2025年北師版七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第03講 乘法公式（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5大考點(diǎn)舉一反三+過(guò)關(guān)測(cè)試）

第03講乘法公式模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．掌握平方差和完全平方公式結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；2．學(xué)會(huì)運(yùn)用平方差和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算；

3.能用平方差和完全平方公式的逆運(yùn)算解決問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)1：平方差公式平方差公式：語(yǔ)言描述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.注意：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.知識(shí)點(diǎn)2：平方差公式的特征抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見(jiàn)的變式有以下類型：①位置變化，xyyxx2y2②符號(hào)變化，xyxyx2y2x2y2③指數(shù)變化，x2y2x2y2x4y4④系數(shù)變化，2ab2ab4a2b2⑤換式變化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增項(xiàng)變化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2知識(shí)點(diǎn)3：完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍注意：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見(jiàn)的變形：知識(shí)點(diǎn)4：拓展、補(bǔ)充公式；；；.考點(diǎn)一：平方差公式運(yùn)算例1.利用乘法公式計(jì)算下列各題：(1)2x+y2x?y；(2)2(3)x+3x?3x2+9；【變式1-1】計(jì)算?1+3a?1?3a的結(jié)果是（

A．3a2?1 B．?6a2?1【變式1-2】計(jì)算10012?1004×996=（A．?2017 B．2019 C．?2019 D．2017【變式1-3】運(yùn)用平方差公式計(jì)算．3a+b3a?b(2)12a?b?(5)2x?3y考點(diǎn)二：平方差公式下的幾何背景例2.從邊長(zhǎng)為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是______________．A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)(2)應(yīng)用所得的公式計(jì)算：20252(3)應(yīng)用所得的公式計(jì)算：1?1【變式2-1】【探究】（1）如圖①，邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，把圖①中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖②所示），通過(guò)觀察比較圖②與圖①中的陰影部分面積，可以得到乘法公式：（用含a,b的等式表示）；【應(yīng)用】（2）請(qǐng)應(yīng)用上述乘法公式解答下列各題：①已知m2=16+4n2，m+2n=4，則②計(jì)算：20232【拓展】（3）計(jì)算：502【變式2-2】實(shí)踐操作：從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是；（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A．a(chǎn)2?2ab+C．a(chǎn)2?啟發(fā)應(yīng)用：請(qǐng)結(jié)合（1）選出的等式，利用其結(jié)論完成下列各題：（2）計(jì)算：1?（3）計(jì)算101【變式2-3】如圖1所示，從邊長(zhǎng)為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，再沿著線段AB剪開(kāi)，把剪成的兩張紙拼成如圖2的長(zhǎng)方形．(1)設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．請(qǐng)直接用含a，b的代數(shù)式表示S1(2)應(yīng)用公式計(jì)算：①已知9x2?14②2024×2026?2025考點(diǎn)三：完全平方公式的有關(guān)運(yùn)算例3.計(jì)算：(1)1+4a2；(2)?5+3y2；(3)(4)?2x?132；(5)2a+12?4a【變式3-1】計(jì)算：(1)?5a+4b2；(2)2a?(3)23a?12b【變式3-2】計(jì)算：2x?3【變式3-3】已知a+b2=9，a?b2=25，求考點(diǎn)四：通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值例4.已知a+b=4，ab=?5，求：(1)a2(2)a?b2【變式4-1】已知(a?b)2=25，(1)a2(2)a【變式4-2】已知a+b=5，ab=6；(1)求a2(2)求(a?b)2【變式4-3】已知x+y2(1)2x(2)x?y2

