湖南省瀏陽市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷 含解析

高考資源網(wǎng)(）您身邊的高考專家（AI教學(xué)）訂購熱線：188110597022024年下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測試卷高一數(shù)學(xué)（時量：120分鐘總分：150分考試形式：閉卷）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式，然后根據(jù)交集的定義計算即可.【詳解】由，解得，則，又，所以.故選：C.2.若，，則與的關(guān)系是（

）A. B. C. D.與的值有關(guān)【答案】A【解析】【分析】利用作差法比較數(shù)的大小即可.【詳解】因為，所以.故選：A.3.已知關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集是（）A.或 B.C.或 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集與對應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系求得，再代入不等式，化簡求解即可.【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為，所以是方程的兩個根，且，由韋達(dá)定理得，所以，所以不等式，又，則，即，解得，所以不等式的解集是.故選：B.4.中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，記的長為，的長為，若，則扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)扇環(huán)所在圓的圓心為，圓心角為，根據(jù)，得到，.【詳解】如圖，設(shè)扇環(huán)所在圓的圓心為，圓心角為，則，所以，得，又，所以.

故選：A5.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將所求角用已知角表示，然后利用誘導(dǎo)公式化簡即可求值.【詳解】.故選：B.6.已知a，b為正實數(shù)且，則的最小值為（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】將代入，利用基本不等式可求最小值.【詳解】由題意，，又a，b為正實數(shù)，所以由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為.故選：D.7.萊洛三角形以機(jī)械學(xué)家萊洛的名字命名，這種三角形應(yīng)用非常廣泛，不僅用于建筑和商品的外包裝設(shè)計，還用于工業(yè)生產(chǎn)中．萊洛三角形的畫法是：先畫正三角形，然后分別以三個頂點為圓心，邊長長為半徑畫圓弧得到的三角形．如圖，若萊洛三角形的面積是，則弓形的周長為（）A. B. C.6 D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，利用萊洛三角形的面積求出R的值，即可求得答案.【詳解】設(shè)，則以點分別為圓心，圓弧所對的每個扇形面積均為，等邊的面積，所以萊洛三角形的面積是，則．，弓形的周長為．故選：A8.函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，且，則（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】【分析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的對稱性可求出的值，代值計算可得出的值.【詳解】由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，則，所以，因為，且函數(shù)在附近單調(diào)遞減，所以，解得，又因為，所以，則，因為，可得，所以，因為，則，，因為，則，所以，故.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題中，不正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AB【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)，推理判斷ACD；舉例說明判斷B.【詳解】對于A，由，得，A錯誤；對于B，取，滿足，而，B錯誤；對于C，由，得，則，因此，C正確；對于D，由，得，而，則，D正確.故選：AB10.下列命題是真命題的有（）A.函數(shù)的值域為B.定義域為C.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是D.對于命題，使得，則，均有【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的值域、函數(shù)的定義域、零點存在性定理、存在量詞命題的否定等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，，令，則的開口向下，對稱軸為，所以當(dāng)時，取得最大值為；當(dāng)時，取得最小值為，所以的值域為，A選項正確.B選項，對于函數(shù)，由得，解得，所以的定義域為，B選項錯誤.C選項，在上單調(diào)遞增，，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是，C選項正確.D選項，命題，使得，其否定是，均有，D選項錯誤.故選：AC11.把函數(shù)圖象向左平移個單位長度，得到的函數(shù)圖象恰好關(guān)于軸對稱，則（）A.的最小正周期為B.關(guān)于點對稱C.在是上單調(diào)遞增D.若在區(qū)間上存在最大值，則實數(shù)的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】首先化簡函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求，并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，判斷選項.【詳解】因為，所以把的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，因為關(guān)于軸對稱，所以又因為，所以，對A，所以，故A正確；對B，，所以的圖象關(guān)于點對稱，故B錯誤；對C，由，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對D，若函數(shù)在上存在最大值，由選項C可知，在上單調(diào)遞增，且，即在時取得最大值，所以，即實數(shù)的取值范圍為，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_____.【答案】##0.8【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式計算即可.【詳解】因為，，所以則.故答案為：.13.已知冪函數(shù)是上的奇函數(shù)，則實數(shù)的值為_____.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義得，解得的值，再利用常見冪函數(shù)的奇偶性逐個判斷即可.【詳解】由是冪函數(shù)，得，解得或，當(dāng)時，函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時，函數(shù)是奇函數(shù)，符合題意；因此，.