2024-2025學(xué)年福建省晉江市高二上冊(cè)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省晉江市高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所對(duì)應(yīng)的直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，點(diǎn)P在橢圓C上，則的周長(zhǎng)為（

）A．16 B．18 C． D．203．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，定點(diǎn)，則的最小值為（）A．6 B．7 C．8 D．94．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，雙曲線上有一點(diǎn)，若，則（）A．9 B．1 C．1或9 D．11或95．如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．6．已知，分別為雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，線段與雙曲線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

A． B． C． D．7．如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成的角為，底面為直角梯形，，，，三棱錐的外接球?yàn)榍颍瑒t平面截球所得截面圓的面積為（）A． B． C． D．8．圓冪是指平面上任意一點(diǎn)到圓心的距離與半徑的平方差.在平面上任給兩個(gè)不同圓心的圓，則兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線被稱為這兩個(gè)圓的根軸.已知圓與圓，是這兩個(gè)圓根軸上一點(diǎn)，則的最大值為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，直線，圓，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則B．若為圓上一點(diǎn)，則的最小值為C．若與圓相交于，兩點(diǎn)，則D．過上一點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，則10．過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線l與該雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，則（

）A．僅存在一條直線l，使B．存在直線l，使弦AB的中點(diǎn)為C．與該雙曲線有相同漸近線且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為D．若A，B都在該雙曲線的右支上，則直線l斜率的取值范圍是11．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M，N分別是，的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．一定是異面直線B．存在點(diǎn)，使得C．直線與平面所成角的正切值的最大值為D．過M，N，P三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，則在上的投影向量的模為.13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍為.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，現(xiàn)有不同的三點(diǎn)A，B，C在拋物線E上，且，，則p的值是；若過點(diǎn)的直線PM，PN分別與拋物線E相切于點(diǎn)M，N，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知△中，頂點(diǎn)，邊上的高線所在直線與直線平行，的平分線所在直線的方程為．(1)求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求邊所在直線的一般式方程．16．年月日是鄭和下西洋周年紀(jì)念日，也是第個(gè)中國(guó)航海日.設(shè)立“航海日”對(duì)于我國(guó)開發(fā)海洋、維護(hù)海權(quán)、加強(qiáng)海防、實(shí)現(xiàn)建設(shè)航天強(qiáng)國(guó)和海洋強(qiáng)國(guó)的目的，有著十分深遠(yuǎn)的戰(zhàn)略意義.在某次任務(wù)中，為了保證南沙群島附近海域航行的安全，我國(guó)航海部門在南沙群島的中心島嶼正西與正北兩個(gè)方向，分別設(shè)立了觀測(cè)站，它們與南沙群島中心島嶼的距離分別為海里和海里.某時(shí)段，為了檢測(cè)觀察的實(shí)際范圍（即安全預(yù)警區(qū)），派出一艘觀察船，始終要求巡視行駛過程中觀察船的位置到觀測(cè)站的距離與南沙群島中心島嶼的距離之商為.

(1)求小船的運(yùn)動(dòng)軌跡方程；(2)為了探查更遠(yuǎn)的范圍，航海部門又安排一艘巡艇，從觀測(cè)站出發(fā)，往觀測(cè)站方向直線行駛，規(guī)定巡艇不進(jìn)入預(yù)警區(qū)，求的取值范圍.17．已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)且斜率為1的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)；(3)若直線l與橢圓相交于兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，求直線l的方程.18．如圖，且，，且，且，平面，.(1)設(shè)面BCF與面EFG的交線為，求證：；(2)證明:(3)在線段BE上是否存在一點(diǎn)P，使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為，若存在，求出P點(diǎn)的位置，若不存在，說明理由.19．已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，P是C上異于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為，且.(1)求雙曲線C的方程；(2)已知過點(diǎn)的直線，交C的左、右兩支于D，E兩點(diǎn)（異于A，B）.（i）求m的取值范圍；（ii）設(shè)直線AD與直線BE交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在定直線上.

答案1．【正確答案】D【詳解】由，得，則斜率，因?yàn)槔@原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所對(duì)應(yīng)的直線與原直線垂直，所以，所求直線的斜率為，故選：D.2．【正確答案】B【詳解】

因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，即，所以長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，則由題可知,短半軸長(zhǎng)，半焦距，故的周長(zhǎng)為.故選：B.3．【正確答案】C【詳解】因?yàn)榈扔邳c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，作垂直于準(zhǔn)線于,根據(jù)拋物線的定義可知，所以當(dāng)PQ垂直于準(zhǔn)線時(shí)交準(zhǔn)線于,，有最小值，,最小值為.當(dāng)且僅當(dāng)在與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取得等號(hào).故選：C.4．【正確答案】A【詳解】根據(jù)雙曲線定義可得，又，所以或，又，，而或，所以.故選：A.5．【正確答案】B【詳解】由題意，又，.故選：B6．【正確答案】C【詳解】由題意可知：，，且，