考點(diǎn)五：完全平方公式下的幾何背景例5.用圖1中三種不同大小的正方形與長(zhǎng)方形，拼成了一個(gè)如圖2所示的正方形．(1)根據(jù)圖2中陰影部分的面積關(guān)系，直接寫(xiě)出代數(shù)式a+b2，a2+(2)根據(jù)完全平方公式的變形，解決下列問(wèn)題．①已知m+n=5，mn=4，求m2②已知x?982+100?x、【變式5-1】拓廣探索：若x滿足9?xx?4=4，求解：設(shè)9?x=a，則9?xx?4∴9?x2請(qǐng)仿照上面的方法求解問(wèn)題：(1)若x滿足5?xx?2=2，求(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E、F分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE=1，CF=3，長(zhǎng)方形EMFD的面積是48，分別以MF、【變式5-2】根據(jù)下列條件，解決下列問(wèn)題：(1)若x?y=4，xy=2，則x2+(2)若x?y=6，x2+y(3)如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB=10，兩正方形的面積和S1【變式5-3】?jī)蓚€(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形如圖放置（圖1），其未疊合部分（陰影）面積為S1；若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（如圖2），兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積為S(1)若a+b=8，ab=16，求S1(2)當(dāng)S1+S2=201.（23-24七年級(jí)下·貴州貴陽(yáng)·期中）下列多項(xiàng)式的乘法中，能用平方差公式計(jì)算的是（

）A．x?y?y+x B．C．a(chǎn)+2b2a?b D．2.（23-24七年級(jí)下·河北保定·期中）若x2+mx+25是完全平方式，則m的值是（A．±10 B．±5 C．10 D．53.（23-24八年級(jí)上·福建泉州·期末）如圖①所示，在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(a<b)，把余下的部分剪拼成一個(gè)②所示的矩形，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，這個(gè)等式是（

）A．a(chǎn)2?bC．(a?b)2=a4.（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·期中）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為m+2n，寬為m?2n，則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為（

）A．m2?2nC．m2+2n5.（23-24七年級(jí)下·湖南株洲·期中）計(jì)算3+132+1A．364?2 B．364?1 C．6.（23-24七年級(jí)下·廣東深圳·期末）下列圖形陰影部分的面積能夠直觀地解釋x?12=xA．B．C． D．7.（23-24七年級(jí)下·江蘇南京·期中）如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a和b，如果a+b=10，ab=22，那么陰影部分的面積是（

）A．15 B．17 C．20 D．228.（23-24七年級(jí)下·廣東茂名·期中）x2?6x+m是完全平方式．則m=9.（23-24七年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）若n?m=?2，且m+n=5，則m2?10.（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）計(jì)算：20232?2022×2024=11.（23-24七年級(jí)下·黑龍江大慶·期中）若a?1a=2，則a12.（23-24八年級(jí)上·江蘇常州·期中）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊向兩側(cè)作正方形．設(shè)AB=6，兩個(gè)正方形的面積和S1+S2=2013.（23-24七年級(jí)下·湖南懷化·期中）計(jì)算：(1)2x?3y3y+2x(2)x+1x14.（23-24七年級(jí)下·湖南益陽(yáng)·期中）已知a+b=4，ab=?5，求：(1)a2(2)a?b的值．15.（23-24七年級(jí)下·江西撫州·期中）閱讀下列材料3若x滿足9?xx?4=4，求解：設(shè)9?x=a，x?4=b，則9?xx?4=ab=4，∴4?x2請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問(wèn)題：(1)若x滿足5?xx?2=2，求(2)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的點(diǎn)，AE=1，CF=3，長(zhǎng)方形EMFD的面積為48，分別以MF，DF為邊作正方形MFRN和正方形DFGH．①M(fèi)F=，DF=；（用含x的式子表示）；②求陰影部分的面積．

第03講乘法公式模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．掌握平方差和完全平方公式結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；2．學(xué)會(huì)運(yùn)用平方差和完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算；

