2019屆北京專用高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章復(fù)數(shù)算法推理與證明第四節(jié)直接證明與間接證明講義文

第四節(jié)直接證明與間接證明總綱目錄教材研讀1.直接證明考點突破2.間接證明考點二分析法的應(yīng)用考點一綜合法的應(yīng)用考點三反證法的應(yīng)用1.直接證明內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論①成立

從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的②充分

條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止實質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因框圖表示P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Qn?QQ?P1→P1?P2→P2?P3→…→得到一個明顯

成立的條件文字語言因為……所以……或由……得……要證……只需證……即證……教材研讀2.間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間

接證明方法.(1)反證法的定義:假設(shè)原命題③不成立

(即在原命題的條件下,結(jié)論

不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出④矛盾

,因此說明假設(shè)錯誤,從

而證明⑤原命題成立

的證明方法.(2)用反證法證明的一般步驟:(i)反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立;(ii)歸

謬——根據(jù)假設(shè)進行推理,直到推出矛盾為止;(iii)結(jié)論——斷言假設(shè)不

成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立.

1.命題“對任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的證明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ”過程應(yīng)用了

()A.分析法

B.綜合法C.綜合法、分析法綜合使用

D.間接證明法答案

B因為證明過程是“從左往右”,即由條件?結(jié)論,故選B.B2.用分析法證明時出現(xiàn):欲使①A>B,只需②C<D,這里①是②的

()A.充分條件

B.必要條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件答案

B由題意可知,應(yīng)用②?①,故①是②的必要條件.B3.用反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”,假設(shè)

正確的是

()A.假設(shè)三個內(nèi)角都不大于60度B.假設(shè)三個內(nèi)角都大于60度C.假設(shè)三個內(nèi)角至多有一個大于60度D.假設(shè)三個內(nèi)角至多有兩個大于60度答案

B根據(jù)反證法的定義,假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定,故假設(shè)三個

內(nèi)角都大于60度.故選B.B4.下列條件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使

+

≥2成立的條件的個數(shù)是

.答案3解析要使

+

≥2成立,需

>0,即a與b同號,故①③④均能使

+

≥2成立.35.已知點An(n,an)為函數(shù)y=

圖象上的點,Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點,其中n∈N*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為

.答案

cn>cn+1

解析由題意知,an=

,bn=n,∴cn=

-n=

.顯然,cn隨著n的增大而減小,∴cn>cn+1.

cn>cn+1

典例1已知函數(shù)f(x)=(λx+1)lnx-x+1.(1)若λ=0,求f(x)的最大值;(2)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x+y+1=0垂直,證明:

>0.考點一綜合法的應(yīng)用考點突破解析(1)f(x)的定義域為(0,+∞),當(dāng)λ=0時,f(x)=lnx-x+1.則f'(x)=

-1,令f'(x)=0,解得x=1.當(dāng)0<x<1時,f'(x)>0,∴f(x)在(0,1)上是增函數(shù);當(dāng)x>1時,f'(x)<0,∴f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù).故f(x)在x=1處取得最大值,為f(1)=0.(2)證明:由題意可得,f'(x)=λlnx+

-1.由題設(shè)條件,得f'(1)=1,即λ=1,∴f(x)=(x+1)lnx-x+1.由(1)知,lnx-x+1<0(x>0,且x≠1).當(dāng)0<x<1時,f(x)=(x+1)lnx-x+1=xlnx+(lnx-x+1)<0,∴

>0.當(dāng)x>1時,f(x)=lnx+(xlnx-x+1)=lnx-x

>0,∴

>0.綜上可知,

>0.方法技巧用綜合法證題是從已知條件出發(fā),逐步推向結(jié)論,綜合法的適用范圍:(1)

定義明確的問題,如判定函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性;(2)已知條件明確,并且

容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型,在使用綜合法證明時,

易出現(xiàn)的錯誤是因果關(guān)系不明確,邏輯表達混亂.1-1設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函數(shù)f(x+1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,求

證:f

為偶函數(shù).證明由函數(shù)f(x+1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,可知f(x+1)=f(-x).將x換成

x-

代入上式可得f

=f

,即f

=f

,由偶函數(shù)的定義可知f

為偶函數(shù).典例2已知函數(shù)f(x)=3x-2x,求證:對于任意的x1,x2∈R,均有

≥f

.證明要證明

≥f

,即證明

≥

-2·

,因此只要證明

-(x1+x2)≥

-(x1+x2),即證明

≥

,因此只要證明

≥

,由于x1,x2∈R,所以

>0,

>0,由基本不等式知

≥

成立,故原結(jié)論成立.考點二分析法的應(yīng)用方法技巧(1)分析法采用逆向思維,當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直

接,或證明過程中所需要用的知識不太明確、具體時,往往采用分析法,

特別是含有根號、絕對值的等式或不等式,從正面不易推導(dǎo)時,常考慮

用分析法.(2)應(yīng)用分析法的關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可

逆的,它的常用書面表達形式為“要證……只需要證……”或“……?

……”.注意用分析法證明時,一定要嚴(yán)格按照格式書寫.2-1已知m>0,a,b∈R,求證:

≤

.證明∵m>0,∴1+m>0,∴要證原不等式成立,只需證明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),即證m(a2-2ab+b2)≥0,即證(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0顯然成立,故原不等式得證.典例3設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.(1)推導(dǎo){an}的前n項和公式;(2)設(shè)q≠1,求證:數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.考點三反證法的應(yīng)用解析(1)設(shè){an}的前n項和為Sn,當(dāng)q=1時,Sn=a1+a1+…+a1=na1;當(dāng)q≠1時,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,

①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,

②①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn,∴Sn=

,∴Sn=

(2)證明:假設(shè){an+1}是等比數(shù)列,則對任意的k∈N*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),

+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,

q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.∵q≠0,∴q2-2q+1=0,∴q=1,這與已知矛盾.∴假設(shè)不成立,故{an+1}不是等比數(shù)列.易錯警示用反證法證明不等式要把握三點:(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反

面;(2)必須從結(jié)論的反面出發(fā)進行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且

必須依據(jù)這一條件進行推證;(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣,有的與已

知條件矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與基本事實矛盾等,且推導(dǎo)出的矛盾

必須是明顯的.3-1已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an+Sn=2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求證:數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.解析(1)n=1時,a1+S1=2a1=2,則a1=1.又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,兩式相減得an+1=

an,所以{an}是首項為1,公比為

的等比數(shù)列,所以an=

.(2)證明:假設(shè)數(shù)列{an