2024-2025學(xué)年陜西省榆林市府谷縣高三上冊(cè)第五次考試（12月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年陜西省榆林市府谷縣高三上學(xué)期第五次考試（12月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知全集，，，則可以是（

）A． B． C． D．2．已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．在等差數(shù)列中，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．124．已知為奇函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．0 D．5．早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)，以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂(lè)》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．若，則（

）A． B． C． D．7．《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬(wàn)象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田，已知正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是正八邊形ABCDEFGH的內(nèi)部（包含邊界）任一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，其中為左焦點(diǎn)，是與在第一象限的公共點(diǎn).線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若的離心率為，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)滿足，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的虛部為 B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限C． D．10．已知函數(shù)，，對(duì)，f(x)與g(x)中的最大值記為，則（

）A．函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為， B．函數(shù)的最小值為C．方程有3個(gè)解 D．方程最多有4個(gè)解11．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值點(diǎn)為C．存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增D．若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.13．已知三角函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且其相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，則.14．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為的中點(diǎn)，，直線與所成角的大小為，則四校錐的體積為.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，分別為邊所對(duì)的角，且滿足.(1)求的大小；(2)若，求的面積.16．已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，.(1)求數(shù)列an(2)若，證明：數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.17．如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)求平面與平面所成角的余弦值．18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，短軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)D為橢圓C的下頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上異于橢圓頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與直線BD相交于點(diǎn)M，直線BP與直線AD相交于點(diǎn)N.證明：直線MN與x軸垂直.19．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若為函數(shù)的正零點(diǎn)，證明：．

答案1．【正確答案】D【詳解】依題意，，因此中不能有元素1，2，3，選項(xiàng)ABC不滿足，D符合題意.故選：D2．【正確答案】C【分析】利用平面向量平行的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故，故充分性成立，當(dāng)時(shí)，滿足，解得，故此時(shí)必要性成立，故C正確.故選C.3．【正確答案】B【詳解】在等差數(shù)列中，設(shè)首項(xiàng)和公差分別為，則，解得.故選：B.4．【正確答案】A【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)建立方程，求解參數(shù)，再求值即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，而，得到，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以，故A正確.故選A.5．【正確答案】D【詳解】不妨設(shè)，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．故選D．6．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，解得，所以，故選：B.7．【正確答案】B【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，轉(zhuǎn)化為求解最值即可．【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，如圖所示：根據(jù)正八邊形的特征，可知，又，所以，，則的取值范圍是．故選B．8．【正確答案】B【詳解】如圖，令線段的垂直平分線與的交點(diǎn)為，顯然是的中點(diǎn)，而是的中點(diǎn)，則，而，因此，所以有，則，令與的半焦距為，由，得，于是，解得，則，，所以的漸近線方程為.故選B.9．【正確答案】BC【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)判斷A，C，利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系判斷B，利用虛數(shù)的性質(zhì)判斷D即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以的虛部為，故A錯(cuò)誤，而，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故B正確，，，故C正確，虛數(shù)無(wú)法比較大小，故D錯(cuò)誤.故選BC.10．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A，由，即，得或，所以的零點(diǎn)為和3，所以A不正確；對(duì)于B，因?yàn)榈慕鉃楹停膳c的圖象可知，

當(dāng)時(shí)，有最小值，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)榈膱D象與有3個(gè)交點(diǎn)，

所以方程有3個(gè)解，所以C正確；對(duì)于D，令，因?yàn)椋蛇x項(xiàng)B中的圖象可知，當(dāng)時(shí)，最多有2個(gè)解，，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)解；而有2個(gè)解，故最多有4個(gè)解，所以D正確．故選：BCD．11．【正確答案】AD【分析】由函數(shù)極值的求解以及極值點(diǎn)的辨析即可判斷AB，由在上恒成立即可判斷C，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求得其最小值，即可判斷D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則，其中，當(dāng)時(shí)，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有極小值，即最小值，故A正確；當(dāng)時(shí)，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，則為極小值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋院瘮?shù)無(wú)最小值，故不存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；若恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有極小值，即最小值，所以，故D正確；故選AD.12．【正確答案】【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)為，可得，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故．13．【正確答案】/【詳解】由題意可知，，所以，所以，所以，又函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，又，且，所以.故答案為.14．【正確答案】【詳解】連接，如圖所示：因?yàn)?，所以直線與所成角為（或其補(bǔ)角），因?yàn)槠矫?，所以，又底面為矩形，所以，因?yàn)?，平面，平面，而平面，所以，所以均為直角三角形，設(shè)，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以四棱錐的體積.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1），，又，由正弦定理得，；（2）在中，由余弦定理得，，則，解得（舍），，.16．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列和，列方程組求出和，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），裂項(xiàng)相消求得，由，可得.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列知，，即，所以，有，即或.①當(dāng)時(shí)，，不合題意；②當(dāng)時(shí)，，得，所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：由（1）知，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和，由，可得.17．【正確答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)【詳解】（1）連接，在菱形中，，，所以，在中，，，所以，所以，在中，，，，所以，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以?/p>

（2）記，連接，由點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又由（1）知平面，所以平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

所以，，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，所以，所以，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量為，由圖可知平面與平面所成角為銳角，所以，故平面與平面所成角的余弦值為．18．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，由題意有：，解得，，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，有，可得，直線BD的方程為，整理為；直線AD的方程為，整理為；直線AP的方程為；聯(lián)立方程，解得，M的橫坐標(biāo)為，直線BP的方程為，聯(lián)立方程，解得：，N的橫坐標(biāo)為，，故點(diǎn)M和點(diǎn)N的橫坐標(biāo)相等，可得直線MN與x軸垂直.19．【正確答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，①?dāng)即時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，