3.能用平方差和完全平方公式的逆運(yùn)算解決問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)1：平方差公式平方差公式：語(yǔ)言描述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.注意：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.知識(shí)點(diǎn)2：平方差公式的特征抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見(jiàn)的變式有以下類型：①位置變化，xyyxx2y2②符號(hào)變化，xyxyx2y2x2y2③指數(shù)變化，x2y2x2y2x4y4④系數(shù)變化，2ab2ab4a2b2⑤換式變化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2⑥增項(xiàng)變化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2知識(shí)點(diǎn)3：完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍注意：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見(jiàn)的變形：知識(shí)點(diǎn)4：拓展、補(bǔ)充公式；；；.考點(diǎn)一：平方差公式運(yùn)算例1.利用乘法公式計(jì)算下列各題：(1)2x+y2x?y；(2)2(3)x+3x?3x2+9；【答案】(1)4(2)4(3)x(4)x【分析】本題主要考查平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵；（1）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（3）二次利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（4）先把第一項(xiàng)和第三項(xiàng)利用平方差公式計(jì)算，然后再次利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：原式==4x（2）解：原式==4（3）解：原式==x（4）解：原式===x【變式1-1】計(jì)算?1+3a?1?3a的結(jié)果是（

A．3a2?1 B．?6a2?1【答案】D【分析】本題考查了平方差公式．根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：?1+3a==1?9a故選：D．【變式1-2】計(jì)算10012?1004×996=（A．?2017 B．2019 C．?2019 D．2017【答案】D【分析】此題主要考查利用平方差公式簡(jiǎn)便運(yùn)算．根據(jù)1004×996=1000+4【詳解】解：1001====2001+16=2017．故選：D．【變式1-3】運(yùn)用平方差公式計(jì)算．(1)3a+b3a?b(2)(3)12a?b?(5)2x?3y【答案】(1)9(2)x(3)b(4)3599.96(5)13【分析】本題考查了利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（2）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（3）把原式進(jìn)行變形，然后利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（4）把原式進(jìn)行變形，然后利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（5）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可得解，然后合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：原式==9a（2）解：原式==x（3）解：原式===b（4）解：原式===3600?0.04=3599.96；（5）解：原式===4=13x考點(diǎn)二：平方差公式下的幾何背景例2.從邊長(zhǎng)為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是______________．A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．a(chǎn)(2)應(yīng)用所得的公式計(jì)算：20252(3)應(yīng)用所得的公式計(jì)算：1?1【答案】(1)B(2)1(3)101【分析】本題考查了平方差公式，熟練掌握a2（1）先分別用代數(shù)式表示出兩圖中的陰影面積，再判斷即可．（2）把原式先變形為20252（2）根據(jù)a2【詳解】（1）解：圖1中陰影部分的面積是兩個(gè)正方形的面積差，即a2拼成的圖2為長(zhǎng)為a+b，寬為a?b的長(zhǎng)方形，因此面積為a+ba?b∴a2故選：B；（2）解：2025====1；（3）解：原式====101【變式2-1】【探究】（1）如圖①，邊長(zhǎng)為a的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，把圖①中的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖②所示），通過(guò)觀察比較圖②與圖①中的陰影部分面積，可以得到乘法公式：（用含a,b的等式表示）；【應(yīng)用】（2）請(qǐng)應(yīng)用上述乘法公式解答下列各題：①已知m2=16+4n2，m+2n=4，則②計(jì)算：20232【拓展】（3）計(jì)算：502【答案】（1）a+ba?b=a2【分析】本題考查平方差公式的應(yīng)用．（1）將兩個(gè)圖中陰影部分面積分別表示出來(lái)，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出m+2nm?2n②可將2024×2022寫(xiě)成2023+1×（3）利用平方差公式將502?49【詳解】解：（1）圖1中陰影部分面積a2?b所以，得到乘法公式a+ba?b故答案為：a+ba?b（2）①由m2=16+4n∵m+2nm?2n=m∴m?2n=4；故答案為：4；②2023====1；（3）50==50+49+48+47+?+4+3+2+1=50×=1275．【變式2-2】實(shí)踐操作：從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）．（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是；（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A．a(chǎn)2?2ab+C．a(chǎn)2?啟發(fā)應(yīng)用：請(qǐng)結(jié)合（1）選出的等式，利用其結(jié)論完成下列各題：（2）計(jì)算：1?（3）計(jì)算101【答案】（1）C；（2）1120【分析】本題考查了平方差公式與圖形面積，平方差公式的運(yùn)用，熟練掌握平方差公式是解題關(guān)鍵．（1）分別表示出兩個(gè)圖形中陰影部分的面積，即可列出等式；（2）利用（1）得出的等式化簡(jiǎn)各個(gè)括號(hào)內(nèi)的式子，再計(jì)算有理數(shù)的加減法與乘法即可得到答案；（3）首先將式子轉(zhuǎn)化成1012【詳解】解：（1）圖1中陰影部分的面積為：a2?b∴∴上述操作能驗(yàn)證的等式是a故選：C；（2）1?====11（3）101===200×2+196×=8．【變式2-3】如圖1所示，從邊長(zhǎng)為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，再沿著線段AB剪開(kāi)，把剪成的兩張紙拼成如圖2的長(zhǎng)方形．(1)設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．請(qǐng)直接用含a，b的代數(shù)式表示S1(2)應(yīng)用公式計(jì)算：①已知9x2?14②2024×2026?2025【答案】(1)a2?b2(2)①3，②?1【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)各個(gè)部分面積之間的關(guān)系進(jìn)行解答即可；（2）①先變形9x（3）利用平方差公式進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）圖1中陰影部分的面積為兩個(gè)正方形的面積差，即S1拼成圖2是長(zhǎng)為a+b，寬為a?b的長(zhǎng)方形，因此陰影部分的面積為S2所揭示的乘法公式為：(a+b)(a?b)=a故答案為：a2?b2，（2）①由3x+1得3x?1②2024×2026?=(2025?1)×(2025+1)?==?1．考點(diǎn)三：完全平方公式的有關(guān)運(yùn)算例3.計(jì)算：(1)1+4a2；(2)?5+3y2；(3)(4)?2x?132；(5)2a+12?4a【答案】(1)1+8a+16(2)25?30y+9(3)x(4)4(5)8a+1(6)1【分析】此題考查了完全平方公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．（1）利用完全平方公式展開(kāi)即可得到結(jié)果；（2）利用完全平方公式展開(kāi)即可得到結(jié)果；（3）利用完全平方公式展開(kāi)即可得到結(jié)果；（4）利用完全平方公式展開(kāi)即可得到結(jié)果；（5）利用完全平方公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開(kāi)，再合并同類項(xiàng)即可得到結(jié)果；（6）利用完全平方公式展開(kāi)，再合并同類項(xiàng)即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：1+4a=1+8a+16a（2）?5+3y=25?30y+9y（3）x=x（4）?2x?=4x（5）2a+1=4=8a+1；（6）1==1【變式3-1】計(jì)算：(1)?5a+4b2；(2)2a?(3)23a?12b【答案】(1)25(2)4(3)4(4)m【分析】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式a±b2（1）運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；（4）運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：?5a+4b==25a（2）解：2a?==4a（3）解：2==4（4）解：?mn+==m【變式3-2】計(jì)算：2x?3【答案】13【分析】本題主要考查了完全平方公式及整式的加減，熟記公式是解答本題的關(guān)鍵．先利用完全平方公式展開(kāi)，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：原式=4=13x【變式3-3】已知a+b2=9，a?b2=25，求【答案】a2+【分析】此題考查了完全平方公式．已知等式利用完全平方公式化簡(jiǎn)，兩式加減即可求解．【詳解】解：由a+b2=9，得由a?b2=25，得①+②得∴a2①?②得∴ab=?4．

