2024-2025學(xué)年安徽省合肥市高三上冊(cè)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年安徽省合肥市高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．2．已知集合，則（

）A． B． C． D．3．已知平面，直線(xiàn)且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C．或 D．或5．已知向量，且向量與的夾角為，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．已知兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，且，則（

）A． B． C． D．7．如圖，在扇形OAB中，半徑，弧長(zhǎng)為，點(diǎn)是弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別是半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值是（

）

A． B．4 C． D．8．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足：，且當(dāng)時(shí)，，若，則（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某超市隨機(jī)抽取了當(dāng)天100名顧客的消費(fèi)金額作為樣本，并分組如下：，（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若該超市當(dāng)天總共有600名顧客，則消費(fèi)金額在（單位：元）內(nèi)的顧客約有180人B．若每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表，則樣本中消費(fèi)金額的平均數(shù)是145元C．若用樣本估計(jì)總體，則該超市當(dāng)天消費(fèi)金額的中位數(shù)是100.8元D．現(xiàn)從樣本的第1，2組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，則抽到的2人的消費(fèi)金額都不少于50元的概率是10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．C．函數(shù)的圖象與直線(xiàn)的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為D．11．某興趣小組制作了一個(gè)直三棱柱容器（容器壁厚度忽略不計(jì)），其中，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若四棱錐的體積為，則B．若三棱柱的外接球的表面積為，則三棱柱的側(cè)面積為30C．若，棱長(zhǎng)為的正方體能被整體放入此容器且可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，則的最大值為D．若，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（含邊界），且，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則.13．已知隨機(jī)變量，且正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為.14．已知實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，、分別為的上、下焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與的上、下兩支分別交于點(diǎn)、，且，則直線(xiàn)的斜率為.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖1，在矩形ABCD中，，將沿著B(niǎo)D翻折到的位置，得到三棱錐，且平面ABP，如圖2所示.(1)求證：平面平面ABD；(2)求直線(xiàn)AB與平面BPD所成角的正弦值.16．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為向量.(1)求的大小；(2)是邊BC上一點(diǎn)且AD平分，若的面積是，求的周長(zhǎng).17．已知函數(shù)與分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且.(1)求函數(shù)與的解析式；(2)若對(duì)于，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.19．法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉格朗日給出一個(gè)結(jié)論：若函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，在開(kāi)區(qū)間上都有導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)，使得，這就是拉格朗日中值定理，其中稱(chēng)為在區(qū)間上的“拉格朗日中值”.已知函數(shù).(1)利用拉格朗日中值定理求函數(shù)在上的“拉格朗日中值”；(2)利用拉格朗日中值定理證明：函數(shù)上任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率不小于；(3)針對(duì)函數(shù)，請(qǐng)證明拉格朗日中值定理成立.

答案1．【正確答案】D【詳解】命題“”的否定是，故選：D2．【正確答案】A【詳解】集合，因?yàn)?，所以，則.故選：A.3．【正確答案】A【詳解】因，又，則，即“”是“”的充分條件；當(dāng)，時(shí)，不一定和l平行，還有可能異面，則“”不是“”的必要條件.則“”是“”的充分不必要條件.故選：A4．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)榈慕K邊過(guò)點(diǎn)，所以，解得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述：或.故選：C.5．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，則，由平面向量數(shù)量積的定義可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：C.6．【正確答案】B【詳解】由題意，在兩個(gè)等差數(shù)列中，前項(xiàng)和分別是，，對(duì)于一般等差數(shù)列前項(xiàng)和為二次型函數(shù)：（為常數(shù)），∴設(shè)，，為常數(shù)∴，故選：B.7．【正確答案】D【詳解】連接，作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接分別交，與點(diǎn)，連接如下圖所示：

