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文檔簡介
【全國初中數(shù)學競賽】
專題03方程與恒等變換競賽綜合-50題真題專項訓練
一、單選題
1.(2023?全國?九年級競賽)把三個連續(xù)的正整數(shù)b,c按任意次序(次序不同視為
不同組)填入口/+口人+口=。的三個方框中,作為一元二次方程的二次項系數(shù)、一次
項系數(shù)和常數(shù)項.使所得方程至少有一個整數(shù)根的mb,c().
A.不存在B.有一組C.有兩組D.多于兩組
2.(2023?全國?九年級競賽)在方程組M中,x,.z是互不相等的整數(shù),
r+y+z-=-36-
那么此方程組的解的組數(shù)為()
A.6B.3C.多于6D.少于3
二、填空題
3.(2023?全國?九年級競賽)已知x=[三,卜={AT],則,+(1+幣)與'=
4.(2023?全國?九年級競賽)若三20』KqK10,且方程4/一〃工+4=0的兩根均為
奇數(shù),則此方程的根為.
5.(2023?全國?九年級競賽)以下算式中,相同的漢字代表相同的數(shù)字.已知“神舟”=25,
“號”=4,那么六位數(shù)“飛天神舟六號”=.
六號飛天神舟?二華、飛天神舟六號
萬
6.(2023?全國?九年級競賽)已知一個矩形的長、寬分別為正整數(shù)小b,其面積的數(shù)值
等于它的周長的數(shù)值的2倍,則a+b=或.
7.(2023?全國?九年級競賽)一個布袋中裝有紅、黃、藍三種顏色的大小相同的木球,
紅球上標有數(shù)字1,黃球上標有數(shù)字2,藍球上標有數(shù)字3,小明從布袋中摸出10個球,
它們上面所標數(shù)字的和等于21,則小明摸出的球中紅球的個數(shù)最多不超過___________.
8.(2023?全國?九年級競賽)籃、排、足球放在一堆共25個,其中籃球個數(shù)是足球個數(shù)
的7倍,那么其中排球的個數(shù)是.
9.(2023?全國?九年級競賽)某一次考試共需做20個小題,做對一個得8分,做錯一個
扣5分,不做的得0分.某學生共得13分,那么這個學生沒做的題有個.
10.(2023?全國?九年級競賽)兩個正整數(shù)的和比積小1997,并且其中一個是完全平方
數(shù),則較大數(shù)與較小數(shù)的差是___________.
11.(2023?全國?九年級競賽)某自然數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字和的11倍,則這個自然
數(shù)是.
12.(2023?全國?九年級競賽)邊長為整數(shù),周長為12的三角形的面積的最大值是
13.(2023?全國?九年級競賽)一個兩位數(shù)除以它的反序數(shù)所得的商數(shù)恰等于余數(shù),則這
個兩位數(shù)是.
14.(2023?全國?九年級競賽)某個兩位自然數(shù),它能被其各位數(shù)字之和整除,且除得的
商恰好是7的倍數(shù),寫出符合條件的所有兩位數(shù)是.
15.(2023?全國?九年級競賽)小孩將玻璃彈子裝進兩種盒子,每個大盒子裝12顆,每
個小盒子裝5顆,若彈子共有99顆,所用大、小盒子多于10個,則大盒子數(shù)為,
盒子數(shù)為.
16.(2023?全國?九年級競賽)設平方數(shù)/是1]個相繼整數(shù)的平方和.則),的最小值是
17.(2023?全國?九年級競賽)一個三位數(shù),它等于它的各位數(shù)碼之和的12倍.試寫出
所有這樣的三位數(shù)_________.
18.(2023?全國?九年級競賽)一個四位數(shù)與它的四個數(shù)字之和等于1991,這個四位數(shù)
是.
19.(2023?全國?九年級競賽)〃是一個非立方的四位數(shù),且它僅有4個正約數(shù),除了它
本身之外其他三個約數(shù)的和等于1000,那么這個四位數(shù)〃是.
20.(2023?全國?九年級競賽)方程版+2),=11在正整數(shù)范圍內(nèi)的解是.
