn)A、B、C、D、E、F；②分別以點(diǎn)A、D為圓心，AE長為半徑作弧，交于點(diǎn)G；③以點(diǎn)A為圓心，OG長為半徑作弧，交⊙O于點(diǎn)M、N，則點(diǎn)A、M、D、N將⊙O四等分．(1)請你說明三分角儀的正確性；(2)證明點(diǎn)A、M、D、N是⊙O四等分點(diǎn)．【題型16三角形的外接圓與內(nèi)切圓】【方法總結(jié)】三角形內(nèi)切圓的常用結(jié)論：【例16】（2024·上?！つM預(yù)測）如圖，AB是圓O直徑，弦CE⊥AB，垂足為D，圓O周長為4π，AC=2(1)AE，求△AEC內(nèi)切圓的面積；(2)BC，OE，求證：【變式16-1】（23-24九年級·江蘇鹽城·期中）如圖，I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D．(1)求證：∠BAD=∠CBD；(2)求證：BD=ID；(3)連接BI、CI，求證：點(diǎn)D是△BIC的外心．【變式16-2】（23-24九年級·山東淄博·期末）如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內(nèi)心，連接AI并延長交BC和⊙O于D，E．(1)求證：EB=EI；(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的長．【變式16-3】（23-24九年級·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，連接BE，(1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度數(shù)；(2)求證：DE=DB．【考點(diǎn)5正多邊形和圓】知識點(diǎn)一正多邊形的外接圓與圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形與圓的關(guān)系非常密切，把圓分成n（n就是大于2的自然數(shù)）等份，順次連接各分點(diǎn)所的的多邊形就是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就就是這個(gè)正多邊形的外接圓。正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。知識點(diǎn)二正多邊形的性質(zhì)（1）正n邊形的半徑與邊心距把正多邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。（2）所有的正多邊形都就是軸對稱圖形，每個(gè)正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都經(jīng)過正n邊形的中心；當(dāng)正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，這個(gè)正n邊形也就是中心對稱圖形，正n邊形的中心就就是對稱中心。正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于，中心角與外角相等，等于?！绢}型17正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算】【方法總結(jié)】利用正多邊形和圓的性質(zhì),已知正多邊形的邊長,求解與正多邊形有關(guān)的量時(shí),通常做法是作出正多邊形的邊心距,構(gòu)造由半徑、邊心距、邊長的一半圍成的直角三角形,然后利用勾股定理解決.【例17】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）在圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF中，AC，EC分別交BD于點(diǎn)H，G．

(1)如圖①，求證：點(diǎn)H，G三等分BD．(2)如圖②，操作并證明．①尺規(guī)作圖：過點(diǎn)O作AC的垂線，垂足為K，以點(diǎn)O為圓心，OK的長為半徑作圓；（在圖②中完成作圖，保留作圖痕跡，不需要寫作法）②求證：CE是①所作圓的切線．【變式17-1】（2024·福建廈門·二模）如圖，正五邊形ABCEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在⊙O上，則∠D的度數(shù)為（

