磁場(chǎng)的高斯定理和安培環(huán)路定理

磁場(chǎng)的高斯定理和安培環(huán)路定理磁場(chǎng)和電場(chǎng)一樣，是場(chǎng)物質(zhì)的存在形式，電場(chǎng)的性質(zhì)用電通量和電場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)流滿足的規(guī)律，即高斯定理和環(huán)路定理描述；磁場(chǎng)性質(zhì)的研究也仿照這個(gè)思路，引入高斯定理和安培環(huán)路定理.這也為其他形式場(chǎng)的物質(zhì)性質(zhì)的經(jīng)典描述提供了很好的思路.磁場(chǎng)的高斯定理一、磁感應(yīng)線1.前面引入磁感應(yīng)強(qiáng)度描述磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B是空間點(diǎn)函數(shù)，不同點(diǎn)的B的大小和方向各不相同，磁場(chǎng)的強(qiáng)弱可用B的表達(dá)式精確描述，但這種描述方法不直觀.在磁場(chǎng)中，類似于電場(chǎng)線，引入磁感應(yīng)線（磁力線）形象直觀地描述磁場(chǎng).磁感應(yīng)線上每點(diǎn)的切線方向和該點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向一致，而且定義穿過(guò)垂直于該點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度單位面積元的磁感應(yīng)線的條數(shù)，即磁感應(yīng)線的密度等于該點(diǎn)B的數(shù)值.用磁感應(yīng)線的疏密程度表示磁場(chǎng)的強(qiáng)弱，B大的地方，磁感應(yīng)線就密集；B小的地方，磁感應(yīng)線就稀疏.因而磁感應(yīng)線的分布能形象地反映磁場(chǎng)的方向和大小的特征.對(duì)均勻磁場(chǎng)來(lái)說(shuō)，各處磁感應(yīng)線密度相等，磁場(chǎng)中的磁感應(yīng)線相互平行等距；而對(duì)于非均勻磁場(chǎng)來(lái)說(shuō)，各處磁感應(yīng)線密度不相等，如圖9-15所示.英國(guó)物理學(xué)家法拉第在1852年首先提出了磁感應(yīng)線的概念.他在一張撒了鐵粉的紙的下面，用磁棒輕輕顫動(dòng)，這些鐵粉就能夠把磁場(chǎng)的磁感應(yīng)線清楚地呈現(xiàn)出來(lái).圖9-15典型電流激發(fā)的磁場(chǎng)（a）長(zhǎng)直電流

（b）圓電流

（c）螺線管

（d）螺繞環(huán)圖9-15所示為長(zhǎng)直電流、圓電流、螺線管和螺繞環(huán)四種典型電流激發(fā)的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)線分布實(shí)驗(yàn)圖.觀察上述不同電流的磁感應(yīng)線，發(fā)現(xiàn)這些磁感應(yīng)線區(qū)別于電場(chǎng)線.總結(jié)上面四種電流的磁感應(yīng)線分布情況，可以歸納出磁感應(yīng)線的性質(zhì).(1）磁感應(yīng)線是環(huán)繞電流的無(wú)頭尾的閉合曲線，無(wú)起點(diǎn)無(wú)終點(diǎn)——與電場(chǎng)線不同.原因是正負(fù)電荷可以分離，而磁鐵的兩極不可分離.

(2）磁感應(yīng)線永遠(yuǎn)與電流互相套合，其環(huán)繞方向與電流流向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系——與電場(chǎng)線不同.(3)磁感應(yīng)線不相交——與電場(chǎng)線相同.電場(chǎng)中引入電通量描述電場(chǎng)，同樣地，磁場(chǎng)中也可引入磁通量描述磁場(chǎng).下面介紹磁場(chǎng)中磁通量的概念.磁通量2.通過(guò)磁場(chǎng)中某一曲面的磁感應(yīng)線的條數(shù)稱為通過(guò)此曲面的磁通量，簡(jiǎn)稱B通量，用符號(hào)Φm表示.磁通量是標(biāo)量，但它有正、負(fù)之分.磁通量Φm的計(jì)算方法與電通量Φe的計(jì)算方法類似.在工程中，B也被稱作磁通密度.類似于電通量，在磁通量的定義中也有有向曲面的概念.如圖9-16所示，在非勻強(qiáng)磁場(chǎng)中任一給定曲面S上取面積元dS矢量，若dS的法線方向en與該處磁感應(yīng)強(qiáng)度B的夾角為θ，則通過(guò)面積元dS的元磁通量為dΦm=B·dS=BdScosθ(9-17)圖9-16磁通量式中，dS為面積元矢量，其大小為dS，方向沿法線方向，用法向的單位矢量en表示.通過(guò)整個(gè)曲面S的磁通量等于通過(guò)此面積上所有面積元的磁通量的代數(shù)和，即(9-18)在國(guó)際單位制中，磁通量的單位是韋伯（Wb）.