考點(diǎn)四：通過(guò)對(duì)完全平方公式變形求值例4.已知a+b=4，ab=?5，求：(1)a2(2)a?b2【答案】(1)26(2)36【分析】（1）把a(bǔ)2+b2變形為a+b2（2）把a(bǔ)?b2變形為a+b2?4ab，再把a(bǔ)+b=4本題考查了完全平方公式的變形求值，熟練掌握完全平方公式(a±b)2【詳解】（1）解：∵a+b=4，ab=?5，∴a（2）解：∵a+b=4，ab=?5，a?b2【變式4-1】已知(a?b)2=25，(1)a2(2)a【答案】(1)13(2)97【分析】本題考查了完全平方公式變形求值，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式變形求值，即可求解．（2）根據(jù)完全平方公式即可求解．【詳解】（1）解：∵(a?b)2=25，∴a=25+2×=13；（2）解：aa∵(a?b)2=25，∴a2+b∴a=97；【變式4-2】已知a+b=5，ab=6；(1)求a2(2)求(a?b)2【答案】(1)13(2)1【分析】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用，代數(shù)式求值，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）利用完全平方公式得到a2+b2=（2）利用完全平方公式得到(a?b)2=(a+b)2?4ab【詳解】（1）解：當(dāng)a+b=5，ab=6時(shí)