）

A．45° B．50° C．60° D．72°【變式17-2】（2024·廣東廣州·三模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，線段MN在對角線BD上運(yùn)動(dòng)，若⊙O的面積為2π，MN=1，則（1）⊙O的直徑長為；（2）△AMN周長的最小值是．【變式17-3】（23-24九年級·浙江金華·期中）如圖所示，已知正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，連接AC、BD，相交于點(diǎn)P．若⊙O的半徑為1，(1)求AC的長；(2)求∠APD的度數(shù)．【題型18正多邊形中的規(guī)律探究性問題】【方法總結(jié)】正多邊形中規(guī)律探究性問題是重要的考點(diǎn)之一,解答這類問題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用特殊與一般的思想.這類問題需要從簡單的情形入手,由淺入深、由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般逐步分析探索,發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律,再根據(jù)變化規(guī)律歸納出最后的結(jié)果.【例18】（2024·湖南湘西·中考真題）觀察下列結(jié)論：（1）如圖①，在正三角形ABC中，點(diǎn)M，N是AB,BC上的點(diǎn)，且AM=BN，則AN=CM，∠NOC=60°；（2）如圖②，在正方形ABCD中，點(diǎn)M，N是AB,BC上的點(diǎn)，且AM=BN，則AN=DM，∠NOD=90°；（3）如圖③，在正五邊形ABCDE中，點(diǎn)M，N是AB,BC上的點(diǎn)，且AM=BN，則AN=EM，∠NOE=108°；……根據(jù)以上規(guī)律，在正n邊形A1A2A3A4??An中，對相鄰的三邊實(shí)施同樣的操作過程，即點(diǎn)M，N是【變式18-1】（2015·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為2，正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切，正六邊形A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形A2B2C2D2E2F2的各邊相切，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，A10B10C10D10E10F10的邊長為（）A．24329 B．81329 【變式18-2】（23-24九年級·湖南湘西·期中）如圖1，圖2，圖3?，M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，正方形ABCD，正五邊形ABCDE，…的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM=CN，連接OM、ON，圖1中∠MON=120°，圖2中∠MON=90°，圖3中∠MON=72°…，根據(jù)這樣的規(guī)律，圖n中【變式18-3】（23-24九年級·浙江臺(tái)州·期中）李老師帶領(lǐng)班級同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解π的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長L與正多邊形對應(yīng)的內(nèi)切圓的周長C的比值，稱作這個(gè)正n邊形的“正圓度”kn．如圖，正三角形ABC的邊長為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為36，因此(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”k4(3)[總結(jié)]隨著n的增大，kn【考點(diǎn)6弧長和扇形面積】知識點(diǎn)一弧長公式在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的弧長就就是圓的周長C=2πR，所以n°的圓心角所對的弧長的計(jì)算公式l=×2πR=。知識點(diǎn)二扇形面積公式在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就就是圓的面積S=πR2，所以圓心角為n°的扇形的面積為S扇形=。比較扇形的弧長公式與面積公式發(fā)現(xiàn)：S扇形=知識點(diǎn)三圓錐的側(cè)面積與全面積圓錐的側(cè)面積就是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面展開，容易的到圓錐的側(cè)面展開圖就是一個(gè)扇形。設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，因此圓錐的側(cè)面積。圓錐的全面積為?！绢}型19圓錐側(cè)面展開圖的有關(guān)計(jì)算】【例19】（2024·江蘇鹽城·三模）如圖，∠BPD=120°，點(diǎn)A、C分別在射線PB、PD上，∠PAC=30°，(1)用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在A、C兩點(diǎn)分別與射線PB和PD相切．要求：寫出作法，并保留作圖痕跡；(2)將劣弧AC所在的扇形圍成圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面圓的半徑為．(3)求所得的劣弧與線段PA、PC圍成的封閉圖形的面積．【變式19-1】（23-24九年級·江蘇泰州·期中）如圖，在直徑為2的圓形紙片上裁剪出圓心角∠ACB=90°的扇形CAB．

(1)求陰影部分面積；(2)用所裁剪的扇形紙片CAB圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求圓錐底面圓的半徑．【變式19-2】（23-24九年級·山東煙臺(tái)·期末）如圖，在半徑為4的扇形AOB中，∠AOB=90°，點(diǎn)C是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接AC，BC，OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分別為點(diǎn)D，E．

(1)若扇形AOB是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐的底面半徑；(2)在△DOE中是否存在長度為定值的邊?若存在，請求出這條邊的長度；若不存在，請說明理由．【變式19-3】（2024·廣東東莞·二模）【綜合與實(shí)踐】主題：制作圓錐形生日帽．素材：一張圓形紙板、裝飾彩帶．步驟1：如圖1，將一個(gè)底面半徑為r的圓錐側(cè)面展開，可得到一個(gè)半徑為l、圓心角為n°的扇形．制作圓錐形生日帽時(shí)，要先確定扇形的圓心角度數(shù)，再度量裁剪材料．步驟2：如圖2，把剪好的紙板粘合成圓錐形生日帽，

