2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.9圓錐曲線的綜合問題第二課時(shí)范圍最值問題講義理蘇

§9.9

圓錐曲線的綜合問題第2課時(shí)范圍、最值問題課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引題型分類深度剖析題型一范圍問題解答(1)求直線FM的斜率；幾何畫板展示又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.設(shè)直線FM的斜率為k(k＞0)，F(xiàn)(－c,0)，則直線FM的方程為y＝k(x＋c).(2)求橢圓的方程；解答解答設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，直線FP的斜率為t，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，②當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，有y＝t(x＋1)＞0，解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個(gè)方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.思維升華解答所以點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(－2,0)，點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(2,0)，(2)若λ＝2，求橢圓離心率e的取值范圍.解答設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xM，yM)，又橢圓離心率e∈(0,1)，題型二最值問題命題點(diǎn)1利用三角函數(shù)有界性求最值例2

(2016·徐州模擬)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則AF·BF的最小值是_____.答案解析4幾何畫板展示命題點(diǎn)2數(shù)形結(jié)合利用幾何性質(zhì)求最值例3

(2015·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P為雙曲線x2－y2＝1右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，則實(shí)數(shù)c的最大值為______.答案解析雙曲線x2－y2＝1的漸近線為x±y＝0，直線x－y＋1＝0與漸近線x－y＝0平行，由點(diǎn)P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，命題點(diǎn)3轉(zhuǎn)化為函數(shù)利用基本不等式或二次函數(shù)求最值(1)求橢圓C的方程.解答設(shè)橢圓的半焦距為c.(2)過動(dòng)點(diǎn)M(0，m)(m＞0)的直線交x軸于點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn).過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長QM交C于點(diǎn)B.證明設(shè)P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0).由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m).②求直線AB的斜率的最小值.解答設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).由①知直線PA的方程為y＝kx＋m，則直線QB的方程為y＝－3kx＋m.整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，處理圓錐曲線最值問題的求解方法圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2017·揚(yáng)州預(yù)測(cè))已知圓(x－a)2＋(y＋1－r)2＝r2(r>0)過點(diǎn)F(0,1)，圓心M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；依題意，由圓過定點(diǎn)F可知軌跡C的方程為x2＝4y.解答幾何畫板展示(2)設(shè)P為直線l：x－y－2＝0上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作曲線C的兩條切線PA，PB，當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；解答幾何畫板展示同理可得切線PB的方程為x2x－2y－2y2＝0.因?yàn)榍芯€PA，PB均過點(diǎn)P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x－2y0－2y＝0的兩組解.所以直線AB的方程為x0x－2y－2y0＝0.(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求AF·BF的最小值.由拋物線定義可知AF＝y(tǒng)1＋1，BF＝y(tǒng)2＋1，所以AF·BF＝(y1＋1)(y2＋1)＝y(tǒng)1y2＋(y1＋y2)＋1，又點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，所以x0＝y(tǒng)0＋2，解答課時(shí)作業(yè)1.(2016·昆明兩區(qū)七校調(diào)研)過拋物線y2＝x的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且直線l的傾斜角θ≥，點(diǎn)A在x軸上方，則FA的取值范圍是___________.答案解析123456789123456789答案解析123456789求MP的最小值可以轉(zhuǎn)化為求OP的最小值，當(dāng)OP取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的位置為雙曲線的頂點(diǎn)(±3,0)，而雙曲線的漸近線為4x±3y＝0，123456789答案解析(1,3]123456789由P是雙曲線左支上任意一點(diǎn)及雙曲線的定義，在△PF1F2中，PF1＋PF2≥F1F2，又e>1，所以1<e≤3.123456789答案解析61234567891234567891234567895.(2017·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知橢圓C1：

與雙曲線C2：

有相同的焦點(diǎn)，則橢圓C1的離心率e1的取值范圍為________.答案解析123456789∴由條件知m＋2＋n＝m－n，則n＝－1，1234567891234567896.已知F為拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，

(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△ABO與△AFO面積之和的最小值是____.答案解析3123456789則直線AB與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).1234567897.已知橢圓C1：

(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(1,0)，過C1的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為1.(1)求橢圓C1的方程；解答123456789(2)設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2在點(diǎn)P處的切線與C1交于M，N兩點(diǎn).當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求h的最小值.解答123456789如圖，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2＋h)，直線MN的方程為

y＝2tx－t2＋h.將上式代入橢圓C1的方程中，得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，即4(1＋t2)x2－4t(t2－h(huán))x＋(t2－h(huán))2－4＝0. ①因?yàn)橹本€MN與橢圓C1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以①式中的Δ1＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h(huán)2＋4]>0. ②設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x3，123456789由題意，得x3＝x4，即t2＋(1＋h)t＋1＝0. ③由③式中的Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得h≥1或h≤－3.當(dāng)h≤－3時(shí)，h＋2<0，4－h(huán)2<0，則不等式②不成立，所以h≥1.當(dāng)h＝1時(shí)，代入方程③得t＝－1，123456789將h＝1，t＝－1代入不等式②，檢驗(yàn)成立.所以，h的最小值為1.1234567898.(2016·蘇北四市聯(lián)考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：

(a>b>0)的離心率e＝

，左頂點(diǎn)為A(－4,0)，過點(diǎn)A作斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；解答123456789因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為A(－4,0)，又因?yàn)閎2＝a2－c2＝12，123456789(2)已知P為AD的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q，對(duì)于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解答123456789直線l的方程為y＝k(x＋4)，化簡(jiǎn)，得(x＋4)[(4k2＋3)x＋16k2－12]＝0，123456789因?yàn)镻為AD的中點(diǎn)，直線l的方程為y＝k(x＋4)，令x＝0，得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,4k).假設(shè)存在定點(diǎn)Q(m，n)(m≠0)，使得OP⊥EQ，則kOPkEQ＝－1，123456789因此定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－3,0).123456789解答123456789因?yàn)镺M∥l，所以O(shè)M的方程可設(shè)為y＝kx，由OM∥l，123456789123456789(1)求C1，C2的方程；解答123456789123456789解答(2)過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線OM與C2交于P，Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形APBQ面積的最小值.123456789因?yàn)锳B不垂直于y軸，且過點(diǎn)F1(－1,0)，故可設(shè)直線AB的方程為x＝my－1.易知此方程的判別式大于0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，123456789即mx＋2y＝0.123456789設(shè)點(diǎn)A到直線PQ的距離為d，則點(diǎn)B到