2024-2025學(xué)年天津市紅橋區(qū)高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年天津市紅橋區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬檢測試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試用時90分鐘.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答題時，務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.2．本卷共9題，每小題4分，共36分.一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．某學(xué)校共有學(xué)生2700人，其中男生1200人，女生1500人.現(xiàn)按男生、女生進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該校全體學(xué)生中抽取人進(jìn)行調(diào)查研究.若抽到男生20人，則（

）A．60 B．45 C．35 D．25【正確答案】B【知識點(diǎn)】抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算【思路】由分層抽樣中各層樣本數(shù)的確定方法求解即可；由題意男生有1200人，調(diào)查研究中男生被抽到20人，所以分層抽樣的比例為，所以故選：B.2．由三個數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)中，任取1個數(shù)，恰為偶數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【知識點(diǎn)】計算古典概型問題的概率【思路】利用古典概型概率公式求解即可.由題意得三個數(shù)字中只有1個偶數(shù)，且設(shè)概率為，所以，即任取1個數(shù)，恰為偶數(shù)的概率是，故B正確.故選：B3．給定數(shù)組，則錯誤的是（）A．中位數(shù)為3 B．標(biāo)準(zhǔn)差為C．眾數(shù)為2和3 D．第85百分位數(shù)為4【正確答案】D【知識點(diǎn)】總體百分位數(shù)的估計、計算幾個數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、計算幾個數(shù)的中位數(shù)、計算幾個數(shù)的眾數(shù)【思路】求得數(shù)組的中位數(shù)判斷選項(xiàng)A；求得數(shù)組的標(biāo)準(zhǔn)差判斷選項(xiàng)B；求得數(shù)組的眾數(shù)判斷選項(xiàng)C；求得數(shù)組的第85百分位數(shù)判斷選項(xiàng)D.將數(shù)組從小到大依次排列為則中位數(shù)為，故選項(xiàng)A判斷正確；平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)差為，故選項(xiàng)B判斷正確；眾數(shù)為2和3，故選項(xiàng)C判斷正確；由，可得第85百分位數(shù)為5.故選項(xiàng)D判斷錯誤.故選：D4．從1、2、…、9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個是偶數(shù)和恰有一個是奇數(shù)；②至少有一個是奇數(shù)和兩個數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個是奇數(shù)和兩個數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個是奇數(shù)和至少有一個是偶數(shù)．在上述事件中，是對立事件的是（

）A．①； B．②④； C．③； D．①③．【正確答案】C【知識點(diǎn)】寫出某事件的對立事件、互斥事件與對立事件關(guān)系的辨析【思路】根據(jù)題意，分析從1，2，3，，9中任取兩數(shù)，其中可能的情況即基本事件，進(jìn)而依次分析四個事件，看其中包含的事件是否對立，即可得答案．根據(jù)題意，從1，2，3，，9中任取兩數(shù)，其中可能的情況有“兩個奇數(shù)”，“兩個偶數(shù)”，“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”三種情況；依次分析所給的4個事件可得，①恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)都是“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”一種情況，不是對立事件；②至少有一個奇數(shù)包括“兩個奇數(shù)”與“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”兩種情況，與兩個都是奇數(shù)不是對立事件；③至少有一個奇數(shù)包括“兩個奇數(shù)”與“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”兩種情況，和“兩個都是偶數(shù)”是對立事件；④至少有一個奇數(shù)包括“兩個奇數(shù)”與“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”兩種情況，至少有一個偶數(shù)包括“兩個偶數(shù)”與“一個奇數(shù)與一個偶數(shù)”兩種情況，不是對立事件.故選：C．5．要調(diào)查某地區(qū)高中學(xué)生身體素質(zhì)，從高中生中抽取100人進(jìn)行跳遠(yuǎn)測試，根據(jù)測試成績制作頻率分布直方圖如下圖，現(xiàn)再從這100人中用分層抽樣的方法抽取20人，應(yīng)從間抽取人數(shù)為b，則b為（

）

A．4 B．5 C．6 D．7【正確答案】C【知識點(diǎn)】由頻率分布直方圖計算頻率、頻數(shù)、樣本容量、總體容量、抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計算【思路】先由頻率之和為解得值，計算可得之間的學(xué)生人數(shù)，根據(jù)抽樣比可求得.由題得，所以．在之間的學(xué)生：人，現(xiàn)再從這人中用分層抽樣的方法抽取人，應(yīng)從間抽取人數(shù)為，故.故選：C．6．?dāng)?shù)列滿足，，則（

）A．2 B．3 C．6 D．8【正確答案】C【知識點(diǎn)】根據(jù)數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)【思路】根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的關(guān)系式，即可求解..故選：C7．在等比數(shù)列中，，公比，則與的等比中項(xiàng)是（

）A．2 B．4 C．2 D．4【正確答案】D【知識點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計算、確定等比中項(xiàng)【思路】先通過等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計算，進(jìn)而可得其等比中項(xiàng).解：因?yàn)?，所以與的等比中項(xiàng)是，故選：D.8．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）A．240 B．225 C．120 D．30【正確答案】A【知識點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計算【思路】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得，，進(jìn)而可得，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)運(yùn)算求解即可.因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，即，又因?yàn)?，可得，則等差數(shù)列公差，可得，所以.故選：A.9．一位語文老師在網(wǎng)上購買了四書五經(jīng)各一套，四書指《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》，五經(jīng)指《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》，他將9本書整齊地放在同一層書架上，若四書，五經(jīng)必須分別排在一起，且《大學(xué)》和《春秋》不能相鄰，則不同方式的排列種數(shù)為（