(1)現(xiàn)在需要制作一個(gè)r=10cm，l=30(2)為了使（1）中所制作的生日帽更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點(diǎn)A處開始，繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)A的彩帶（彩帶寬度忽略不計(jì)），求彩帶長度的最小值．【題型20不規(guī)則圖形面積的計(jì)算】【例20】（23-24九年級·浙江臺(tái)州·期末）如圖，扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=4，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，將扇形OAB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到扇形O′A′A．4π3+5C．4π3+7【變式20-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，AC=BC=22，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心，作圓心角為90°的扇形DEF，點(diǎn)C恰好在EF上（點(diǎn)E，F(xiàn)不與點(diǎn)C重合），半徑DE，DF分別與AC，BC相交于點(diǎn)G，H，則陰影部分的面積為【變式20-2】（23-24九年級·新疆烏魯木齊·期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)O是邊BC的中點(diǎn)，半圓O與△ABC相切于點(diǎn)D、EA．32 B．22 C．2 【變式20-3】（2024·廣東惠州·三模）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，∠A=30°，BC=4，弦CD⊥AB于F，點(diǎn)E是AB延長線上一點(diǎn)，且AF=EF，連接DE．(1)填空：∠BCD=°；(2)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(3)取CB的中點(diǎn)M，連接DM，求圖中陰影部分的面積．【題型21利用弧長和扇形面積公式解決幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問題】【例21】（23-24九年級·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=3，PC=1，若把BP繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BP′，連接P(1)求∠BPC的度數(shù)；(2)求PP(3)求點(diǎn)P劃過的路徑長；(4)當(dāng)BC=52時(shí)，如果△BP′A【變式21-1】（2024·江蘇南通·一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長為22cm，將正方形ABCD在直線l上順時(shí)針連續(xù)翻轉(zhuǎn)4次，則點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長為(

A．4πcm B．2+22πcm C．22πcm D．【變式21-2】（16-17九年級·山東濟(jì)南·期末）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，將矩形ABCD繞著點(diǎn)D在桌面上順時(shí)針旋磚至A1B1C1D，使其?？吭诰匦?/p>

A．5π6 B．5π3 C．5π2【變式21-3】（2024·山東淄博·二模）如圖①，小慧同學(xué)把一個(gè)等邊三角形紙片（即△OAB）放在直線l1上，OA邊與直線l1重合，然后將三角形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將三角形紙片AO1B1繞B1點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)A1處，點(diǎn)O1運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O2處（即頂點(diǎn)O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)O2處）．小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)過程中，頂點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)所形成的圖形是兩段圓弧，即弧OO1和弧O1O2，頂點(diǎn)O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l1圍成的圖形面積等于扇形AOO1的面積、△AO1B1的面積和扇形B1O1O2的面積之和．小慧進(jìn)行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l2上，OA邊與直線l2重合，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O1處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C1處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B1處；小慧又將正方形紙片AO1C1B1繞B1點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，……，按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后，她提出了如下問題：（1）若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程，并求頂點(diǎn)O在此運(yùn)動(dòng)過程中所形成的圖形與直線l2圍成圖形的面積；若正方形OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，求頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程；（2）正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程是21+102

專題24.15圓全章專項(xiàng)復(fù)習(xí)【6大考點(diǎn)21種題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1圖形的旋轉(zhuǎn)】 2【題型1利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角的度數(shù)】 3【題型2利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段長度】 7【題型3利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求面積】 13【題型4平面直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換】 18【題型5與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究性問題】 25【考點(diǎn)2中心對稱】 36【題型6識別中心對稱圖形】 37【題型7中心對稱的性質(zhì)運(yùn)用】 39【題型8與中心對有關(guān)的探究問題】 42【考點(diǎn)3圓的有關(guān)性質(zhì)】 54【題型9垂徑定理的應(yīng)用】 55【題型10弧、弦、圓心角的關(guān)系】 60【題型11圓周角定理及其推論的應(yīng)用】 64【題型12巧用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解】 73【考點(diǎn)4點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系】 78【題型13切線的判定】 80【題型14切線的性質(zhì)】 86【題型15切線長定理】 92【題型16三角形的外接圓與內(nèi)切圓】 98【考點(diǎn)5正多邊形和圓】 104【題型17正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算】 104【題型18正多邊形中的規(guī)律探究性問題】 109【考點(diǎn)6弧長和扇形面積】 114【題型19圓錐側(cè)面展開圖的有關(guān)計(jì)算】 115【題型20不規(guī)則圖形面積的計(jì)算】 121【題型21利用弧長和扇形面積公式解決幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問題】 128【考點(diǎn)1圖形的旋轉(zhuǎn)】知識點(diǎn)一旋轉(zhuǎn)的定義在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。知識點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點(diǎn)：圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。（3）圖形的大小與形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。知識點(diǎn)三利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：（1）任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它就是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為：①連：即連接圖形中每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，的到各點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；④接：即連接到所連接的各點(diǎn)?！绢}型1利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求角的度數(shù)】【例1】（23-24九年級·重慶·期中）如圖，將正方形ABCD的邊BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到CE，連接AE，再將AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AF，連接FE,FB，若∠BCE=α0<α<90°，則∠ABF的大小為（