故答案為：.14.已知函數(shù)，且，則不等式的解集為_____.【答案】【解析】【分析】由求出，根據(jù)二次函數(shù)與指數(shù)型函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知在R上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】由題意知，，解得.當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，所以在R上單調(diào)遞增，由，得，即，解得，即原不等式的解集為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合.（1）若，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍；（3）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）代入算出，根據(jù)并集概念計算即可；（2）根據(jù)交集概念，結(jié)合空集條件，由此列不等式來求得取值范圍.（3）根據(jù)充分不必要條件轉(zhuǎn)化為集合與集合的關(guān)系，由此列不等式來求得取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，由得，，【小問2詳解】，.又.實數(shù)的取值范圍.【小問3詳解】“”是“”充分不必要條件，即是的真子集，，..實數(shù)的取值范圍是.16.已知函數(shù)的最大值為1，（1）求常數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）求使成立的的取值集合.【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）利用兩角和與差的正弦公式展開，再利用輔助角公式化簡為的形式，最后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得的值；（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得，，求解即可；（3）利用整體思想，借助三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可解不等式.【小問1詳解】，因為的最大值為1，且函數(shù)的最大值為1，所以，解得.【小問2詳解】由（1）可知.由，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，；【小問3詳解】由，得，即.所以，.解得因此，成立的的取值范圍是.17.某地區(qū)上年度電價為0.8元，年用電量為，本年度計劃將電價下降到0.55元至0.75元之間，而用戶期望電價為0.4元．經(jīng)測算，下調(diào)電價后新增用電量和實際電價與用戶的期望電價的差成反比，且比例系數(shù)為（注：若與成反比，且比例系數(shù)為，則其關(guān)系表示為）．該地區(qū)的電力成本價為0.3元．（1）下調(diào)后的實際電價為（單位：元），寫出新增用電量關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）寫出本年度電價下調(diào)后電力部門的收益（單位：元）關(guān)于實際電價（單位：元）的函數(shù)解析式；（注：收益=實際電量（實際電價－成本價））（3）設(shè)，當(dāng)電價最低定為多少時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長?【答案】（1），（2）（3）0.6元【解析】【分析】（1）由已知，列出函數(shù)關(guān)系即可得出結(jié)果；（2）由（1）得到本年度實際用電量，再乘以即可；（3）根據(jù)上年度電力部門實際收益以及本年度電力部門預(yù)收益，然后由求解即可.【小問1詳解】因為下調(diào)電價后新增用電量和實際電價元，與用戶的期望電價0.4元的差成反比，且比例系數(shù)為，所以，依題意知用電量關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，【小問2詳解】依題意知用電量增至，所以，電力部門的收益為；【小問3詳解】依題意有，整理得，解此不等式組得．答：當(dāng)電價最低定為0.6元仍可保證電力部門的收益比上年至少增長．18.已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，且.（1）求和的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）設(shè)，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）單調(diào)遞增，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由是定義在R上的奇函數(shù)，可得，再結(jié)合已知條件列方程組即可求解；（2）由（1）知，可求得函數(shù)的解析式，設(shè)任意，且，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）結(jié)合單調(diào)性可得在上的值域，再得出二次函數(shù)在上的值域，結(jié)合已知可得，列不等式組即可求解.【小問1詳解】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以滿足，又，可得，解得，可得，，是奇函數(shù)，滿足題意，所以，.【小問2詳解】，在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)任意，且，則，由，可得，又，，，則，則，則在上單調(diào)遞增；【小問3詳解】對任意的，由在上單調(diào)遞增，可得，即，則在上的值域為，的對稱軸為，當(dāng)時，在上為增函數(shù)，值域為，由題意可得，則，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問解題按照單調(diào)性的定義經(jīng)歷“設(shè)元”、“作差”、“變形”、“定號”等過程即可完成；第三問的關(guān)鍵是函數(shù)的值域為函數(shù)的值域的子集，并由集合的包含關(guān)系建立關(guān)于參數(shù)的不等式，即可求解.19.若函數(shù)滿足：對于任意正數(shù)m，n，都有，，且，則稱函數(shù)為“速增函數(shù)”.（1）試判斷函數(shù)與是否是“速增函數(shù)”；（2）若函數(shù)為“速增函數(shù)”，求的取值范圍；（3）若函數(shù)為“速增函數(shù)”，且，求證：對任意，都有.【答案】（1）是，不是（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可，利用特殊值，舉出反例；（2）根據(jù)定義可知，即對一切正數(shù)恒成立，可得，由，可得得出，最后求出的范圍；（3）根據(jù)定義，令，可知，即，故對于正整數(shù)與正數(shù)，都有，進(jìn)而得出結(jié)論．【小問1詳解】對于函數(shù)，當(dāng)，時，，又，所以，故是“速增函數(shù)”.對于函數(shù)，當(dāng)時，，故不是“速增函數(shù)”.【小問2詳解】當(dāng)，時，由是“速增函數(shù)”，可知，即對一切正數(shù)恒成立，又，可得對一切正數(shù)恒成立，所以.由，可得，即，故，又，故，由對一切正數(shù)，恒成立，可得，即．綜上可知，的取值范圍是．【小問3詳解】由函數(shù)為“速增函數(shù)”，可知對于任意正數(shù)，，