定積分的概念及性質(zhì)

定積分的概念及性質(zhì)定積分及其應(yīng)用一元函數(shù)的積分學(xué)分為兩個部分，一部分是上一章介紹的不定積分；另一部分就是本章將要介紹的定積分，它包括定積分的概念、運算與應(yīng)用.定積分有著廣泛的應(yīng)用，本章著重介紹如何運用定積分的微元法解決各種實際問題的定積分模型.作為定積分概念的推廣，本章還要介紹廣義積分.

一、定積分的概念實例引入1.實例1求曲邊梯形的面積.

設(shè)f(x)為閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，且f(x)≥0.由曲線y=f(x)，直線x=a，x=b以及x軸所圍成的平面圖形，稱為曲邊梯形，如圖6-1所示.那么，這個曲邊圖形的面積如何計算呢？圖6-1一、定積分的概念我們知道，平面圖形可以劃為若干個曲邊梯形之和.為了解決求平面圖形面積的問題，先來解決如何求曲邊梯形的面積問題.現(xiàn)在，我們所遇到的主要困難是：它的一條邊f(xié)(x)是曲線，如果f(x)是平行于x軸的直線段，則為矩形，其面積公式為矩形的面積＝底×高.

一、定積分的概念但曲邊梯形的面積不能用這個公式計算，因為它各處的高是不同的.為了解決上面的困難，我們用一組平行于y軸的直線將曲邊梯形分割成若干個小窄曲邊梯形.針對每個小窄曲邊梯形，由于它的底很窄，高f(x)變化不大，可以近似地看作不變，小窄曲邊圖形可近似為窄矩形.把這些小窄曲邊圖形面積的近似值加起來就得到了原曲邊梯形面積的近似值.可以想象，把曲邊梯形分得越細(xì)，所得到的近似值的精確度就越高.因此，當(dāng)無限細(xì)分(每個小矩形的底邊長都趨于零)時，所得的近似值如果有極限，就可定義該極限值為曲邊梯形的面積.下面分四步具體討論：一、定積分的概念(1)分割.在［a,b］區(qū)間內(nèi)任取n－1個分點

a=x0<x1<…<xn－1<xn=b，把區(qū)間［a,b］分成個n小區(qū)間

［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，它們的長度依次為

Δx1=x1－x0，Δx2=x2－x1，…，Δxn=xn－xn－1，過每一個分點作平行于y軸的直線段，把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形.

(2)近似.在每個小區(qū)間［xi－1,xi］上任取一點ξi(xi－1≤ξi≤xi)，以Δxi=xi－xi－1為底，f(ξi)為高的窄矩形代替第i個小曲邊梯形(i=1,2,…,n)，若記ΔAi為第i個小曲邊梯形面積，則有

ΔAi≈f(ξi)Δxi(i=1,2,…,n).

一、定積分的概念(3)求和.把這樣得到的n個窄矩形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值，即

A≈f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξn)Δxn=∑ni=1f(ξi)Δxi.

(4)取極限.為了保證每個小區(qū)間的長度都趨近于零，就必須要求小區(qū)間長度的最大值趨于零，若記λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}，則上述條件相當(dāng)于λ→0.當(dāng)λ→0時(必然是小區(qū)間的個數(shù)無限增大，即n→∞)，對上式取極限，就得到曲邊圖形的面積一、定積分的概念實例2變速直線運動的路程.

設(shè)某物體做直線運動，已知它的速度v=v(t)是時間間隔［T1,T2］上的連續(xù)函數(shù)，且v(t)≥0.該物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)歷的路程如何計算呢？勻速直線運動中，v(t)=常數(shù)，則

路程＝速度×?xí)r間，但速度隨時間變化的運動就不能用這種方法計算路程了.然而，由于物體運動的速度是連續(xù)變化的，在很短的時間間隔內(nèi)，速度的變化很小，可以把這段時間間隔內(nèi)變速運動近似看成勻速運動.這就提示了計算變速直線運動路程的方法.

