第十七章 勾股定理 評(píng)估測(cè)試卷（含答案）2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)

第十七章勾股定理評(píng)估測(cè)試卷(總分:120分時(shí)間:120分鐘)一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題3分,共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.(2024武漢洪山區(qū)期末)如圖,在△ABC中,∠C=90°,若AC=1,AB=2,則BC的長是 ()A.1 B.3 C.2 D.52.下列定理中,沒有逆定理的是 ()A.等腰三角形的兩個(gè)底角相等 B.對(duì)頂角相等C.兩直線平行,同位角相等 D.直角三角形的兩個(gè)銳角互余3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,有兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,0)和(0,3),則這兩點(diǎn)之間的距離是 ()A.13 B.5 C.13 D.54.若3,4,a為勾股數(shù),則a的值為 ()A.7 B.5 C.5或7 D.5或75.如圖,在3×3的網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,AD為△ABC的高,則AD的長為 ()A.71015 B.7105 C.6.(2025汝州期末)在如圖所示的網(wǎng)格中,小正方形的邊長均為1,A,B,C三點(diǎn)均在正方形的格點(diǎn)上,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ()A.S△ABC=10 B.∠BAC=90°C.AB=25 D.點(diǎn)A到直線BC的距離是27.如圖,長方形ABCD的頂點(diǎn)A,B在數(shù)軸上,點(diǎn)A表示-1,AB=3,AD=1.若以點(diǎn)A為圓心,對(duì)角線AC長為半徑作弧,交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M所表示的數(shù)為 ()A.10-1 B.10 C.10+1 D.10+28.如圖,25m長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AC上,這時(shí)梯足B到墻底端C的距離為7m.若梯子的頂端沿墻下滑4m,則梯足將向左移 ()A.4m B.6m C.8m D.10m9.(2024淄博中考)《九章算術(shù)》中提到:“今有戶高多于廣六尺八寸.兩隅相去適一丈.問戶高、廣各幾何?”其大意如下:已知長方形門的高比寬多6尺8寸,門的對(duì)角線長1丈,那么門的高和寬各是多少?(1丈=10尺,1尺=10寸)若設(shè)門的高和寬分別是x尺和y尺,則下面所列方程組正確的是()A.x=y-6C.x=y+6.10.下列條件中,不能判斷△ABC為直角三角形的是 ()A.BC=6,AC=10,AB=8 B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5C.BC∶AC∶AB=3∶4∶5 D.∠A+∠B=∠C11.(2024南通中考)“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為m,n(m>n).若小正方形的面積為5,(m+n)2=21,則大正方形的面積為 ()A.12 B.13 C.14 D.1512.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階,它每一級(jí)的長、寬、高分別為4m,34m和14m,A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn),點(diǎn)A上有一只螞蟻想到點(diǎn)B去吃可口的食物,則它所走的最短路線的長度為 (A.3.5m B.4.5m C.5m D.5.5m二、填空題(本大題有4個(gè)小題,每小題3分,共12分)13.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D,DE⊥AB于點(diǎn)E.若CD=2,BC=6,則BE=.

14.在Rt△ABC中,AB=3BC=3,則AC的長為.

15.如圖,已知釣魚竿AC的長為10m,露在水面的漁線BC的長為6m,某釣魚者想看看魚鉤上的情況,把魚竿AC轉(zhuǎn)動(dòng)到AC'的位置,此時(shí)露在水面的漁線B'C'的長為8m,則BB'的長為m.

16.(2024常州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是邊AC的中點(diǎn),E是邊BC上一點(diǎn),連接BD,DE.將△CDE沿DE翻折,點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)F處,則CE=.

三、解答題(本大題共8個(gè)小題,共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(6分)如圖,一只螞蟻在底面半徑為10cm、高為20πcm的圓柱下底面的點(diǎn)A處,它想吃到上底面上與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物.求螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程.18.(6分)如圖,已知在△ABD中,AB=8,AD=17,∠ABD=90°,BC=9,CD=12.求△BCD的面積.19.(6分)如圖,在四邊形ABCD中,已知∠B=90°,∠ACB=30°,AB=3,AD=10,CD=8.求∠BCD的度數(shù).20.(10分)小龍?jiān)诜棚L(fēng)箏時(shí)想測(cè)量風(fēng)箏離地面的垂直高度,通過如圖勘測(cè),得到如下記錄:①測(cè)得水平距離BC的長為12m;②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線AB的長為13m;③小龍牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離CD的長為1.5m.(1)求風(fēng)箏到地面的距離(線段AD的長).(2)如果小龍想要風(fēng)箏沿CA方向再上升4m,BC和CD的長度不變,那么他應(yīng)該再放出m的風(fēng)箏線.