在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，即，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：C.7．【正確答案】A【詳解】如圖1，分別取的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為，則,，連接，因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪?，，，，所以四邊形為正方形?因?yàn)槠矫?，，所以平面，平面，所以；所以，而平面，平面，則,所以,又為的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)到三棱錐各個(gè)頂點(diǎn)的距離均為，故為三棱錐的外接球球心；如圖2，以為原點(diǎn)，所在直線分別作軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫?，平面，則,與底面所成的角為，則為等腰直角三角形，,則，，，.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，所以令，?因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離.設(shè)截面圓的半徑為，則，所以截面圓的面積為.故選：A.8．【正確答案】A【詳解】由題知，圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑.設(shè)點(diǎn)為圓與圓的根軸上的任意一點(diǎn)，則，所以，整理得，即圓與圓的根軸為直線.取關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，則.因?yàn)?，所以在上，所以?dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值.因?yàn)榈降木嚯x為，到的距離為，所以，即的最大值為.故選：A.9．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若，則，得，故選項(xiàng)A正確．對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)，可得，當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，則，解得，所以的最小值為，故選項(xiàng)B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋?jiǎn)可得，令，解得，故過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，取最小值，則，故選項(xiàng)C不正確．對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以?dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，而當(dāng)時(shí)，取得最小值為圓心到直線的距離，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.10．【正確答案】CD【詳解】對(duì)于A，通徑，實(shí)軸，則有四條直線l，使，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)存在直線l，使得弦AB的中點(diǎn)為，設(shè)，，則，兩式相減得，又，則，故直線的斜率，此時(shí)直線方程為，即，由于右焦點(diǎn)不在直線上，故不存在這樣的直線l，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)與該雙曲線有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，代入點(diǎn)可得，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)直線l方程為.聯(lián)立，得，則，恒成立.所以，，則，.若A、B都在該雙曲線的右支上，則，即，解得，又斜率，所以，故D正確.故選：CD.11．【正確答案】AD【分析】對(duì)ABC選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解和判斷即可；對(duì)D選項(xiàng)，由正方體的性質(zhì)可得截面面積最大的狀態(tài)，畫出截面圖，求得面積即可判斷.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，設(shè)，則點(diǎn)坐標(biāo)為；對(duì)A：設(shè)平面的法向量為，，則，即，取，解得，故；又，，考慮到，則，故，故一定是異面直線，A正確；對(duì)B：，，若，則，即，解得，又，故不存在這樣的點(diǎn)，使得，B錯(cuò)誤；對(duì)C：，取平面的法向量，則，設(shè)直線與平面的夾角為則，則，，又，故，即直線與平面所成角的正切值的最大值為，C錯(cuò)誤；對(duì)D：在正方體中，過的截面為六邊形且六邊形為正六邊形時(shí)面積最大.此時(shí)過的截面經(jīng)過對(duì)稱中心，設(shè)截面交于中點(diǎn)，也為中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)時(shí)，過三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積最大，取的中點(diǎn)為，連接，如下所示：故此時(shí)截面為正六邊形，其面積，故D正確.故選AD.12．【正確答案】/【分析】利用向量的數(shù)量積公式及投影向量的模即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以在方向上的投影向量的模?故答案為.13．【正確答案】【詳解】因?yàn)椋?，其表示為圓的上半部分.設(shè)半圓上一動(dòng)點(diǎn)Px,y表示的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)連接的直線的斜率，當(dāng)直線和半圓相切時(shí)，直線的斜率取最大值，設(shè)直線的方程為，即，所以，解得或（舍去），則直線的斜率的最大值為；當(dāng)點(diǎn)為2,1時(shí)，則直線的斜率取最小值，為，綜上，的取值范圍為.故答案為.

14．【正確答案】4/8.5【詳解】設(shè)，則,，即，又，解得.則拋物線.設(shè)，由可得，則，所以直線PM的方程為，即①，同理直線PN的方程為②由直線均過點(diǎn)P可得，，即直線的方程為，過焦點(diǎn)，聯(lián)立，消元得，所以，，故4；15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可設(shè)邊所在的直線方程為，則將代入得，則邊所在直線的方程為，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以．直線的方程即為直線的方程.因?yàn)椋?，即為，則直線的一般式方程為．16．【正確答案】(1)．(2)．【詳解】（1）根據(jù)已知條件設(shè)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件設(shè)且，

由有，；，即，整理得，它是以為圓心，為半徑的圓．所以小船的運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為：．（2）由（1）可知，過的直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直，所以直線截距式方程為化為一般式方程為，根據(jù)題意，，解得，所以綜上可知的取值范圍為．17．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)及所經(jīng)過點(diǎn)直接求出，得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）直線l與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得出結(jié)果.（3）設(shè)，根據(jù)“點(diǎn)差法”求出直線的斜率，由點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】（1）由題意設(shè)橢圓C的方程為，因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)0,1且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由已知設(shè)直線l的方程為，設(shè)，.將直線代入，得，所以，，.（3）設(shè)，則中點(diǎn)是，于是，即，由于在橢圓上，故，兩式相減得到，即，故，于是，故直線的方程是，整理得18．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)線段BE上存在點(diǎn)P，且時(shí)使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，又平面，平面，所以面，又平面，平面平面，所?（2）因?yàn)榍遥运倪呅蜛DGE為平行四邊形，又，所以四邊形ADGE為菱形，所以AG⊥DE.因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以CD⊥面，又面，所以，又，平面，所以面，又面，所以.（3）由于，，，平面，，則以D為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，如圖，于是，，設(shè)平面ABE的法向量為，則，，令，得，假設(shè)線段BE上存在點(diǎn)P，使得直線DP與平面ABE所成的角的正弦值為