2024-2025學年四川省成都市高三上冊一月考試數(shù)學（文）檢測試題（附解析）

2024-2025學年四川省成都市高三上學期一月考試數(shù)學（文）檢測試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．復數(shù)的共軛復數(shù)為（

）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則數(shù)列的公差（

）A．3 B．2 C． D．44．直線被圓所截得的弦長為（

）A． B． C．5 D．105．已知向量，，若實數(shù)λ滿足，則（

）A． B． C． D．16．設橢圓的兩個焦點分別為、，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．7．如圖是某兩位體育愛好者的運動素養(yǎng)測評圖，其中每項能力分為三個等級，“一般”記為4分，“較強”記為5分，“很強”記為6分，把分值稱為能力指標，則下列判斷不正確的是（

）A．甲、乙的五項能力指標的平均值相同B．甲、乙的五項能力指標的方差相同C．如果從長跑、馬術、游泳考慮，甲的運動素養(yǎng)高于乙的運動素養(yǎng)D．如果從足球、長跑、籃球考慮，甲的運動素養(yǎng)高于乙的運動素養(yǎng)8．設函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．9．已知，則（

）A． B． C． D．10．荀子《勸學》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”所以說學習是日積月累的過程，每天進步一點點，前進不止一小點.我們可以把看作是每天的“進步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；這樣，一年后的“進步值”是“退步值”的倍.那么當“進步值”是“退步值”的5倍時，大約經(jīng)過（

