2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-微培優(yōu)6 用函數(shù)視角看數(shù)列【課件】

微培優(yōu)6用函數(shù)視角看數(shù)列2025數(shù)列是特殊的函數(shù),而等差數(shù)列的通項為一元一次函數(shù)類,和為一元二次函數(shù)類;等比數(shù)列為指數(shù)函數(shù)類;所以在數(shù)列中求最大(小)項、前n項和的最大(小)值以及在證明與數(shù)列有關(guān)的不等式時,都可以轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的性質(zhì)來解決.角度一數(shù)列的單調(diào)性及其應(yīng)用例1(2024·山東名校聯(lián)考模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,|an+1-an|=d·qn,n∈N*.(1)若q=1,{an}為遞增數(shù)列,且2,a5,a7+3成等比數(shù)列,求d;(2)若d=1,q=,且{a2n-1}是遞增數(shù)列,{a2n}是遞減數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式.角度二數(shù)列的周期性例2(1)(2024·山東濟寧三模)已知數(shù)列{an}中,a1=2,a2=1,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),則a2024=(

)A.-2 B.-1 C.1 D.2C解析

由a1=2,a2=1,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),得a3=a2-a1=-1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-1,a6=a5-a4=1,a7=a6-a5=2,a8=a7-a6=1,…,則{an}是以6為周期的周期數(shù)列,所以a2

024=a337×6+2=a2=1.故選C.A.該數(shù)列是周期數(shù)列且周期為3B.該數(shù)列不是周期數(shù)列BC角度三數(shù)列中的最值、范圍問題例3(2022·全國甲,理17)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知

+n=2an+1.(1)證明:{an}是等差數(shù)列;(2)若a4,a7,a9成等比數(shù)列,求Sn的最小值.(1)證明

因為

+n=2an+1,所以2Sn+n2=2nan+n.①當(dāng)n≥2時,2Sn-1+(n-1)2=2(n-1)an-1+(n-1),②①-②得,2Sn+n2-2Sn-1-(n-1)2=2nan+n-2(n-1)an-1-(n-1),即2an+2n-1=2nan-2(n-1)an-1+1,即2(n-1)an-2(n-1)an-1=2(n-1),所以an-an-1=1,n≥2且n∈N*,所以{an}是以1為公差的等差數(shù)列.規(guī)律方法

針對訓(xùn)練1.(1)(2024·湖北黃岡模擬)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則“存在正整數(shù)k,對于?t∈N*,at>at+k恒成立”是“{an}為遞減數(shù)列”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件C解析

取兩種特殊情況說明充分性,當(dāng)k=1時顯然成立;當(dāng)k=4時,理由如下:因為{an}是等比數(shù)列,設(shè)公比為q(q≠0),則an≠0,當(dāng)?t∈N*,at>at+4時,at>atq4,即at(q2-1)(q2+1)<0,若at>0,則-1<q<1,且q≠0,當(dāng)q<0時,at+1=atq<0,與假設(shè)矛盾,舍去,故0<q<1,此時at+1=atq<at,則{an}為遞減數(shù)列,若at<0,則q<-1或q>1,當(dāng)q<-1時,at+1=atq>0,與假設(shè)矛盾,舍去,故q>1,此時at+1=atq<at,則{an}為遞減數(shù)列.綜上,存在k=4,使?t∈N*,at>at+4時,{an}為遞減數(shù)列,即充分性成立.當(dāng){an}為遞減數(shù)列時,at>at+1>at+2>at+3>at+4,即?t∈N*,at>at+4成立,即必要性成立.故選C.(2)(2022·北京,15)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),其前n項和Sn滿足an·Sn=9(n=1,2,…).給出下列四個結(jié)論:①{an}的第2項小于3;②{an}為等比數(shù)列;③{an}為遞減數(shù)列;④{an}中存在小于

的項,其中所有正確結(jié)論的序號是

.

①③④A(2)(多選題)(2024·福建福州期末)任取一個正整數(shù),若是奇數(shù),就將該數(shù)乘3再加上1;若是偶數(shù),就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算,經(jīng)過有限次步驟后,必進入循環(huán)圈1→4→2→1.比如取正整數(shù)m=8,根據(jù)上述運算法則得出8→4→2→1→4→2→1.猜想的遞推關(guān)系如下:已知數(shù)列{an}滿足a1=5,

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則下列結(jié)論正確的是(

)A.a3=8

B.a5=2C.S10=49 D.S300=722ABDa10=3×1+1=4,所以S10=5+16+8+4+2+1+4+2+1+4=47,所以A,B正確,C錯誤.因為數(shù)列{an}中從第4項起以4,2,1循環(huán),而(300-3)÷3=99,所以S300=(5+16+8)+99×(4+2+1)=722,所以D正確,故選ABD.3.(2024·陜西西安模擬)在①a1=1,a1,a3,a9成等比數(shù)列;②a2+a4=6,a1a5=5;

問題:已知數(shù)列{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,

.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)數(shù)列

的前n項和為Sn,對任意的n∈N*有m-3<Sn<m恒成立,求m的取值范圍.解

(1)選擇條件①:因為數(shù)列{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,設(shè)公差為d(d>0),且a1=1,a1,a3,a9成等比數(shù)列,所以

=a9a1,即(1+