21.(10分)如圖,在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A,B,其中AB=AC,由于某種原因,由村莊C到取水點(diǎn)A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通,該村莊為方便村民取水,決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H(點(diǎn)A,H,B在同一直線上),并新建一條路CH,測(cè)得CB=13km,CH=3km,HB=2km.(1)CH是不是從村莊C到河邊的最近路?請(qǐng)通過計(jì)算加以說明.(2)新路CH比原路CA短多少千米?22.(10分)為了滿足市民健身需求,市政部門在某公園的東門C和西門A之間修建了四邊形ABCD循環(huán)步道.如圖,經(jīng)勘測(cè),點(diǎn)B在點(diǎn)A的正南方,點(diǎn)C在點(diǎn)A的正東方,DA⊥DC,且點(diǎn)D到點(diǎn)A,C的距離相等,已知AB=1000m,BC=2600m.(參考數(shù)據(jù):2≈1.414,3≈1.732)(1)求A,C兩點(diǎn)之間的長度.(2)小慶準(zhǔn)備從西門A跑步到東門C去見小渝,因A,C兩點(diǎn)之間的道路施工不能通行,小慶決定選擇一條較短線路,請(qǐng)計(jì)算說明小慶應(yīng)選擇A—B—C路線,還是A—D—C路線?(結(jié)果精確到1m)23.(10分)如圖,A市接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)時(shí),臺(tái)風(fēng)中心位于距離A市52km的B處(即AB=52km),臺(tái)風(fēng)正以8km/h的速度沿BC方向移動(dòng).已知A市到BC的距離AD=20km.(1)臺(tái)風(fēng)中心從點(diǎn)B移到點(diǎn)D經(jīng)過多長時(shí)間?(2)如果在距臺(tái)風(fēng)中心25km的圓形區(qū)域內(nèi)都將受到臺(tái)風(fēng)影響,那么A市受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間是多長?24.(14分)如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,P,Q是△ABC的邊AB,BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,它們同時(shí)出發(fā),設(shè)出發(fā)的時(shí)間為ts.(1)當(dāng)t=2時(shí),求PQ的長.(2)求出發(fā)時(shí)間為幾秒時(shí),△PQB是等腰三角形.(3)若點(diǎn)Q沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng),則當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí),求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