X14
21.(2023?全國?九年級競賽)方程z+—=3有組正整數(shù)解.
22.(2023?全國?九年級競賽)已知三角形的三個角的度數(shù)都是小于120的質(zhì)數(shù),則這個
三角形三個角的度數(shù)分別是__________.
23.(2023?全國?九年級競賽)若質(zhì)數(shù)m,n滿足5〃?+7〃=129,則的值為.
三、解答題
24.(2023?全國?九年級競賽)(1)設x是實數(shù),證明:卜]+x+;=[2A],
/_、「「2010ll「20101K?
(2)求加=—+-+\—+2+'+尹+]之值
25.(2023?全國?九年級競賽)3設mb,c是正數(shù),且a加=1,證明:
(fl-l+-)(Z?-l+-)(c
bca
o+b+c、3
26.(2023?全國?九年級競賽)若證明:-3—"111.等號成
----1------1—
abc
立當且僅當〃=b=c.
27.(2023?全國?九年級競賽)若"0/>0,c>0,貝lj2(竽—向)43("*-師),
等號成立當曲=/.
28.(2023?全國?九年級競賽)己知%,工2,七為實數(shù)且玉+X2+X3=6,x;+x;+x;418,證
明:04%44?=],2,3).
29.(2023?全國?九年級競賽)設。>0功>0,c>0且/+〃+。2=1,證明:
abc、班
---?+---T+-------7>——?
\-a2\-b~1-c22
30.(2023?全國?九年級競賽)是否存在質(zhì)數(shù)p,q,使得關于x的一元二次方程
px2-/+〃=0有有理數(shù)根?
31.(2023?全國?九年級競賽)已知〃,。為整數(shù),方程5f+Zu+c=0的兩根都大于-出
小于0.求〃和c的值.
32.(2023?全國?九年級競賽)試求兩個不同的自然數(shù),它們的算術平均數(shù)4和幾何平均
數(shù)G都是兩位數(shù),其中A,G中一個可由另一個交換個位和十位數(shù)字得到.
33.(2023?全國?九年級競賽)已知方程f—6X一4〃2一32〃=0的根都是整數(shù),求整數(shù)〃
的值.
34.(2023?全國?九年級競賽)已知av0/W0,c>0,且廬不=b-2ac,求〃-加c
的最小值.
35.(2023?全國?九年級競賽)已知〃為質(zhì)數(shù),使二次方程F-2px+p2-5p-l=0的兩根
都是整數(shù),求出〃的所有可能值.
36.(2023?全國?九年級競賽)已知〃為正整數(shù),且〃2-71能被7〃+55整除,試求〃的
值.
37.(2023?全國?九年級競賽)試求出這樣的四位數(shù),它的前四位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別
組成的二位數(shù)之和的平方,恰好等于這個四位數(shù).
38.(2023?全國?九年級競賽)已知機,〃為整數(shù),〃為整數(shù),且滿足2加+〃2+3m+〃一1=0,
求〃?,〃的值.
39.(2023?全國?九年級競賽)〃為整數(shù),若存在整數(shù)〃和。使
(x+?)(A--15)-25=(x-b)(x+c),求整數(shù)4的值.
40.(2023?全國?九年級競賽)力都是大于I的整數(shù),&〃為何值,方程
abx2-(4a2-¥a+2b2+b)x+(4a+\)(2b+1)=0有兩個整數(shù)根.
41.(2023,全國?九年級競賽)小,〃為正整數(shù),關于x的方程fLt+(〃?+〃)=()有正
整數(shù)解.求機,〃的值.
42.(2023?全國?九年級競賽)所有的整數(shù)〃,使得關于x的一元二次方程
x2-W5a2-26a-8一(下一4a+9)=0的兩根皆為整數(shù).
43.(2023?全國?九年級競賽都是正整數(shù).試問:關于x的方程“2—以+'。+與=。
是否有兩個整數(shù)解?如果有,請把它們求出來;如果沒有,請給出證明.