A．α2 B．α?30° C．45°?α2【答案】C【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)．連接DE，根據(jù)正方形的性質(zhì)求得∠ECD=∠BCD?∠BCE=90°?α，∠CDE+∠CED=180°?∠ECD=90°+α，由CD=CE=CB得到∠CDE=∠CED=45°+12α，通過“SAS【詳解】解：連接DE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，∵∠BCE=α，∴∠ECD=∠BCD?∠BCE=90°?α，∴∠CDE+∠CED=180°?∠ECD=180°?∵由旋轉(zhuǎn)得CE=BC，∴CE=CD，∴∠CDE=∠CED=45°+1∴∠ADE=∠ADC?∠CDE=90°?45°+由旋轉(zhuǎn)可得∠EAF=90°，即∠EAB+∠FAB=90°，∵∠DAE+∠EAB=90°，∴∠DAE=∠BAF，∵AD=AB，AE=AF，∴△ADE≌△ABFSAS∴∠ABF=∠ADE=45°?1故選：C．【變式1-1】（23-24九年級·河南新鄉(xiāng)·期中）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P為三角形內(nèi)一點(diǎn)．PA=32，PB=8，PC=10，則【答案】135°或135度【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及勾股定理，勾股逆定理等知識內(nèi)容，先把三角形APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接EP，根據(jù)勾股定理得EP=6，根據(jù)勾股逆定理判斷，△BPE是直角三角形，即可作答．【詳解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，故把三角形APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接EP，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AE=AP=3則∠APE=45°，∴EP=A∵EB=CP=10，∴EB故∠EPB=90°，即∠APB=45°+90°=135°，故答案為：135°．【變式1-2】（23-24九年級·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC=126°，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB1C1．若點(diǎn)B1恰好落在BC邊上，且AA．14° B．16° C．18° D．20°【答案】C【分析】本題主要考查利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，出現(xiàn)等腰三角形，利用好三角形的外角和三角形內(nèi)角和是解決問題的關(guān)鍵，直接設(shè)∠C=α,利用方程思想可以直接算出∠C的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)∠C=α；∵AB∴∠B∴∠AB∵AB∴∠B=2α；∵∠BAC=126°；∴∠B+∠C=2α+α=3α=180°?126°；∴3α=54°；即，α=18°；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠C∴∠C故選：C．【變式1-3】（23-24九年級·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，兩個(gè)全等的含30°角的直角三角板，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°<α<90°）得到△A1B1C1，若C1B1交AB于點(diǎn)【答案】20°或40°【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，等邊對等角，解題的關(guān)鍵是表示出各個(gè)內(nèi)角，再分三種情況，根據(jù)等邊對等角列方程求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)可知：BC=B∴∠DB∴∠DBB而∠BDB當(dāng)BD=B∠DB1B=∠DB當(dāng)B1∠B1DB=∠解得：α=20°；當(dāng)BD=BB∠BDB1=∠B解得：α=40°；綜上：當(dāng)α=20°或40°時(shí)，△BB故答案為：20°或40°．【題型2利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求線段長度】【例2】（23-24九年級·上海·期末）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=62，點(diǎn)D、點(diǎn)E在邊AC上，且∠DBE=45°，若AE=9，則CD=

【答案】8【分析】首先根據(jù)題意可得∠A=∠C=45°，AC=AB2+BC2=12，CE=3，將△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△BAF，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連接DF，易知△BCE≌△BAF，再證明△DBF≌△DBE，由全等三角形的性質(zhì)可得DF=DE，設(shè)AD=x，則DF=DE=9?x，在Rt【詳解】解：∵∠ABC=90°，BA=BC=62∴∠A=∠C=12×90°=45°∵AE=9，∴CE=AC?AE=12?9=3，如下圖，將△BCE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△BAF，點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連接DF，

