福建省南平市建溪學校2021-2022學年高一數(shù)學理期末試卷含解析

福建省南平市建溪學校2021-2022學年高一數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若點在函數(shù)的圖象上,則的值為(

)

A．0

B.C．1

D．參考答案：D2.設(shè)表示的小數(shù)部分，則的值是（

）A．

B．

C．0

D．參考答案：A3.甲、乙兩種商品在過去一段時間內(nèi)的價格走勢如圖所示．假設(shè)某人持有資金120萬元，他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交（其他費用忽略不計）．如果他在t4時刻賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤是（）A．40萬元 B．60萬元 C．120萬元 D．140萬元參考答案：C【考點】函數(shù)模型的選擇與應用；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】應用題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】根據(jù)圖象，在低價時買入，在高價時賣出能獲得最大的利潤．【解答】解：甲在6元時，全部買入，可以買120÷6=20（萬）份，在t2時刻，全部賣出，此時獲利20×2=40萬，乙在4元時，買入，可以買（120+40）÷4=40（萬）份，在t4時刻，全部賣出，此時獲利40×2=80萬，共獲利40+80=120萬，故選：C【點評】本題主要考查函數(shù)的應用問題，讀懂題意，建立數(shù)學模型是解決本題的關(guān)鍵．4.已知等比數(shù)列中，，且，則的值為（

）A.4 B.－4 C.±4 D.±參考答案：A5.（5分）已知函數(shù)f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是（） A． （0，） B． （，1） C． （1，2） D． （2，+∞）參考答案：B考點： 函數(shù)的零點．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析： 畫出函數(shù)f（x）、g（x）的圖象，由題意可得函數(shù)f（x）的圖象（藍線）和函數(shù)g（x）的圖象（紅線）有兩個交點，數(shù)形結(jié)合求得k的范圍．解答： 由題意可得函數(shù)f（x）的圖象（藍線）和函數(shù)g（x）的圖象（紅線）有兩個交點，如圖所示：KOA=，數(shù)形結(jié)合可得＜k＜1，故選：B．點評： 本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．6.手表時針走過2小時，時針轉(zhuǎn)過的角度為（

）A、60

B、—60

C、30

D、—30參考答案：B略7.已知函數(shù)f（x）=若函數(shù)g（x）=f[f（x）]﹣2的零點個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：B【考點】函數(shù)零點的判定定理． 【專題】數(shù)形結(jié)合；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應用． 【分析】函數(shù)f（x）=，通過對x分類討論可得f（x）=．進而解出即可． 【解答】解：∵函數(shù)f（x）=， ∴f（x）=． ∴x∈（﹣∞，log23）時，f（f（x））=∈[0，3]，令f（f（x））=2，解得x=log2（1+log23）． 同理可得：x∈[log23，2）時，=2，解得x=． x∈時，=2，解得x=． 時，=2，解得x=1+． 綜上可得：函數(shù)g（x）=f[f（x）]﹣2的x零點個數(shù)為4． 故選：B． 【點評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題． 8.已知函數(shù)f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若對任意x1∈R，都存在x2∈[﹣2，+∞），使得f（x1）＞g（x2），則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．（0，+∞） C． D．參考答案：A【考點】全稱命題．【分析】確定函數(shù)f（x）、g（x）的值域，根據(jù)對任意的x1∈R都存在x2∈[﹣2，+∞），使得f（x1）＞g（x2），可f（x）值域是g（x）值域的子集，從而得到實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x2﹣2x的圖象是開口向上的拋物線，且關(guān)于直線x=1對稱∴f（x）的最小值為f（1）=﹣1，無最大值，可得f（x1）值域為[﹣1，+∞），又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣2，+∞），∴g（x）=ax+2（a＞0）為單調(diào)增函數(shù)，g（x2）值域為[g（﹣2），+∞），即g（x2）∈[2﹣2a，+∞），∵對任意的x1∈R都存在x2∈[﹣2，+∞），使得f（x1）＞g（x2），∴只需f（x）值域是g（x）值域的子集即可，∴2﹣2a＜﹣1，解得：a＞，故選：A．9.如果拋物線y=的頂點在x軸上，那么c的值為（