【詳解答案】1.B解析:∵∠C=90°,AC=1,AB=2,∴BC=AB2-AC2=2.B解析:如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它也是一個(gè)定理,其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理.A.等腰三角形的兩個(gè)底角相等,它的逆定理是有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形;B.對(duì)頂角相等,它的逆命題是如果兩個(gè)角相等,那么它們是對(duì)頂角,∵如果兩個(gè)角相等,但它們不一定是對(duì)頂角,∴“對(duì)頂角相等”沒有逆定理;C.兩直線平行,同位角相等,它的逆定理是同位角相等,兩直線平行;D.直角三角形的兩個(gè)銳角互余,它的逆定理是兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形.故選B.3.A解析:∵設(shè)點(diǎn)A(2,0),B(0,3),∴OA=2,OB=3.∴AB=OA2+OB2=4.B解析:∵3,4,a為勾股數(shù),∴當(dāng)a最大時(shí),a=32+42=5,能構(gòu)成勾股數(shù);當(dāng)4時(shí)最大時(shí),a=42-32=75.D解析:由題可得S△ABC=3×3-1×3×12-2×3×12-1×2×12=72,BC=12+32=10.∴AD×10×6.A解析:A.S△ABC=4×4-12×3×4-12×1×2-12×2×4=5,本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤,符合題意;B.∵AC2=12+22=5,AB2=22+4BC2=32+42=25,∴AC2+AB2=BC2.∴∠BAC=90°.本選項(xiàng)結(jié)論正確,不符合題意;C.∵AB2=20,∴AB=25.本選項(xiàng)結(jié)論正確,不符合題意;D.設(shè)點(diǎn)A到直線BC的距離為h,則12×5×25=12×5×h,解得h=2.7.A解析:∵四邊形ABCD是長方形,∴∠ABC=90°,BC=AD=1.∵AB=3,∴AC=AB2+BC∴AM=AC=10.∵點(diǎn)A表示-1,∴點(diǎn)M表示的數(shù)為10-1.故選A.8.C解析:在Rt△ABC中,已知AB=25m,BC=7m,則由勾股定理,得AC=252-72=24(m).∵梯子的頂端沿墻下滑4m,∴AA1=4m.∵AC=AA1+CA1,∴CA1=24-4=20(m).∵在Rt△A1B1C中,A1B1=AB=25m,且A1B1為斜邊,∴由勾股定理,得CB1=252-202=15(m).∴BB1=CB1-CB=9.D解析:設(shè)門的高是x尺,寬是y尺.由題意,得x=y10.B解析:A.∵BC=6,AC=10,AB=8,∴AB2+BC2=82+62=100,AC2=102=100.∴AB2+BC2=AC2.∴△ABC是直角三角形.故A不符合題意;B.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°×53+4+5=75°.∴△ABC不是直角三角形.故B符合題意;C.∵BC∶AC∶AB=3∶4∶5,∴設(shè)BC=3k,則AC=4k,AB=5k.∵AC2+BC2=16k2+9k2=25k2=AB2,∴△ABC是直角三角形.故C不符合題意;D.∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°2=90°.∴△ABC是直角三角形.故D不符合題意11.B解析:由題意可知,中間小正方形的邊長為m-n,∴(m-n)2=5,即m2+n2-2mn=5①.∵(m+n)2=21,∴m2+n2+2mn=21②.①+②,得2(m2+n2)=26.∴大正方形的面積為m2+n2=13.故選B.12.C解析:如圖,將臺(tái)階展開為長方形,線段AB恰好是直角三角形的斜邊,則AC=4m,BC=(34+14)×3=在Rt△ABC中,AB=AC2+B∴螞蟻所走的最短路線的長度為5m.故選C.13.23解析:∵AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D,DE⊥AB,∠C=90°,∴DE=CD=2.∵BC=6,∴BD=BC-CD=6-2=4.∴BE=BD2-D14.22或10解析:∵AB=3BC=3,∴AB=3,BC=1.①當(dāng)AB為斜邊時(shí),AC=AB2-BC2②當(dāng)AB為直角邊時(shí),AC=AB2+BC綜上所述,AC的長為22或10.15.2解析:在Rt△ABC中,AC=10m,BC=6m,∴AB=AC2-BC2=102-B'C'=8m,∴AB'=AC'2-B'C'2=102-16.32解析:∵∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是邊AC的中點(diǎn),∴CD=12AC=3.∴BD=BC2+CD2=5.∵將△CDE沿DE翻折,點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)F處,∴CD=DF=3,CE=EF,∠EFD=∠C=90°.∴BF=BD-DF=2,∠BFE=∠EFD=90°.設(shè)CE=x,則EF=x,BE=BC-CE=4-x.在Rt△BFE中,由勾股定理,得BE2=EF2+BF2,即(4-x)2=x2+22.17.解:圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示.∵圓柱的底面半徑為10cm,高為20πcm,∴AC=2π×10÷2=10π(cm),BC=20πcm.在Rt△ABC中,∠C=90°,則由勾股定理,得AB=AC2+BC答:螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是105πcm.18.解:∵AB=8,AD=17,∠ABD=90°,∴BD=AD2-∵BC=9,CD=12,∴BC2+CD2=BD2.∴△BCD是直角三角形,∠C=90°.∴S△BCD=12CD·BC=12×12×9=19.解:∵∠B=90°,∠ACB=30°,AB=3,∴AC=2AB=6.在△ACD中,∵AD=10,CD=8,AC=6,∴AC2+CD2=62+82=100,AD2=102=100.∴AC2+CD2=AD2.∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°.∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=30°+90°=120°.20.解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC=AB2-BC∵CD=1.5m,∴AD=AC+CD=5+1.5=6.5(m).答:風(fēng)箏到地面的距離(線段AD的長)為6.5m.(2)221.解:(1)CH是從村莊C到河邊的最近路.理由如下:∵CB=13km,CH=3km,HB=2km,∴CB2=CH2+HB2.∴△BCH為直角三角形,∠BHC=90°.∴CH⊥AB.∴CH是從村莊C到河邊的最近路.(2)設(shè)AC=xkm,則AB=xkm,AH=(x-2)km.在Rt△ACH中,AH2+CH2=AC2,即(x-2)2+32=x2,解得x=3.25.∴AC=3.25km.∴AC-CH=3.25-3=0.25(km).答:新路CH比原路CA短0.25km.22.解:(1)由題意,得∠BAC=90°.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1000m,BC=2600m,∴AC=BC2-AB答:A,C兩點(diǎn)之間的長度為2400m.(2)由(1),得AC=2400m.∵DA⊥DC,AD=CD,∴∠ADC=90°.∴AC2=AD2+CD2=24002.∴AD=CD=12002m.∴A—B—C路線的長為AB+BC=1000+2600=3600(m),A—D—C路線的長為AD+DC=12002+12002=24002≈3394(m).∵3394<3600,∴小慶應(yīng)選擇A—D—C路線.23.解:(1)由題意,得在△ABD中,∠ADB=90°,AB=52km,AD=20km.∴BD=AB2-∵臺(tái)風(fēng)以8km/h的速度沿BC方向移動(dòng),∴48÷8=6(h).答:臺(tái)風(fēng)中心從點(diǎn)B移到點(diǎn)D經(jīng)過6h.(2)如圖,以點(diǎn)A為圓心,以25km為半徑畫弧,交BC于點(diǎn)P,Q,連接AP,AQ,則A市在點(diǎn)P開始受到影響,離開點(diǎn)Q恰好不受影響.由