1Wb=1T·m2

對(duì)于閉合曲面來(lái)說(shuō)，規(guī)定垂直于曲面向外的指向?yàn)閱挝环ň€矢量en的正方向.這樣，當(dāng)磁感應(yīng)線從閉合曲面內(nèi)穿出時(shí)，則磁通量為正值；當(dāng)磁感應(yīng)線穿入閉合曲面時(shí)，則磁通量為負(fù)值，如圖9-17所示.因?yàn)榇鸥袘?yīng)線是無(wú)頭無(wú)尾的閉合線，所以穿入閉合曲面的磁感應(yīng)線條數(shù)必然等于穿出閉合曲面的磁感應(yīng)線條數(shù).因此，通過(guò)磁場(chǎng)中任一閉合曲面的總磁通量是恒等于零的，這一結(jié)論稱為磁場(chǎng)的高斯定理，即

（9-19）式(9-19)與靜電場(chǎng)的高斯定理相對(duì)應(yīng)，但兩者有著本質(zhì)的區(qū)別.在靜電場(chǎng)中，因?yàn)樽匀唤缬歇?dú)立存在的自由電荷，所以通過(guò)某一閉合曲面的電通量可以不為零，說(shuō)明靜電場(chǎng)是有源場(chǎng).在磁場(chǎng)中，因?yàn)樽匀唤缰械拇艠O總是成對(duì)出現(xiàn)的，沒(méi)有單獨(dú)存在的磁極，所以通過(guò)任一閉合曲面的磁通量必恒等于零，即SB·dS=0，說(shuō)明磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng).圖9-17閉合曲面的磁通量磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理二、靜電場(chǎng)中的電場(chǎng)線起始于正電荷終止于負(fù)電荷，意味著靜電場(chǎng)是有源場(chǎng).這種場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑的環(huán)流恒等于零，即∮LE·dl=0，說(shuō)明靜電場(chǎng)是保守場(chǎng).而在磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)線都是環(huán)繞電流的閉合曲線，明顯區(qū)別于非閉合的電場(chǎng)線，說(shuō)明磁場(chǎng)的性質(zhì)一定不同于靜電場(chǎng)，那么磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑的環(huán)流不一定恒等于零，即∮LB·dl≠0，說(shuō)明磁場(chǎng)一定是非保守場(chǎng).在真空中，各點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向與產(chǎn)生該磁場(chǎng)的電流分布有關(guān).可以預(yù)見(jiàn)環(huán)流∮LB·dl的值也與場(chǎng)源電流的分布有關(guān).磁場(chǎng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度B的環(huán)流與場(chǎng)源電流滿足一定規(guī)律，下面的定理將給出它們之間簡(jiǎn)單的定量關(guān)系.科學(xué)研究往往是從一個(gè)特殊情形出發(fā)得出某種結(jié)論，然后進(jìn)行一定的概括和抽象，最后歸納得出普遍適用的定理，這是一條傳統(tǒng)的、比較成熟的科學(xué)研究途徑.下面從特例出發(fā)計(jì)算環(huán)流∮LB·dl的值，然后引入定理.安培環(huán)路定理的內(nèi)容1.設(shè)真空中有一長(zhǎng)直線電流，它所激發(fā)的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)線是一組以直線電流為軸線的同軸圓，如圖9-19(a)所示，即圓心在直電流上，圓所在的平面與電流垂直.