a===25?12=13（2）(a?b)===25?24=1【變式4-3】已知x+y2(1)2x(2)x?y2【答案】(1)80(2)34【分析】本題考查了完全平方公式，熟練掌握公式是解答本題的關(guān)鍵．（1）原式提取2變形后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，將已知等式代入計(jì)算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式變形，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】（1）解：∵x+y∴2x（2）解：∵x+y∴x?y

考點(diǎn)五：完全平方公式下的幾何背景例5.用圖1中三種不同大小的正方形與長(zhǎng)方形，拼成了一個(gè)如圖2所示的正方形．(1)根據(jù)圖2中陰影部分的面積關(guān)系，直接寫(xiě)出代數(shù)式a+b2，a2+(2)根據(jù)完全平方公式的變形，解決下列問(wèn)題．①已知m+n=5，mn=4，求m2②已知x?982+100?x【答案】(1)a(2)①m2+n2【分析】本題考查的是完全平方公式的變形，掌握公式變形是解本題的關(guān)鍵；（1）由等面積法可得公式變形；（2）①由m2+n2=(m+n)2【詳解】（1）解：由等面積法可得：a2故答案為：a2（2）解：①∵m+n=5,mn=4，∴m2②∵x?98+100?x=2，x?982∴[(x?98)+(100?x)]==34+2(x?98)(100?x)，即4=34+2(x?98)(100?x)，解得(x?98)(100?x)=?15．【變式5-1】拓廣探索：若x滿足9?xx?4=4，求解：設(shè)9?x=a，則9?xx?4∴9?x2請(qǐng)仿照上面的方法求解問(wèn)題：(1)若x滿足5?xx?2=2，求(2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E、F分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE=1，CF=3，長(zhǎng)方形EMFD的面積是48，分別以MF、【答案】(1)5(2)28【分析】本題考查了完全平方公式、平方差公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握完全平方公式與平方差公式之間的轉(zhuǎn)換．（1）設(shè)5?x=a，x?2=b，根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）根據(jù)題意可得，MF=x?1，F(xiàn)D=x?3，設(shè)x?1=a，x?3=b，長(zhǎng)方形EMFD的面積ab=x?1x?3=48，a?b=【詳解】（1）解：設(shè)5?x=a，x?2=b，則5?xx?2=ab=2，∴5?x2（2）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，AE=1，CF=3∴MF=DE=x?1，F(xiàn)D=x?3，設(shè)x?1=a，x?3=b，則ab=x?1x?3=48∴a+b2∴a+b=14，∴S陰=x?12?∴陰影部分的面積為28．【變式5-2】根據(jù)下列條件，解決下列問(wèn)題：(1)若x?y=4，xy=2，則x2+(2)若x?y=6，x2+y(3)如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)AB=10，兩正方形的面積和S1【答案】(1)20；(2)?3；(3)7．【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的定義是關(guān)鍵．（1）根據(jù)a?b2（2）根據(jù)a?b2（3）根據(jù)a+b2【詳解】（1）解：∵x?y=4，∴x∵xy=2，∴x故答案為：20；（2）解：∵x?y=6，∴x∵x∴30?2xy=36，解得：xy=?3；（3）解：∵AB=10，∴AC+BC=10，∴AC∵四邊形ACDE，F(xiàn)CBG是正方形，S1∴AC2+B∴2AC?BC=100?72，即：AC?BC=14，∴S【變式5-3】?jī)蓚€(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形如圖放置（圖1），其未疊合部分（陰影）面積為S1；若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（如圖2），兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積為S(1)若a+b=8，ab=16，求S1(2)當(dāng)S1+S2=20【答案】(1)16(2)10【分析】本題主要考查完全平方公式的幾何背景的應(yīng)用完全，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形之間的面積關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算．（1）根據(jù)正方形的面積之間的關(guān)系，即可用含a、b的代數(shù)式分別表示S1、S2，利用a+b=8，ab=16，求出a2（2）根據(jù)S3=12a【詳解】（1）解：由圖可得S1=a∴S1∵a+b=8，ab=16，∴a+b2∴a2∴S1（2）解：由圖可得，S3∵S1∴S31.（23-24七年級(jí)下·貴州貴陽(yáng)·期中）下列多項(xiàng)式的乘法中，能用平方差公式計(jì)算的是（