）A．0

B．6

C．3

D．9參考答案：D略10.已知全集，，則等于(

)A．{2，4，6} B．{1，3，5} C．{2，4，5} D．{2，5}參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量=（sinx+cosx，1），=（1，sinxcosx），當x∈[0，]時，?的取值范圍為．參考答案：[1，]【考點】平面向量數(shù)量積的運算；三角函數(shù)中的恒等變換應用．【專題】函數(shù)思想；換元法；三角函數(shù)的求值；平面向量及應用．【分析】?=sinx+cosx+sinxcosx，令sinx+cosx=sin（x+）=t，則sinxcosx=，根據(jù)x的范圍求出t的范圍，于是?=t+=（t+1）2﹣1，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出最值．【解答】解：?=sinx+cosx+sinxcosx，令sinx+cosx=sin（x+）=t，則sinxcosx=，∵x∈[0，]，∴x∈[，]，∴t∈[1，]，∴?=sinx+cosx+sinxcosx=t+=（t+1）2﹣1，∴當t=1時，?取得最小值1，當t=時，?取得最大值．故答案為[1，]．【點評】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，換元法，二次函數(shù)的最值，是中檔題．12.用二分法求得函數(shù)f(x)=x3+2x2+3x+4在(-2，-1)內(nèi)的零點是_______。（精確到0.1）參考答案：。略13.已知關(guān)于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為_______．參考答案：略14.函數(shù)的定義域為,若且時總有,則稱為單函數(shù).例如,函數(shù)是單函數(shù).下列命題:①函數(shù)是單函數(shù);②函數(shù)是單函數(shù);③若為單函數(shù),且,則;④函數(shù)在定義域內(nèi)某個區(qū)間上具有單調(diào)性,則一定是單函數(shù).其中的真命題是_

_(寫出所有真命題的編號).參考答案：③15.已知數(shù)列{an}的前n項和為，且，則數(shù)列{an}的通項公式是an=______.參考答案：試題分析：∵，∴，∴兩式相減得：，即，又∵，即，，即，符合上式，∴數(shù)列是以3為首項、-1為公比的等比數(shù)列，∴．16.已知平面上共線的三點A，B，C和定點O，若等差數(shù)列{an}滿足：=a15+a24，則數(shù)列{an}的前38項之和為． 參考答案：19【考點】數(shù)列的求和． 【分析】由向量共線定理可得a15+a24=1．于是a1+a38=1．代入求和公式得出答案． 【解答】解：∵A，B，C三點共線，∴a15+a24=1． ∴a1+a38=a15+a24=1． ∴S38==19． 故答案為：19． 【點評】本題考查了向量共線定理，等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，屬于中檔題． 17.函數(shù)f（x）=logcos1（sinx）的單調(diào)遞增區(qū)間是

．參考答案：[）（k∈Z）【考點】復合函數(shù)的單調(diào)性．【分析】由0＜cos1＜1，得外函數(shù)y=logcos1t在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，再求出內(nèi)函數(shù)t=sinx的減區(qū)間，取使t大于0的部分得答案．【解答】解：令t=sinx，∵0＜cos1＜1，∴外函數(shù)y=logcos1t在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，又sinx＞0，∴當x∈[）（k∈Z）時，內(nèi)函數(shù)t=sinx大于0且單調(diào)遞減，∴函數(shù)f（x）=logcos1（sinx）的單調(diào)遞增區(qū)間是[）（k∈Z），故答案為：[）（k∈Z）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知定義域為R的函數(shù)．（1）用定義證明：f（x）為R上的奇函數(shù)；（2）用定義證明：f（x）在R上為減函數(shù)；（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．參考答案：【考點】函數(shù)恒成立問題；奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】（1）因為f（﹣x）===﹣=﹣f（x），利用奇函數(shù)的定義即可證明f（x）為R上的奇函數(shù)；（2）令x1＜x2，則＜，將f（x1）與f（x2）作差，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可證明：f（x）在R上為減函數(shù)；（3）由（1）（2）可知奇函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)，故f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立?t2﹣2t＞k﹣2t2恒成立，即k＜（3t2﹣2t）min，利用二次函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求得（3t2﹣2t）min，從而可求k的取值范圍．【解答】（1）證明：∵，∴f（﹣x）===﹣=﹣f（x），∴f（x）為R上的奇函數(shù)；…5分（2）解：∵=﹣1+，令x1＜x2，則＜，∴f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上為減函數(shù)；…11分（3）解：∵f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，f（x）為R上的奇函數(shù)，∴f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），又f（x）在R上為減函數(shù)，∴t2﹣2t＞k﹣2t2恒成立，∴k＜（3t2﹣2t）min，由二次函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)知，當t=時，y=（3t2﹣2t）min，取得最小值，即（3t2﹣2t）min，=3×（）2﹣2×=﹣．∴…16分．19.為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實驗得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫克/立方米）隨著時間(單位：天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為。若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應時刻所釋放的濃度之和。由實驗知,當空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時，它才能起到凈化空氣的作用．（1）若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達幾天?（2）若第一次噴灑2個單位的凈化劑，6天后再噴灑a（）個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）。參考答案：（1），當時，有，解得；當時，有，解得；綜上可知，所以若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達8天。（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)過天（）濃度因為，，所以，當時，有最小值。令，解得，所以得最小值為。20.（滿分13分）設(shè)奇函數(shù)f(x)是定義在[-2，2]上的減函數(shù)，若f(1-m)<f(m)，求實數(shù)m的取值范圍。參考答案：21.已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，且c2=a2+b2﹣ab．（1）求角C的值；（2）若b=2，△ABC的面積，求a的值．參考答案：【考點】HR：余弦定理；%H：三角形的面積公式．【分析】（1）利用余弦定理，可求角C的值；（2）利用三角形的面積公式，可求a的值．【解答】解：（1）∵c2=a2+b2﹣ab，∴cosC==，∵0°＜C＜180°，∴C=60°；（2）∵b