在垂直于長(zhǎng)直線電流的平面內(nèi)，任取一條以直線電流為圓心、半徑為r的圓形環(huán)路L作為積分的閉合路徑.其方向與圓周相切.如果積分路徑的繞行方向與該條磁感應(yīng)線方向相同，也就是積分路徑的繞行方向與包圍的電流成右手螺旋關(guān)系，則B與dl間的夾角處處為零，于是式(9-20)左端稱為磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿閉合路徑L的環(huán)流，說(shuō)明B的環(huán)流等于閉合路徑所包圍的電流與真空磁導(dǎo)率的乘積，而與積分路徑的圓半徑r無(wú)關(guān).圖9-19安培環(huán)路定理如果保持積分路徑的繞行方向不變，而改變上述電流的方向，由于每個(gè)線元dl與B的夾角θ=π，因此(9-21)式(9-21)不同于式(9-20)的結(jié)論，說(shuō)明電流方向與積分路徑的繞行方向之間的關(guān)系影響B(tài)的環(huán)流的計(jì)算結(jié)果.式(9-21)不同于式(9-20)的結(jié)論，說(shuō)明電流方向與積分路徑的繞行方向之間的關(guān)系影響B(tài)的環(huán)流的計(jì)算結(jié)果.如果計(jì)算B的環(huán)流時(shí)選取任意閉合路徑，見(jiàn)圖9-19(a),圖9-19(b)是局部細(xì)節(jié)圖.設(shè)回路L的繞向?yàn)槟鏁r(shí)針，電流與回路平面的交點(diǎn)為O，在回路上任取一線元dl，它與B的夾角為θ，對(duì)O點(diǎn)的張角為dφ.由于線元dl很小，dφ很小，因此B的環(huán)流為這個(gè)結(jié)論與式(9-20)的結(jié)論一致，說(shuō)明B的環(huán)流（B沿閉合路徑的積分）與路徑形狀無(wú)關(guān)，只與包圍的電流有關(guān).如圖9-20所示圖9-20回路外電流對(duì)環(huán)流的貢獻(xiàn)若在垂直平面內(nèi)的任一閉合路徑L不包圍電流，則電流與回路相切于a、b兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)在回路上將L分成L1、L2兩段，對(duì)同一張角dφ，對(duì)應(yīng)于兩個(gè)線元dl1和dl2，dl1與B1成鈍角，dl2與B2成銳角.因此有當(dāng)電流未穿過(guò)閉合路徑L時(shí)，路徑上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度雖不為零，但磁感應(yīng)強(qiáng)度沿該閉合路徑的環(huán)流為零，即回路外的電流對(duì)B的環(huán)流無(wú)貢獻(xiàn).如果空間磁場(chǎng)由n個(gè)電流共同激發(fā)，其中閉合回路L包含m個(gè)電流，其余n－m個(gè)電流沒(méi)有穿過(guò)閉合路徑.回路上任一點(diǎn)的B應(yīng)為各電流在該點(diǎn)所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和，即B=B1+B2+…+Bn，于是對(duì)該閉合路徑L，B的環(huán)流為由此歸納出安培環(huán)路定理，其表述為：在真空的穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿任意閉合曲線的線積分（B的環(huán)流），等于穿過(guò)該閉合曲線的所有電流強(qiáng)度（穿過(guò)以閉合曲線為邊界的任意曲面的電流強(qiáng)度）的代數(shù)和的μ0倍，即