）天.（參考數(shù)據(jù)：)A．70 B．80 C．90 D．10011．已知函數(shù)的定義域為，且，則（

）A． B． C．是偶函數(shù) D．沒有極值點12．已知點A，B，C，D均在半徑為6的球面上，是邊長為9的等邊三角形，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．二、填空題13．如果圓錐的底面圓半徑為1，母線長為2，則該圓錐的側面積為.14．某藝術展覽會的工作人員要將A，B，C三幅作品排成一排，則A，B這兩幅作品排在一起的概率為．15．已知函數(shù)在上恰有2個零點，則的取值范圍為．16．已知雙曲線的左右焦點分別為、，若雙曲線上的點，使得，且，則雙曲線的離心率為．三、解答題17．某校名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是:，，，，.(1).求圖中的值;(2).根據(jù)頻率分布直方圖，估計這名學生語文成績的平均分;(3).若這名學生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)()與數(shù)學成績相應分數(shù)段的人數(shù)()之比如下表所示，求數(shù)學成績在之外的人數(shù).分數(shù)段18．內角A，B，C的對邊分別為，，，已知，，的面積為．(1)求的值；(2)若點是邊上一點，且，求的長．19．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點.（Ⅰ）證明：BC1//平面A1CD;（Ⅱ）設AA1=AC=CB=2，AB=2，求三棱錐C一A1DE的體積.20．已知橢圓的焦距為，短半軸的長為2，過點且斜率為1的直線與橢圓交于兩點．(1)求橢圓的方程及弦的長；(2)橢圓上有一動點，求的最大值．21．已知函數(shù)．(1)當時，求在曲線上的點處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調性；(3)若有兩個極值點，，證明：．22．在平面直角坐標系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求曲線的極坐標方程；(2)在極坐標系中，射線與曲線分別交于兩點（異于極點），求．1．C【分析】解不等式求得集合，進而求得.【詳解】，解得，所以，所以.故選：C2．C【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算及共軛復數(shù)概念求解.【詳解】因為，所以，故選：C3．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式和求和公式直接計算求解.【詳解】由題意得，，解得.故選：B4．B【分析】判斷出圓心在直線上即可求解.【詳解】圓即，故圓心為，顯然圓心在直線上，故直線被圓所截得的弦即為圓的直徑，長為.故選:B．5．A【分析】先表示出的坐標，然后根據(jù)垂直關系得到的方程，由此求解出結果.【詳解】因為，且，所以，所以，故選：A.6．C【分析】利用等腰直角三角形的性質得到三條邊的長度關于的表達式，再利用橢圓的定義求得的關系式，進而得到離心率.【詳解】依題意，設橢圓的長軸為，半焦距為，則，則，，于是，.故選：C.7．D【分析】由運動素養(yǎng)測評圖可以求得平均值以及方差，通過識圖可判斷甲乙運動素養(yǎng)的高低.【詳解】由圖可知：甲的平均值為，乙的平均值為，A正確；甲的方差為，乙的方差為，B正確；從長跑、馬術、游泳考慮，甲三方面的分值和為，乙三方面的分值和為，乙小于甲，C正確；從足球、長跑、籃球考慮，甲三方面的分值和為，乙三方面的分值和為，乙與甲相同，D錯誤.故選：D8．A【分析】根據(jù)給定函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)單調性，結合得便函數(shù)單調性求出的單調遞增區(qū)間，再借助集合的包含關系求解即得.【詳解】函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，函數(shù)在R上單調遞減，因此函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，依題意，，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A9．A【分析】由正弦差角公式和輔助角公式得到，再整體法利用誘導公式和二倍角公式求出答案.【詳解】由題可得，，所以.故選：A.10．B【分析】根據(jù)題意列方程，然后取對數(shù)求解.【詳解】設天后當“進步”的值是“退步”的值的5倍，則，即，兩邊同時取對數(shù)，化簡得，所以，即.故當“進步值”是“退步值”的5倍時，大約經(jīng)過80天.故選：B.11．D【分析】令，結合題設為上任意值且，得到為常函數(shù)，進而判斷各項的正誤.【詳解】令，則，所以，且為定義域內任意值，故為常函數(shù).令，則，為奇函數(shù)且沒有極值點，C錯，D對；所以不恒成立，不一定成立，A、B錯.故選：D12．D【分析】是外心，是球心，求出，當是的延長線與球面交點時，三棱錐體積的最大，由此求得最大體積即可．【詳解】如圖，是外心，即所在截面圓圓心，是球心，則，，因為平面，平面，則，所以，當是的延長線與球面交點時，三棱錐體積的最大，此時棱錐的高為，，所以棱錐體積為．故選：D．13．【分析】由圓錐的側面積公式即可求解．【詳解】由圓錐的側面積公式故2π14．【分析】首先可列舉出三幅作品的所有可能排列情況，再選出A，B這兩幅作品排在一起的情況，即可得出其概率.【詳解】根據(jù)題意A，B，C三幅作品排成一行，有ABC，ACB，BAC，BCA，CBA，CAB共6種情況，A，B這兩幅作品排在一起的情況有ABC，BAC，CBA，CAB，共4種，則A，B這兩幅作品排在一起的概率.故15．【分析】先根據(jù)求出的范圍，再利用函數(shù)與方程的關系，將函數(shù)零點問題轉化成相關的兩函數(shù)圖象的交點問題，借助于三角函數(shù)的圖象觀察即可確定參數(shù)范圍.【詳解】因，則，結合余弦函數(shù)的圖象可知，要使函數(shù)在上恰有2個零點，須使函數(shù)與直線在上恰有兩個交點，即使，解得.故答案為.16．【分析】作出圖形，分析可知，點在雙曲線的右支上，設交軸于點，連接，則，推導出，利用雙曲線的定義得出，利用同角三角函數(shù)的基本關系可得出，然后在中根據(jù)可求得該雙曲線離心率的值.【詳解】如下圖所示：由，可知，，則點在雙曲線的右支上，設交軸于點，連接，由對稱性可知，，所以，，所以，，所以，，所以，，由，解得,所以，，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為.方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關于、的齊次方程，然后轉化為關于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.17．(1)(2)分(3)【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1求解；（2）用每組中間的數(shù)據(jù)作為該組的平均數(shù)估計樣本平均數(shù)；（3）先求出語文成績每組的頻數(shù)，再求出數(shù)學成績在之間的頻數(shù)，即可求出數(shù)學在之外的人數(shù).【詳解】（1）依題意得：，解得.（2）用每組中間的數(shù)據(jù)作為該組的平均數(shù)估計這100名學生語文成績的平均分為：（分）（3）數(shù)學成績在的人數(shù)為：，數(shù)學成績在的人數(shù)為：，數(shù)學成績在的人數(shù)為：，數(shù)學成績在的人數(shù)為：數(shù)學成績在的人數(shù)為.18．(1)(2)2【分析】（1）由三角形面積公式直接計算即可；（2）利用余弦定理求邊，角B，結合正弦的和角公式可得，再利用正弦定理計算即可.【詳解】（1）由三角形的面積公式及已知得：，解得，；（2）由（1）可知：，∵，∴，，由余弦定理得：，則，所以，由正弦定理，．19．（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【詳解】試題分析：（Ⅰ）連接AC1交A1C于點F，則DF為三角形ABC1的中位線，故DF∥BC1．再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由題意可得此直三棱柱的底面ABC為等腰直角三角形，由D為AB的中點可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．進而求得S△A1DE的值，再根據(jù)三棱錐C-A1DE的體積為?S△A1DE?CD，運算求得結果試題解析：（1）證明：連結AC1交A1C于點F，則F為AC1中點又D是AB中點，連結DF，則BC1∥DF．3分因為DF?平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，4分所以BC1∥平面A1CD．5分（2）解：因為ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D為AB的中點，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1．8分由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D10分所以三菱錐C﹣A1DE的體積為：==1．12分考點：直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積20．(1)，(2)【分析】（1）首先根據(jù)已知條件和平方關系求出橢圓方程，然后聯(lián)立直線方程和橢圓方程，結合韋達定理以及弦長公式運算即可求解.（2）由題意只需求出動點到直線的最大值即可，此時可利用三角換元結合輔助角公式、三角函數(shù)性質即可，最終結合弦的長即可求解.【詳解】（1）由題意，解得，所以橢圓的方程為，設，而過點且斜率為1的直線的方程為，即，將其與橢圓方程聯(lián)立得，消去并整理得，所以，所以弦的長為.（2）由（1）橢圓的方程及弦的長分別為，，且直線的方程為，由題意動點在橢圓上，不妨設點，所以點到直線的距離，而，所以，所以，所以點到直線的距離有最大值，所以，即的最大值為.21．(1)；(2)詳見解析；(3)詳見解析.【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出；（2）求出導函數(shù)，在定義域內分類討論解含參不等式即可求出；（3）由題意得，，，而，只需證明，即證：，即證：對任意的恒成立即可．【詳解】（1）由題可知，當時，，，，切點為，切線的斜率為，切線方程為：，即；（2）對函數(shù)求導可得，．當時，．則在上單調遞增．當時，．則，．令，則，或．，則，綜上：當時，在上單調遞增，當時，在和上單調遞增，在上單調遞減．（3）有兩個極值，，，是方程的兩個不等實根，則，，，．要證：．即證：．不妨設，即證：．即證：對任