江蘇省常州市2024-2025高三上學期期末數(shù)學試卷及答案

常州市2024—2025學年第一學期高三期末質量調研數(shù)學2025年1月注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名，考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1已知集合，，，則（）A. B. C. D.2.已知，，，則“，，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“”的（）A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知復數(shù)，則（）A.2 B.0 C.2i D.4.設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則實數(shù)（）A. B.1 C.2 D.45.若函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)（）A. B.2 C.2或0 D.06.已知雙曲線的一條漸近線與圓相交所得弦長為1，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.37.已知角的終邊經(jīng)過點，角為鈍角，且，則（）A. B. C. D.8.已知正方體的棱長為2，點為棱的中點，則平面截該正方體的內切球所得截面面積為（）A. B. C.π D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在四棱柱中，，，為底面的中心，則（）A B.C D.10.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.若在上的值域為，則的取值范圍是B.若在上恰有一條對稱軸，則的取值范圍是C.若在上單調遞增，則的取值范圍是D.若在上有且只有兩個不同的零點，則的取值范圍是11.某人有10000元全部用于投資，現(xiàn)有甲，乙兩種股票可供選擇．已知每股收益的分布列分別如表1和表2所示，且兩種股票的收益相互獨立，假設兩種股票的買入價都是每股1元．則下列說法正確的有（）表1甲每股收益的分布列收益元02概率0.10.30.6表2乙每股收益的分布列收益元012概率0.30.30.4A.甲每股收益的數(shù)學期望大于乙每股收益的數(shù)學期望B相對于投資甲種股票，投資乙種股票更穩(wěn)妥（方差?。〤.此人投資甲，乙兩種股票，收益的數(shù)學期望之和為11000元D.此人按照的資金分配方式投資甲，乙兩種股票時，收益的方差之和最小三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知冪函數(shù)滿足以下兩個條件：①是奇函數(shù)，②在上單調遞減．請寫出符合要求的的一個解析式______．13.已知的展開式中項的系數(shù)為30，則______．14.中，點滿足，，，則______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在直三棱柱中，，分別為，的中點，且，．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．16.某校，兩班舉行數(shù)學知識競賽，競賽規(guī)則是：每輪比賽中每班派出一名代表答題，若都答對或者都沒有答對則均得0分；若一個答對另一個沒有答對，則答對的班級得1分，沒有答對的班級得分．設每輪比賽中班答對的概率為，班答對的概率為，，兩班答題相互獨立且每輪比賽結果互不影響．（1）經(jīng)過1輪比賽，設班的得分為，求的分布列和數(shù)學期望；（2）求經(jīng)過3輪比賽班累計得分高于班累計得分的概率．17.已知數(shù)列滿足．（1）設，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，且，求的值．18.平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，其右焦點與拋物線的焦點重合．（1）求，的方程；（2）點是上位于第一象限的動點，在點處的切線與交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與過且垂直于軸的直線交于點．問點是否在一條定直線上，若在，求出直線的方程；若不在，說明理由．19.已知函數(shù)．（1）若在區(qū)間上單調，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點．（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）若恒成立，求證：．常州市2024—2025學年第一學期高三期末質量調研數(shù)學2025年1月一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.B2.A3.B4.C5.D6.C7.D8.A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.AD10.ACD11.BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.（答案不唯一）13.14.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）因為為直棱柱，所以平面，又因為平面，所以，因為，為中點，所以，又因為，平面，所以平面，又因為平面，所以．（2）以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，所以，，設平面的法向量，則，取，又平面的法向量，記二面角為，則，則，即二面角的正弦值為．16.（1）隨機變量的可能取值為，，，，01；（2）經(jīng)過3輪比賽A班累計得分高于B班累計得分的情況有：A班3輪每一輪得分都高于B班；A班有2輪得分高于B班，A班有1輪得分高于B班，另兩場都是0分，所以所求概率．17.（1）由①，當時，②，①②則，又滿足上式，所以．（2）由（1），知，則，故，所以，且，若為偶數(shù)，，則；若為奇數(shù)，，則；故，解得或．18.（1）因為橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，所以橢圓的焦點在軸上，又因為橢圓離心率為，所以，解得，所以橢圓，右焦點為1,0，所以，，所以拋物線；（2）由題可設，當時，由得，，所以點處切線的斜率為，設Ax1,y1因為，在橢圓上，所以，兩式作差得，即，所以直線的方程為，令，解得，所以，所以點在定直線上運動.19.（1）由題設，當時f'x<0，當時f'所以在上單調遞減，在上單調遞增，而在區(qū)間上單調，所以；（2）（?。?，且x∈0,+∞令且x∈0,+∞，則，若，h'x>0，即hx當時，時h'x>0，時h