（9-22）

為了更好地理解這個(gè)定理的含義，需要說(shuō)明以下幾點(diǎn)：（1）回路L的繞行方向可以任意選擇，當(dāng)L與電流Ii滿足右手螺旋關(guān)系時(shí)，電流Ii取正值；反之，取負(fù)值.∑L內(nèi)Ii是指閉合路徑L內(nèi)包圍電流的代數(shù)和.（2）要注意區(qū)分B的環(huán)流與B.如圖9-21（a）所示，電流I1、I2和I3穿過(guò)閉合路徑L.電流I1穿入回路L并且穿出回路L，對(duì)B的環(huán)流的貢獻(xiàn)為零.I2與L成右旋關(guān)系，I2取正值；I3與L成左旋關(guān)系，I3取負(fù)值.I4未穿過(guò)閉合路徑L，所以對(duì)B的環(huán)流無(wú)貢獻(xiàn).于是，B沿該閉合路徑的環(huán)流為若將電流I4的位置移動(dòng)，如圖9-21（b）所示.此時(shí)，B的環(huán)流不變，仍為∮LB·dl=μ0(I2－I3).也就是說(shuō)，回路L外的電流I4的位置對(duì)B的環(huán)流沒(méi)有影響.所以，B的環(huán)流只由回路L內(nèi)所包圍的電流決定.但是電流I4的位置移動(dòng)，回路L上的各點(diǎn)B是由空間所有電流共同激發(fā)的.所以，B的環(huán)流與B是兩個(gè)不同的概念.圖9-21電流與環(huán)流的關(guān)系（3）與靜電場(chǎng)的環(huán)路定理∮E·dl=0相比較，穩(wěn)恒磁場(chǎng)中B的環(huán)流∮B·dl≠0，說(shuō)明穩(wěn)恒磁場(chǎng)的性質(zhì)和靜電場(chǎng)不同.靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)，穩(wěn)恒磁場(chǎng)是非保守場(chǎng)，不能引入標(biāo)勢(shì)的概念.安培環(huán)路定理揭示了穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)的基本性質(zhì).(4)安培環(huán)路定理對(duì)于任意穩(wěn)恒電流均成立.若電流隨時(shí)間變化，則還必須加以修正.安培環(huán)路定理對(duì)于研究穩(wěn)恒磁場(chǎng)有著重要意義，同時(shí)它也有很重要的應(yīng)用.安培環(huán)路定理的應(yīng)用2.安培環(huán)路定理除了反映磁場(chǎng)的非保守性外，也可以用來(lái)簡(jiǎn)便地計(jì)算具有某些對(duì)稱性的典型磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，類似于靜電場(chǎng)的高斯定理的應(yīng)用.安培環(huán)路定理是一個(gè)普遍定理，但要用它直接計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度，只限于電流分布具有某種對(duì)稱性，即利用安培環(huán)路定理求磁場(chǎng)的前提條件是如果在某個(gè)載流導(dǎo)體的穩(wěn)恒磁場(chǎng)中，可以找到一條閉合環(huán)路L，該環(huán)路上各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小處處相等或者一部分B的大小處處相等，其余部分B⊥dl，這樣利用安培環(huán)路定理求B的問(wèn)題，就轉(zhuǎn)化為求環(huán)路長(zhǎng)度及求環(huán)路所包圍的電流代數(shù)和的問(wèn)題.利用安培環(huán)路定理求磁場(chǎng)的關(guān)鍵是在磁場(chǎng)中能否找到上述環(huán)路.這取決于該磁場(chǎng)分布的對(duì)稱性，而磁場(chǎng)分布的對(duì)稱性又源于電流分布的對(duì)稱性.應(yīng)用安培環(huán)路定理，計(jì)算一些具有一定對(duì)稱性的電流分布的磁感應(yīng)強(qiáng)度十分方便.計(jì)算時(shí)，首先用磁場(chǎng)疊加原理對(duì)載流體的磁場(chǎng)進(jìn)行對(duì)稱性分析，然后根據(jù)磁場(chǎng)的對(duì)稱性和特征，設(shè)法找到滿足上述條件的積分路徑(使B可提到積分號(hào)外)，最后利用定理公式求磁感應(yīng)強(qiáng)度.（1）無(wú)限長(zhǎng)直載流圓柱體的磁場(chǎng)分布.無(wú)限長(zhǎng)直載流圓柱體截面電流強(qiáng)度為I，圓柱體截面半徑為R.