一、定積分的概念(1)分割.在時間間隔［T1,T2］內(nèi)任意插入n－1個分點

T1=t0<t1<…<tn－1<tn=T2，把［T1,T2］分成n個小段

［t0,t1］,［t1,t2］,…,［tn－1,tn］，各小段的時間長依次為

Δt1=t1－t0,Δt2=t2－t1,…,Δtn=tn－tn－1，相應(yīng)地，物體在各段時間內(nèi)經(jīng)過的路程依次為

Δs1,Δs2,…,Δsn.

(2)近似.在時間間隔［ti－1,ti］上任取一時刻τi，以τi時的速度v(τi)作為時間間隔［ti－1,ti］上的平均速度計算Δsi，則

Δsi≈v(τi)Δti(i=1,2,…,n).一、定積分的概念(3)求和.將這n個小段路程相加就得到物體在時間間隔［T1,T2］上經(jīng)過的路程的近似值，即

(4)取極限.記λ=max{Δt1,Δt2,…,Δtn}，當(dāng)λ→0時，對上式取極限，就得到變速直線運動在時間間隔［T1,T2］內(nèi)的總路程一、定積分的概念定積分的定義2.前面介紹的兩個實例其解決的實際問題雖不同，但其解決問題所用的思想和方法卻是相同的，即“分割、近似、求和、取極限”.我們就把這類問題抽象成一個數(shù)學(xué)概念，稱之為定積分.一、定積分的概念定義1設(shè)f(x)是定義在區(qū)間［a,b］上的有界函數(shù)，用分點

a=x0<x1<…<xn－1<xn=b

把區(qū)間［a,b］分成個n小區(qū)間［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，它們的長度依次為Δx1=x1－x0，Δx2=x2－x1，…，Δxn=xn－xn－1，在每個小區(qū)間［xi－1,xi］上任取一點ξi(xi－1≤ξi≤xi)，作n個乘積f(ξi)Δxi的和式一、定積分的概念記λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn},如果當(dāng)λ→0時，和式∑ni=1f(ξi)Δxi的極限存在，并且其極限與區(qū)間［a,b］的分割方法以及點ξi的取法無關(guān)，則該極限稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的定積分，記作∫baf(x)dx，即其中f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限，［a,b］稱為積分區(qū)間，“∫”稱為積分號，是拉丁文Summa一詞的字頭S拉長.

一、定積分的概念可見，定積分本質(zhì)上就是一個和式的極限.利用定積分的定義，前面討論的兩個實際問題可以分別表述如下：(1)連續(xù)曲線y=f(x)［f(x)≥0］、x軸及兩條直線x=a，x=b所圍成的曲邊梯形的面積等于函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的定積分，即(2)物體以變速v=v(t)(v(t)≥0)做直線運動，從時刻t=T1到t=T2，該物體經(jīng)過的路程等于函數(shù)v(t)在區(qū)間［T1,T2］上的定積分，即一、定積分的概念關(guān)于定積分定義的理解，應(yīng)注意以下幾點：(1)定積分是一個數(shù)，它僅與被積函數(shù)f(x)和積分區(qū)間［a,b］有關(guān)，而與積分變量用哪個字母表示、區(qū)間如何分割(采用均勻分割或非均勻分割)及點ξi的取法(可以取第i個小區(qū)間的左端點、右端點或中點，也可以是區(qū)間內(nèi)任意一點)無關(guān)，即有

∫baf(x)dx=∫baf(t)dt=∫baf(u)du.

一、定積分的概念(2)在上述定義中，我們實際上限定了上限大于下限，即a<b，但在實際應(yīng)用及理論分析中，會用到上限小于下限或等于下限的情況.為此，我們把定積分的定義擴充如下：當(dāng)a<b時，規(guī)定∫abf(x)dx=－∫baf(x)dx；當(dāng)a=b時，規(guī)定∫aaf(x)dx=0.

(3)如果定積分∫baf(x)dx存在，就稱f(x)在［a,b］上可積，否則就稱f(x)在［a,b］上不可積.