則△BCE≌△BAF，∴BF=BE，∠ABF=∠CBE，AF=CE=3，∠BAF=∠C=45°，∴∠DAF=∠BAC+∠BAF=90°，∵∠DBE=45°，∠ABC=90°，∴∠CBE+∠ABD=∠ABC?∠DBE=45°，∴∠DBF=∠ABD+∠ABF=∠ABD+∠CBE=45°，∴∠DBF=∠DBE，在△DBF和△DBE中，BF=BE∠DBF=∠DBE∴△DBF≌△DBESAS∴DF=DE，設(shè)AD=x，則DF=DE=AE?AD=9?x，∴在Rt△ADF中，可有A即32+x∴AD=4，∴CD=AC?AD=12?4=8．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（23-24九年級·福建福州·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=3，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CDE，連接AD，

【答案】39【分析】連接BD，過D作DF⊥AB交AB的延長線點(diǎn)F，則∠DBF=30°，利用勾股定理求出BF，即得到AF，解題即可．【詳解】∵△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CDE，∴BC=DC=3,∠BCD=60°，連接BD,則△BCD為等邊三角形，

∴BD=BC=3,∠CBD=60°∵∠ABC=90°，∴∠ABD=150°，∴過D作DF⊥AB交AB的延長線點(diǎn)F，∴∠DBF=30°

∴在Rt△BDFDF=1∴BF=BD2∴AF=AB+BF=23∴在Rt△ADFAD=AF故答案為:39．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（23-24九年級·上海長寧·期末）如圖，正方形ABCD的邊長為2，將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△AB′C′，其中B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)B′、C′．如果點(diǎn)B′在正方形ABCD內(nèi)，且到點(diǎn)B【答案】3?1/【分析】作BC的垂直平分線EF，交BC于E，交AD于F，作B′H⊥AB，交AB于點(diǎn)H，連接BB′、B′C、C′D，由題意可知當(dāng)B′在EF上時(shí)滿足到點(diǎn)B、C的距離相等，得到B′B=B′C，根據(jù)正方形性質(zhì)可證明△B′AC≌△DA【詳解】作BC的垂直平分線EF，交BC于E，交AD于F，作B′H⊥AB，交AB于點(diǎn)H，連接BB′由題意可知，當(dāng)B′旋轉(zhuǎn)到EF上時(shí)，到點(diǎn)B、C的距離相等，且∵四邊形ABCD是正方形∴∠DAC=∠B′AC∵∠B′∴∠在△B′ACA∴△∴C∴∵B′H⊥AB，∴四邊形HBEB∴又∵EF垂直平分BC，AB=BC=A∴B∴AH=∴BH=AB?AH=∴∴故答案為：3?1【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，垂直平分線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意找到B′【變式2-3】（23-24九年級·河南南陽·期末）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，當(dāng)點(diǎn)P在矩形ABCD外部時(shí)，連接PC，PD．若△DPC為直角三角形，則【答案】3或7+【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，分∠PDC=90°和∠DPC=90°兩種情況進(jìn)行解答即可求解，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形解決問題．【詳解】解：分兩種情況討論：①如圖1中，當(dāng)∠PDC=90°時(shí)，∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠PDC=180°，∴A、D、P共線，∵EA=EP，∠AEP=90°，∴∠EAP=45°，∵∠BAD=90°，∴∠BAE=45°，∵∠B=90°，∴∠BAE=∠BEA=45°，∴BE=AB=3；②如圖2中，當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設(shè)BE=x，∵∠AEB+∠PEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠PEF，在△ABE和△EFP中，∠BAE=∠PEF∠B=∠F=90°∴△ABE≌△EFPAAS∴EF=AB=3，PF=HC=BE=x，∴CF=3?(5?x)=x?2，∵∠DPH+∠CPH=90°，∠CPH+∠PCH=90°，∴∠DPH=∠PCH，∵∠DHP=∠PHC，∴△PHD∽△CHP，∴PH∴(x?2)∴x=7+174∴BE=7+綜上所述，當(dāng)△PDC是直角三角形時(shí)，BE的值為3或7+17【題型3利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求面積】【方法總結(jié)】解答圖形旋轉(zhuǎn)衍生的面積計(jì)算問題時(shí),要善于分析圖形面積之間的和差關(guān)系,并運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化(旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的面積相等),將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.【例3】（23-24九年級·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形A′B′CD′，邊A′A．2?2 B．2?1 C．22【答案】D【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，連接A′C，證明A′,B,C三點(diǎn)共線，勾股定理求出【詳解】解：連接A′∵邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形A′∴BC=1,∠BCD=90°,∠DCD∴∠BCD′=∠BCD?∠DC∵∠BCD∴A′∴A′B=A∵∠D∴BE=A∴S四邊形∴S陰故選D．【變式3-1】（23-24九年級·安徽蕪湖·期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，BC=23，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使得點(diǎn)A′恰好落在AB上，A′【答案】3【分析】先證明△ACA′是等邊三角形，再證明△CDA′是直角三角形，求出【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°∴AB=2AC=4，∠A=90°?