則,,此時(shí)的周長(zhǎng)取得最小值，其最小值為的長(zhǎng)度；因?yàn)樯刃蜲AB的弧長(zhǎng)為，半徑為2，所以；根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，在中，由余弦定理可得，所以.即周長(zhǎng)的最小值是.故選：D8．【正確答案】B【詳解】由題意，任取，且，則，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則，即.由，設(shè)，，則，因?yàn)?，所以，則，而，則，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，則，即.綜上所述，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.故選：B.9．【正確答案】BD【詳解】因?yàn)?，所以，?duì)于A，所以消費(fèi)金額在內(nèi)的顧客約有人，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，樣本中消費(fèi)金額的平均數(shù)是元，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，設(shè)消費(fèi)金額的中位數(shù)是，前二組的頻率和為，前三組的頻率和為，所以在第三組，所以，所以元，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，第1組頻率，第2組頻率分別為，所以從樣本的第1，2組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取6人，第1組抽2人，第2組抽4人，所以從這6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，則抽到的2人的消費(fèi)金額都不少于50元的概率是，D選項(xiàng)正確.故選：BD.10．【正確答案】ABD【詳解】由圖可得，，，因，取，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，則，，即，故B正確；對(duì)于C，令或，得或，其中，分別取，得相鄰的三個(gè)根為，則相鄰根的差值即的圖象與直線(xiàn)的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則，故D正確.故選：ABD11．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A,根據(jù)余弦定理，，則,如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，所以,因?yàn)橹比庵?，所以四棱錐的高為，所以，故A正確；對(duì)于B,設(shè)三棱柱的外接球的球心為,半徑為,分別為上底面和下底面外接圓的圓心，則為外接圓的半徑，如上圖，則,,所以,所以,所以三棱柱的側(cè)面積為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閮?nèi)切圓的半徑為，又因?yàn)?，所以三棱柱能容納的最大的內(nèi)切球的半徑為，則棱長(zhǎng)為的正方體能整體放入此容器且可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，則棱長(zhǎng)最大的正方體恰好是直徑為的球的內(nèi)接正方體，則，則的最大值為1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在平面ABC內(nèi)作，垂足為H，由A的分析可知H落在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，由于平面，平面，故，又平面，故平面，平面,故，而，故，又，故P點(diǎn)軌跡為以H為圓心，3為半徑的圓在四邊形內(nèi)（含邊界）的圓弧MN，在中，，則，故弧MN的長(zhǎng)為，即點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，故D正確；故選：ABD12．【正確答案】1【詳解】由題意，在中，，，故1.13．【正確答案】9【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，正數(shù)滿(mǎn)足，有對(duì)稱(chēng)性可知，即，所以；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故914．【正確答案】【詳解】因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為，則，解得，所以，雙曲線(xiàn)的方程為，，如下圖所示：設(shè)，由雙曲線(xiàn)的定義可得，則，，所以，，所以，，由余弦定理可得，所以，，解得，所以，，所以，，當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為銳角時(shí)，則，所以，，此時(shí)，直線(xiàn)的斜率為；當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為鈍角時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性可知，直線(xiàn)的斜率為.綜上所述，直線(xiàn)的斜率為.故答案為.15．【正確答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍭BP，平面ABP，可得，，由題意可知：，且，平面，可得平面，由平面ABD，所以平面平面ABD.（2）由題意可知：，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，即，解得，所以直線(xiàn)AB與平面BPD所成角的正弦值為.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由，可得，再由三角形正弦定理角化邊得：，整理得：，再由余弦定理得：，又因?yàn)?，所?（2）由的面積公式得：，因?yàn)锳D平分，，，所以，化簡(jiǎn)得：，又由的面積是，則，解得：，所以，又由余弦定理得：，所以，即三角形的周長(zhǎng)是.17．【正確答案】(1)；(2)【詳解】（1）由①，可得，所以②，①②可得，所以，①②可得，所以；（2）由（1）知，所以在上單調(diào)遞增，由，得，所以，當(dāng)時(shí)，，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以不等式變形為，令，所以，令，求導(dǎo)得，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)閷?duì)于，不等式恒成立，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)(3)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）證明：因，則，則是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列；（2）由（1），，則是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，則；（3）由（2），，則，則.證明：假設(shè)數(shù)列中存在不同的三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)這三項(xiàng)項(xiàng)數(shù)為.其中，則，.設(shè)，則，得，注意到，，則.這與矛盾，則數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列.19．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題，，因，，則（負(fù)值舍去）；（2）由題，，設(shè)，設(shè)，則在R上單調(diào)遞增，注意到，則當(dāng)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，設(shè)函數(shù)上任意兩點(diǎn)為，則函數(shù)上任意兩點(diǎn)斜率的表達(dá)式為，由拉格朗日中值定理，在區(qū)間上存