）A．x?y?y+x B．C．a(chǎn)+2b2a?b D．【答案】D【分析】本題主要考查了平方差公式，熟知平方差公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵：x?yx+y【詳解】解：A、x?y?y+xB、x?y?x+yC、a+2b2a?bD、2x?y2x+y故選：D．2.（23-24七年級(jí)下·河北保定·期中）若x2+mx+25是完全平方式，則m的值是（A．±10 B．±5 C．10 D．5【答案】A【分析】本題考查完全平方式，根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵x2∴mx=±2×5x=±10x，∴m=±10；故選A．3.（23-24八年級(jí)上·福建泉州·期末）如圖①所示，在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(a<b)，把余下的部分剪拼成一個(gè)②所示的矩形，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，這個(gè)等式是（

）A．a(chǎn)2?bC．(a?b)2=a【答案】A【分析】此題考查了平方差公式幾何背景問(wèn)題的解決能力，根據(jù)題意分別表示出兩個(gè)圖形中陰影部分的面積即可．【詳解】解：∵圖1中陰影部分的面積表示為：a2?b∴a故選：A．4.（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·期中）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為m+2n，寬為m?2n，則這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為（

）A．m2?2nC．m2+2n【答案】B【分析】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，利用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：長(zhǎng)方形的面積為m+2nm?2n故選：B．5.（23-24七年級(jí)下·湖南株洲·期中）計(jì)算3+132+1A．364?2 B．364?1 C．【答案】D【分析】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．原式變形后，利用平方差公式計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：3+1====3故答案為：D．6.（23-24七年級(jí)下·廣東深圳·期末）下列圖形陰影部分的面積能夠直觀地解釋x?12=xA．B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，根據(jù)面積公式分別表示出x?1和x2【詳解】解：根據(jù)x?12幾何意義表示為邊長(zhǎng)為x由x2?2x+1可知邊長(zhǎng)為x正方形的面積，減去2個(gè)邊長(zhǎng)為x和1的長(zhǎng)方形，加一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，即可知故選：A．7.（23-24七年級(jí)下·江蘇南京·期中）如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a和b，如果a+b=10，ab=22，那么陰影部分的面積是（

）A．15 B．17 C．20 D．22【答案】B【分析】此題考查了完全平方公式的幾何意義，適當(dāng)?shù)淖冃问墙鉀Q問(wèn)題的關(guān)鍵．用含a，b的代數(shù)式表示出陰影部分面積，再整體代入求值即可．【詳解】解：由題意可得：陰影部分面積==1∵a+b=10，ab=22，∴a2∴陰影部分面積12故選：B．8.（23-24七年級(jí)下·廣東茂名·期中）x2?6x+m是完全平方式．則m=【答案】9【分析】此題考查了完全平方式，利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可得到m的值．熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵x2∴m=6故答案為：9．9.（23-24七年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）若n?m=?2，且m+n=5，則m2?【答案】10【分析】本題考查了平方差公式的變形計(jì)算，代入求值的運(yùn)用，根據(jù)題意分別求出m，n的值，代入計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意可得，m2已知n?m=?2，m+n=5,∴m?n=2，∴原式=5×2=10，故答案為：10．10.（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）計(jì)算：20232?2022×2024=【答案】1【分析】本題考查的是利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，把原式化為20232【詳解】解：2023===1，故答案為：111.（23-24七年級(jí)下·黑