∠B=60°由旋轉(zhuǎn)可得：CA=CA′，∴△ACA∴AA∴A∴∠A∴∠CDA∴△A∴A′由勾股定理，得，CD=C∴S【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的面積等知識，證明△A【變式3-2】（23-24九年級·廣東佛山·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，O為BC的中點(diǎn)，將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEF，D、E分別在邊AC和CA的延長線上，連接CF，若AD=3，則△OFC的面積是（）A．923 B．2723 C．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠AOC=90°，∠OAC=30°．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OA=OD，OC=OF，則可得△AOD和△COF都是等邊三角形，則AO=OD=AD=3，則可得CD=3，由此得DF垂直平分OC，，在Rt△AOC中求出OC的長，則可知CF、HC的長，進(jìn)而可得HF的長，從而可求得△COF【詳解】連接OA，OD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠ACB=30°，∵O為BC的中點(diǎn)，∴∠AOC=90°，∠OAC=1∴AO=1∵將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEF，∴OA=OD，OC=OF，∴△AOD是等邊三角形，∴AO=OD=AD=3，∴AC=2AO=6，∴CD=3，∴OD=CD，∴D點(diǎn)在OC的垂直平分線上，∵△AOD是等邊三角形，∴∠AOD=60°，即旋轉(zhuǎn)角為60°，∴∠COF=60°，∴△COF是等邊三角形，∴OF=CF，∴F點(diǎn)在OC的垂直平分線上，∴DF垂直平分OC，設(shè)垂足為H，∵OC=A∴CF=OF=33，HC=∴HF=C∴S故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定和性質(zhì)以及勾股定理．熟練掌握以上知識，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（23-24九年級·四川成都·期中）如圖，△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△A′B′C，若△ABC【答案】9【分析】先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BCB′=∠ACB′=∠ACA′=30°，再解直角三角形可計(jì)算出CD、AD、【詳解】解：如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，AB=3，∴AB=BC=AC=3，∠B=∠ACB=∠A=60°∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到△A∴∠BCB在△BCD中，∠B=60°，∠BCB′=30°同理，可得CA⊥A′B′；∴AD=BD=12BC=∴CE=CD=3∴AE=AC?CE=3在△AEF中，∠A=60°，則∠AFE=30°，從而得到AF=2AE=23∴圖中陰影部分的面積====9故答案為：92【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，勾股定理，含30°的直角三角形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)等知識，熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．【題型4平面直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換】【方法總結(jié)】此類題目主要對旋轉(zhuǎn)、勾股定理、軸對稱等內(nèi)容進(jìn)行綜合考查.要注意旋轉(zhuǎn)中心的確定.【例4】（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）在8×5的網(wǎng)格中建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O0,0，A3,4，B8,4(1)將線段CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對應(yīng)線段CD；(2)在線段AB上畫點(diǎn)E，使∠BCE=45°（保留畫圖過程的痕跡）；(3)連接AC，畫點(diǎn)E關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)F，并簡要說明畫法．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題意，將線段CD是將線段CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可；（2）連接BD，MN交于點(diǎn)G，連接CG并延長交AB于點(diǎn)E，即為所求；（3）連接5,0和0,5點(diǎn)與AC的交點(diǎn)F即為所求．【詳解】（1）如圖所示：線段CD即為所求；（2）如圖所示：∠BCE即為所求；由（1）可得，△BCD是等腰直角三角形∴BC=CD，∠BCD=90°由網(wǎng)格得，四邊形MDNB是矩形，BD，MN交于點(diǎn)G，∴點(diǎn)G是BD中點(diǎn)∴CG平分∠BCD∴∠BCE=1（3）連接5,0，0,5，與OA的交點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求，如圖所示：∵AB∥OC，AB=OC=5∴四邊形AOCB是平行四邊形∵OA=32∴OA=OC∴四邊形AOCB是菱形∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA由作圖可得，∠OCM=45°=∠BCE∴∠OCA?∠OCM=∠BCA?∠BCE∴∠ACM=∠ACE又∵AC=AC∴△ACF≌△ACE∴AF=AE，CF=CE∴AC垂直平分EF∴點(diǎn)E和點(diǎn)F關(guān)于直線AC對稱．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?