一、定積分的概念定積分存在的充分條件3.若f(x)在［a,b］上無界，則f(x)在［a,b］上一定是不可積的.這是因為，若f(x)在［a,b］上無界，那么無論對［a,b］怎樣分割，都至少有一個區(qū)間［xi－1,xi］，函數(shù)f(x)在其上無界.因此，在［xi－1

,xi］上一定可以取一點ξi，使得f(ξi)大于任意一個正數(shù)M，因而也就使得和式∑ni=1f(ξi)Δxi可以任意的大.當(dāng)λ→0時，這個和就不可能趨向于任何極限.由此可知，f(x)在［a,b］上可積的必要條件是f(x)在［a,b］上有界.一、定積分的概念然而，函數(shù)f(x)在［a,b］上有界并不是可積的充分條件.例如，

在［0,1］上是有界函數(shù)，但不可積.因為不論對［0,1］怎樣分割，在任意被分割的小區(qū)間［xi－1,xi］上，總能取到ξi為有理數(shù)，這時f(ξi)=1，也總能取到ξi為無理數(shù)，這時f(ξi)=0.所以對［0,1］的任何一種分法，我們總可以得到當(dāng)λ→0時，這兩個和式的極限分別為1和0，所以f(x)在［0,1］上不可積.

關(guān)于函數(shù)的可積性，下面給出定積分存在的兩個充分條件(證明略).一、定積分的概念定理1如果函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，則f(x)在［a,b］上可積.一、定積分的概念定理2如果函數(shù)f(x)在［a,b］上只有有限個第一類間斷點，則f(x)在［a,b］上可積.一、定積分的概念【例1】二、定積分的幾何意義(1)若在［a,b］上f(x)≥0，則定積分∫baf(x)dx在幾何上表示由曲線y=f(x)、直線x=a,x=b和x軸所圍成的曲邊梯形的面積A，即

∫baf(x)dx=A.

(2)若在［a,b］上f(x)≤0，則定積分∫baf(x)dx在幾何上表示由曲線y=f(x)、直線x=a,x=b和x軸所圍成的曲邊梯形面積A的負(fù)值,即

∫baf(x)dx=-A.

二、定積分的幾何意義(3)若f(x)在區(qū)間［a,b］上有正有負(fù),則函數(shù)f(x)的圖形某些部分在x軸上方,而其他部分在x軸的下方(見圖6-2)，此時定積分∫baf(x)dx表示x軸上方圖形面積減去x軸下方圖形面積所得之差，即

∫baf(x)dx=A1-A2+A3.圖6-2二、定積分的幾何意義【例2】圖6-3二、定積分的幾何意義(2)由定積分的幾何意義知，∫101－x2dx等于圖6-4中陰影部分所示的半徑為1的四分之一圓的面積,故定積分圖6-4三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)1如果在區(qū)間［a,b］上f(x)≡1，則∫ba1dx=∫badx=b－a

.

此時曲邊變成直邊，積分值為底為b－a，高為1的矩形面積.

三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)2(線性性質(zhì))函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)，即∫ba［f(x)±g(x)］dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx.

此性質(zhì)可以推廣到有限個函數(shù)代數(shù)和的情形，即∫ba［f1(x)±f2(x)±…±fn(x)］dx=∫baf1(x)dx±∫baf

2(x)dx±…±∫bafn(x)dx.

三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)3(線性性質(zhì))被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外，即∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx(k為常數(shù)).

三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)4(積分區(qū)間的可加性)對于任意三個常數(shù)a，b，c，下式恒成立：∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx.

這個性質(zhì)表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性.

此性質(zhì)的幾何意義是曲邊梯形的面積可以分成兩個曲邊梯形面積之和.三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)5如果在區(qū)間［a,b］上f(x)≥0，則

∫baf(x)dx≥0.

由定積分幾何意義知道：此定積分的值就等于以f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積.三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)6(比較性質(zhì))如果在區(qū)間［a,b］上f(x)≤g(x)，則∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx.三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)7(比較性質(zhì))在區(qū)間［a,b］上

|∫baf(x)dx|≤∫ba|f(x)|dx.

三、定積分的性質(zhì)性質(zhì)8(積分估值性)設(shè)函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最大值為M，最小值為m，則

m(b－a)≤∫baf(x)dx≤M(b－a).

證因m≤f(x)≤M，由定積分的性質(zhì)6得∫bamdx≤∫baf(x)dx≤∫b