①首先，分析電流的對(duì)稱性，找出磁場(chǎng)分布的對(duì)稱性.如圖9-22（a）所示，電流沿軸向在截面上均勻分布.圓柱體電流可看成無(wú)數(shù)長(zhǎng)直線電流的集合.如圖9-22(b)所示圖9-22無(wú)限長(zhǎng)直載流圓柱體的磁場(chǎng)②其次，選擇合適的閉合回路L.磁場(chǎng)具有軸對(duì)稱性，軸對(duì)稱性磁場(chǎng)表現(xiàn)為磁感應(yīng)線是由等距點(diǎn)組成的，因此磁感應(yīng)線上各點(diǎn)的B的大小相等，B的方向沿磁感應(yīng)線的切線方向.根據(jù)磁場(chǎng)的對(duì)稱性選擇閉合回路L.如圖9-22（b）所示，過(guò)場(chǎng)點(diǎn)P的同軸圓L為閉合路徑，規(guī)定其繞行方向沿逆時(shí)針?lè)较?，與B同向，則B的環(huán)流為上式表明，在導(dǎo)體內(nèi)部B的大小與r成反比，即長(zhǎng)直載流圓柱體外部磁場(chǎng)的B分布與無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)的B分布相同.圖9-22（c）給出了長(zhǎng)直載流圓柱體的磁場(chǎng)B隨r變化的曲線.實(shí)際上，只要是無(wú)限長(zhǎng)直柱狀載流體，都可用安培環(huán)路定理計(jì)算軸對(duì)稱性的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小.例如，無(wú)限長(zhǎng)直柱面電流，仍可用上述方法計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，柱面內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.另外，一些無(wú)限長(zhǎng)直柱狀電流組合的磁場(chǎng)也可以這樣計(jì)算.（2）無(wú)限大載流平面的磁場(chǎng).設(shè)一無(wú)限大載流平面垂直于紙面放置，其上有方向垂直于紙面朝外的電流通過(guò)，面電流密度（指通過(guò)與電流方向垂直的單位長(zhǎng)度的電流）均勻，大小為j.①首先，分析對(duì)稱性.如圖9-23所示，這個(gè)面電流可視為無(wú)限多平行長(zhǎng)直電流激發(fā)的磁場(chǎng).電流分布具有面對(duì)稱性.任取場(chǎng)點(diǎn)P，作PO垂線，取對(duì)稱的長(zhǎng)直電流元，其和磁場(chǎng)方向平行于電流平面.無(wú)數(shù)對(duì)稱元在P點(diǎn)的總磁場(chǎng)方向平行于電流平面.因電流平面無(wú)限大，故與電流平面等距離的各點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小相等.在該平面兩側(cè)的磁場(chǎng)方向相反.該磁場(chǎng)的分布特征具有面對(duì)稱性，等距點(diǎn)B的大小相等，磁感應(yīng)線平行于平面.②其次，根據(jù)磁場(chǎng)的對(duì)稱性特征，取合適的安培回路.作一安培回路如圖9-23所示，bc和da兩邊被電流平面等分.圖9-23無(wú)限大載流平面的磁場(chǎng)（3）長(zhǎng)直載流螺線管內(nèi)的磁場(chǎng).設(shè)螺線管長(zhǎng)為L(zhǎng)，半徑為R，導(dǎo)線均勻密繞在管的圓柱面上，單位長(zhǎng)度上的匝數(shù)為n，導(dǎo)線中的電流強(qiáng)度為I.①首先，分析磁場(chǎng)的對(duì)稱性.通常L>20R，可將螺線管視為無(wú)限長(zhǎng).長(zhǎng)直載流螺線管可看作由無(wú)窮多個(gè)共軸的圓電流構(gòu)成，其周圍磁場(chǎng)是由各匝圓電流所激發(fā)磁場(chǎng)的疊加結(jié)果.在長(zhǎng)直載流螺線管的內(nèi)部任選一點(diǎn)P，在點(diǎn)P兩側(cè)對(duì)稱地選擇兩匝圓電流，由圓電流的磁場(chǎng)分布可知，兩者的磁場(chǎng)疊加，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向與螺線管的軸線方向平行.因?yàn)槭菬o(wú)限長(zhǎng)，所以只有軸上的分量，在與軸等距離的平行線ab上磁感應(yīng)強(qiáng)度相等如圖9-24所示.圖9-24長(zhǎng)直載流螺線管內(nèi)的磁場(chǎng)由于載流長(zhǎng)直螺線管的磁感應(yīng)線與軸平行，兩端通向無(wú)窮遠(yuǎn)，在無(wú)窮遠(yuǎn)處