）A．5760 B．5660 C．5642 D．5472【正確答案】D【知識點(diǎn)】元素（位置）有限制的排列問題、不相鄰排列問題【思路】計算出所有情況后減去《大學(xué)》和《春秋》相鄰的情況即可得.四書、五經(jīng)必須分別排在一起，共有種，若《大學(xué)》和《春秋》相鄰，則不符合條件，共有種，則共有種．故選：D.第Ⅱ卷填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且成等差數(shù)列，則；．【正確答案】【知識點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計算、等差中項(xiàng)的應(yīng)用、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【思路】根據(jù)題意，得到，得到為等比數(shù)列，列出方程組，求得，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.由數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，當(dāng)時，，兩式相減可得，又由成等差數(shù)列，所以，即，解得，所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故；.11．已知數(shù)列為等比數(shù)列，、，則【正確答案】【知識點(diǎn)】等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計算【思路】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)，，求出，進(jìn)而得到答案.因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，、，所以，所以，又，所以，即，所以.故?212．從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．【正確答案】/0.3【知識點(diǎn)】計算古典概型問題的概率、實(shí)際問題中的組合計數(shù)問題【思路】根據(jù)古典概型計算即可解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為.解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故13．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．【正確答案】20【知識點(diǎn)】求指定項(xiàng)的系數(shù)【思路】根據(jù)題意結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)分析求解即可.因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，令，可得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故20.14．從位女生，位男生中選人參加科技比賽，且至少有位女生入選，則不同的選法共有種．（用數(shù)字填寫答案）【正確答案】【知識點(diǎn)】實(shí)際問題中的組合計數(shù)問題【思路】方法一：反面考慮，先求出所選的人中沒有女生的選法種數(shù)，再根據(jù)從人中任選人的選法種數(shù)減去沒有女生的選法種數(shù)，即可解出.［方法一］：反面考慮沒有女生入選有種選法，從名學(xué)生中任意選人有種選法，故至少有位女生入選，則不同的選法共有種．故答案為.［方法二］：正面考慮若有1位女生入選，則另2位是男生，于是選法有種；若有2位女生入選，則另有1位是男生，于是選法有種，則不同的選法共有種．故答案為.【總結(jié)】方法一：根據(jù)“正難則反”，先考慮“至少有位女生入選”的反面種數(shù)，再利用沒有限制的選法種數(shù)減去反面種數(shù)即可求出，對于正面分類較多的問題是不錯的方法；方法二：正面分類較少，直接根據(jù)女生的人數(shù)分類討論求出．15．3名男生和2名女生排成一排，其中2名女生不相鄰的排法共有種．（請用具體數(shù)字作答）【正確答案】72【知識點(diǎn)】不相鄰排列問題【思路】利用插空法求解即可.3名男生和2名女生排成一排，其中2名女生不相鄰的排法共有種故72三、解答題：本大題共4個小題，共40分．解答寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16．已知的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.(1)求；(2)求展開式中的常數(shù)項(xiàng).【正確答案】(1)；(2).【知識點(diǎn)】求指定項(xiàng)的系數(shù)、求指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)【思路】（1）寫出前三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)，根據(jù)和為，列方程求出的值；（2）利用通項(xiàng)，并令的指數(shù)為0，求出常數(shù)項(xiàng)．（1）因?yàn)榈恼归_式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是，，，所以，即，解得或（2）的展開式中通項(xiàng)為，由時，可得，即第7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.17．已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為（），數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【正確答案】(1)，；(2).【知識點(diǎn)】分組（并項(xiàng)）法求和、寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式【思路】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為（），根據(jù)等差等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計算可得結(jié)果.（2）求出，代入求出，再分組求和，利用裂項(xiàng)求和方法和等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為（），由，，，，得，解得，，所以，.（2）由（1）知，，因此當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以.18．已知等差數(shù)列滿足其中為的前項(xiàng)和，遞增的等比數(shù)列滿足：，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，求（3）設(shè)，的前n項(xiàng)和為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【正確答案】（1）；；（2）；（3）．【知識點(diǎn)】判斷數(shù)列的增減性、錯位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和、數(shù)列不等式恒成立問題【思路】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式可得，從而可求出首項(xiàng)和公差，即可求出通項(xiàng)公式；設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知條件結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出公比，從而可求出的通項(xiàng)公式.(2)由錯位相減法即可求出前項(xiàng)和.(3)由(1)可知，整理可得，由裂項(xiàng)相消法可得，由恒成立可得恒成立，結(jié)合的單調(diào)性即可求出實(shí)數(shù)的最大值.解：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，.設(shè)等比數(shù)列公比為（其中），因?yàn)椋?，可得，解得或（舍去）；所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，則①．②由①減去②得，則，所以的前n項(xiàng)和.（3）由(1)可知，，則恒成立，恒成立，單調(diào)遞增，時，，最大值為.【總結(jié)】方法點(diǎn)睛:常見數(shù)列求和的方法有：公式法