旋轉(zhuǎn)變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定以及等腰三角形三線合一性質(zhì)等知識，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（23-24九年級·陜西漢中·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A3,4，B1,1，(1)△ABC先向下平移2個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位得到△A1B1C1（點(diǎn)A1、B1、C1(2)將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A2BC2（點(diǎn)A2、C2分別與點(diǎn)A【答案】(1)圖見解析；(2)圖見解析，C2【分析】（1）先找到點(diǎn)A、B、C平移后的對應(yīng)點(diǎn)A1、B1、（2）線段BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BA2，線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BC2，依次連接A2本題考查了坐標(biāo)與圖形變換-平移和旋轉(zhuǎn)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：點(diǎn)A3,4，B1,1，C4,1向下平移2個(gè)單位，再向左平移5個(gè)單位得A13?5,4?2，B11?5,1?2，C14?5,1?2，即A1?2,2，B（2）解：線段BA繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BA2，線段BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到BC2，依次連接由圖可知，點(diǎn)C2的坐標(biāo)為：1【變式4-2】（23-24九年級·河南鄭州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)為A1,0(1)平移△ABC，若點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為7,4，畫出平移后的△(2)將△ABC以點(diǎn)0,0為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的△A(3)已知將△A1B【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)1,2．【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，平移作圖、旋轉(zhuǎn)作圖以及找出旋轉(zhuǎn)中心，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）因?yàn)辄c(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C1的坐標(biāo)為7,4，所以找出點(diǎn)A（2）因?yàn)閷ⅰ鰽BC以點(diǎn)0,0為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，所以找出點(diǎn)A2（3）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，直接得△A1B【詳解】（1）解：△A（2）解：△A（3）解：由圖得將△A1B1C【變式4-3】（23-24九年級·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）正方形網(wǎng)格中（網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長是1），△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請?jiān)谒o的直角坐標(biāo)系中解答下列問題：(1)作出△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的△AB(2)作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對稱的△A(3)在x軸上找一點(diǎn)P使得PC+PB最小，則P點(diǎn)坐標(biāo)(4)請直接寫出以A1，B2，【答案】(1)見解析(2)見解析(3)?(4)(5，3)或(3【分析】本題主要考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識（1）作出A,B,C的對應(yīng)點(diǎn)A、B（2）作出A,B,C的對應(yīng)點(diǎn)A1（3）作點(diǎn)C關(guān)于x軸在對稱點(diǎn)M(?4，1)，連接BM交x軸于點(diǎn)P，求出直線BM的解析式，求出與（4）畫出點(diǎn)D的位置，寫出坐標(biāo)即可【詳解】（1）解：如圖，△AB（2）解：△A（3）解：作點(diǎn)C關(guān)于x軸在對稱點(diǎn)M(?4，1)，連接BM交x軸于點(diǎn)設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，把M(?4，?4k+b=1?2k+b=?2解得，k=?3所以，直線BM的解析式為y=?3令y=0，得x=?10∴P?故答案為：?10（4）解：如圖，由圖得，第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(5，3)或(3，故答案為：(5，3)或(3【題型5與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究性問題】【方法總結(jié)】與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究性問題,考查操作、想象、探究能力.解決這類問題,需要首先確定旋轉(zhuǎn)的角度和方向、旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)的角與邊,明確旋轉(zhuǎn)過程中的變量與不變量,利用旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等進(jìn)行邊與角的計(jì)算.【例5】（2024·山西大同·模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐：如圖1，已知點(diǎn)D是等邊三角形△ABC邊BC上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）．動(dòng)手操作：第一