2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量8.5空間向量及其運(yùn)算講義理蘇教版

§8.5空間向量及其運(yùn)算基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.空間向量的有關(guān)概念知識梳理名稱概念表示零向量模為

的向量0單位向量長度(模)為

的向量

相等向量方向

且模

的向量a＝b01相同相等相反向量方向

且模

的向量a的相反向量為－a共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相

的向量a∥b共面向量平行于同一個(gè)

的向量

相反相等平行或重合平面2.空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理對空間任意兩個(gè)向量a，b(a≠0)，b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使b＝λa.(2)共面向量定理如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)(x，y)，使

.(3)空間向量基本定理如果三個(gè)向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝

.p＝xa＋ybxe1＋ye2＋ze33.空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(1)數(shù)量積及相關(guān)概念①兩向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作

＝a，

＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作

，其范圍是

，若〈a，b〉＝

，則稱a與b

，記作a⊥b.②兩向量的數(shù)量積已知空間兩個(gè)非零向量a，b，則

叫做向量a，b的數(shù)量積，記作

，即a·b＝

.〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π互相垂直|a||b|cos〈a，b〉a·b|a||b|cos〈a，b〉(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝

；②交換律：a·b＝

；③分配律：a·(b＋c)＝

.λ(a·b)b·aa·b＋a·c4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b________________共線b＝λa(a≠0，λ∈R)________________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)___________________a1b1＋a2b2＋a3b3b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|___________夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝知識拓展1.向量三點(diǎn)共線定理：在平面中A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是：(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn).2.向量四點(diǎn)共面定理：在空間中P、A、B、C四點(diǎn)共面的充要條件是：(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點(diǎn).幾何畫板展示幾何畫板展示思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)空間中任意兩非零向量a，b共面.(

)(2)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中(a·b)·c＝a·(b·c).(

)(3)對于非零向量b，由a·b＝b·c，則a＝c.(

)(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同.(

)(5)若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有

＝0.(

)√×××√考點(diǎn)自測1.已知正四面體ABCD的棱長為a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則

的值為_____.答案解析則|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量兩兩夾角為60°.＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝

a2.2.(2016·蘇州模擬)向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列結(jié)論正確的是_____.①a∥b，a∥c;

②a∥b，a⊥c；③a∥c，a⊥b.答案解析③因?yàn)閏＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，所以a∥c.又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a⊥b.3.(教材改編)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，則x＋y的值為_______.答案解析1或－3依題意得∴x＋y＝1或x＋y＝－3.4.如圖，在四面體O－ABC中，

＝a，

＝b，

＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則

＝____________.(用a，b，c表示)答案解析5.(教材改編)正四面體ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD中點(diǎn)，則EF的長為_____.答案解析＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，題型分類深度剖析題型一空間向量的線性運(yùn)算例1

(1)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn).答案解析(2)三棱錐O－ABC中，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是△ABC的重心，用基向量

表示.解答用已知向量表示某一向量的方法用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2016·鹽城模擬)如圖所示，在空間幾何體ABCD－A1B1C1D1中，各面為平行四邊形，設(shè)

＝a，

＝b，

＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：解答因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn)，解答因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn)，題型二共線定理、共面定理的應(yīng)用例2

(2016·南京模擬)已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；證明連結(jié)BG，由共面向量定理的推論知E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.證明(2)求證：BD∥平面EFGH；所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對空間任一點(diǎn)O，有證明找一點(diǎn)O，并連結(jié)OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知同理所以

，即EH綊FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形，所以EG，F(xiàn)H交于一點(diǎn)M且被M平分.(1)證明空間三點(diǎn)P，A，B共線的方法①

λ(λ∈R)；②對空間任一點(diǎn)O，(t∈R)；③對空間任一點(diǎn)O，(x＋y＝1).(2)證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的方法①②對空間任一點(diǎn)O，③對空間任一點(diǎn)O，(x＋y＋z＝1)；④思維升華跟蹤訓(xùn)練2已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足(1)判斷

三個(gè)向量是否共面；解答由題意知(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).解答由(1)知

共面且基線過同一點(diǎn)M，∴M，A，B，C四點(diǎn)共面.從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).題型三空間向量數(shù)量積的應(yīng)用例3

(2016·鹽城模擬)如圖，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求線段AC1的長；解答則|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.∴線段AC1的長為.(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值；解答設(shè)異面直線AC1與A1D所成的角為θ，∵＝a＋b＋c，

＝b－c，∴

＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，故異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為.(3)求證：AA1⊥BD.證明∴

＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，∴，∴AA1⊥BD.(1)利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系，也可以利用垂直關(guān)系，通過向量共線確定點(diǎn)在線段上的位置；(2)利用夾角公式，可以求異面直線所成的角，也可以求二面角；(3)可以通過|a|＝

，將向量的長度問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的問題求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練3如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求

的長；解答則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.

＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×()＝6，∴

，即AC1的長為.(2)求

與

夾角的余弦值.解答

＝b＋c－a，

＝a＋b，

＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，即

與

夾角的余弦值為.典例

(14分)如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點(diǎn).(1)求

的模；(2)求cos〈

〉的值；(3)求證：A1B⊥C1M.坐標(biāo)法在立體幾何中的應(yīng)用思想與方法系列18規(guī)范解答思想方法指導(dǎo)利用向量解決立體幾何問題時(shí)，首先要將幾何問題轉(zhuǎn)化成向量問題，通過建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)進(jìn)行求解.(1)解

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，(2)解

依題意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2).(3)證明

依題意得C1(0,0,2)，M(，2)，

＝(－1,1，－2)，所以

，即A1B⊥C1M. [14分]課時(shí)作業(yè)12345678910111213141.在下列命題中：①若向量a，b共線，則向量a，b所在的直線平行；②若向量a，b所在的直線為異面直線，則向量a，b一定不共面；③若三個(gè)向量a，b，c兩兩共面，則向量a，b，c共面；④已知空間的三個(gè)向量a，b，c，則對于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正確命題的個(gè)數(shù)是____.答案解析0a與b共線，a，b所在的直線也可能重合，故①不正確；根據(jù)自由向量的意義知，空間任意兩向量a，b都共面，故②不正確；三個(gè)向量a，b，c中任意兩個(gè)一定共面，但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面，故③不正確；只有當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，空間任意一向量p才能表示為p＝xa＋yb＋zc，故④不正確，綜上可知四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0.12345678910111213142.(2016·蘇州模擬)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，則λ＝_____.答案解析－9由題意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，解得λ＝－9.12345678910111213143.(2017·南京檢測)如圖所示，在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若

＝a，

＝b，

＝c，則向量

＝___________.(用a，b，c表示)答案解析12345678910111213144.如圖，在大小為45°的二面角A－EF－D中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是________.答案解析＝1＋1＋1－

＝3－

，12345678910111213145.(2016·徐州模擬)如圖所示，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別為OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且

，若

，則x，y，z的值分別為_________.答案解析1234567891011121314∴x＝

，y＝z＝.12345678910111213146.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，點(diǎn)M在AC1上且

，N為B1B的中點(diǎn)，則

＝_____.答案解析以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz，則A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N(a，a，).設(shè)M(x，y，z)，∵點(diǎn)M在AC1上且

，∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，12345678910111213147.A，B，C，D是空間不共面四點(diǎn)，且

，則△BCD的形狀是_____三角形.(填銳角、直角、鈍角中的一個(gè))答案解析銳角所以∠CBD為銳角.同理∠BCD，∠BDC均為銳角.12345678910111213148.(2016·南京模擬)設(shè)O－ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且OG＝3GG1，若

，則x，y，z的值分別為________.答案解析如圖所示，取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE.∴x＝y(tǒng)＝z＝.12345678910111213149.(2016·連云港模擬)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，則c＝__________.答案解析(3，－2,2)因?yàn)閍∥b，所以

，解得x＝2，y＝－4，此時(shí)a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，又因?yàn)閎⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2).123456789101112131410.已知ABCD－A1B1C1D1為正方體，①②③向量

與向量

的夾角是60°；④正方體ABCD－A1B1C1D1的體積為其中正確的序號是_____.答案解析①②1234567891011121314①中，

，故①正確；②中，

，因?yàn)锳B1⊥A1C，故②正確；③中，兩異面直線A1B與AD1所成的角為60°，但

與

的夾角為120°，故③不正確；④中，

＝0，故④也不正確.1234567891011121314*11.如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，P，Q分別為棱AB，CD，BC的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長均相等，則①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上正確說法的個(gè)數(shù)為_____.答案解析31234567891011121314∴，∴A1M∥D1P，由線面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.