44.(2023?全國?九年級競賽)有三個都不為。且互不相同的數(shù)碼,用它們組成各個可能
的三位數(shù)(不重復使用數(shù)碼),其和為2886,如果把這三個數(shù)碼從小到大排成一個三位
數(shù),又從大到小排列成一個二位數(shù),這兩個數(shù)的差是495,這二個數(shù)碼是什么?
45.(2023?全國?九年級競賽)設m4c都是奇數(shù),證明方程ad+以+°=()沒有有理
根.
46.(2023?全國?九年級競賽)一個四位數(shù),這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和是1999,
求這個四位數(shù),并說明理由.
47.(2023?全國?九年級競賽)有一個四位數(shù),它的個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少3,
并且它的數(shù)字倒排所成的新四位數(shù)與原四位數(shù)之和為3987.求這個四位數(shù),并寫出他
理過程.
48.(2023?全國?九年級競賽)兩位數(shù)瓦能整除十位數(shù)字為零的三位數(shù)嬴,求點.
49.(2023?全國?九年級競賽)如果一個自然數(shù)正好等于其各個數(shù)位上的數(shù)字之和的13
倍,試求出這樣的自然數(shù),并說明理由.
50.(2023?全國?九年級競賽)一支科學考察隊前往某條河流上的上游去考察一個生態(tài)區(qū),
他們出發(fā)后以每天17km的速度前進,沿河岸向上游行進若干天后到達目的地,然后在
生態(tài)區(qū)考察了若干天,完成任務后以每天25km的速度返回,在出發(fā)后的第60天,考察
隊行進了24km后回到出發(fā)點.試問:科學考察隊在生態(tài)區(qū)考察了多少天?
【初中數(shù)學競賽】
專題03方程與恒等變換競賽綜合-50題真題專項訓練
一、單選題
1.(2023?全國?九年級競賽)把三個連續(xù)的正整數(shù)b,c按任意次序(次序不同視為
不同組)填入口/+口人+口=。的三個方框中,作為一元二次方程的二次項系數(shù)、一次
項系數(shù)和常數(shù)項.使所得方程至少有一個整數(shù)根的mb,c().
A.不存在B.有一組C.有兩組D.多于兩組
【答案】C
【詳解】設三個連續(xù)的正整數(shù)分別為n-l,〃,〃+1(〃為大于1的整數(shù)).當一次項系
數(shù)是n-1或〃時,/均小于零,方程無實數(shù)根;當?次項系數(shù)是〃+11時,
△二(〃+1尸一4〃(〃-1)二-3(〃-1尸+4.
因為〃為大于1的整數(shù),所以,要使△之0,〃只能取2.
當〃=2時,方程/+3克+2=0,2/+3K+1=0均有整數(shù)根,故滿足要求的(a,b,c)
只有兩組:(1,3,2)、(2,3,1).
2.(2023?全國?九年級競賽)在方程組,’"中,-),,z是互不相等的整數(shù),
那么此方程組的解的組數(shù)為()
A.6B.3C.多于6D.少于3
【答案】A
【詳解】^JJIJx3+y+23-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-xz+yz)=0,把原方程組
轉(zhuǎn)化為解不定方程3xyz=-36.
因為丁+V,+-3xyz
11
一(x+y+z)(d+y+z-xy-yz-ZLV)
=0?
所以x'+V+z=Bxyz,從而得3型=-36,
即冷2=-12.
因此x,y,z中一定是兩正一負,且x+y+z=O.
又12=1x1x12=1x2x6=1x3x4=2x2x3,
則上述兩種組合中,只有12=1x3x4符合條件.
A=ltx=1,x=3,x=3,x=-4x=-4,
所以b=3,
或,),=-4,或<y=L或,y=-4,或,y=L或,y=3,
z=-4,2=3,z=-4,z=1,z=3.z=1.
共有6個解.故選A.
二、填空題
3.(2023?全國?九年級競賽)已知A=,貝心2+(]+0"
【答案】10
【詳解】解因」7==—幣廠
3-V7(3-77)(3+77)2
a
由2=在<>/7<囪=3知2.5<^^Fi<3,
2
I、IC工曰1r3+>/7.\/1-1
所以x=2,于是y=----=-2=-------2=------,
3-V722
因止匕,x24-(1+>/7)^=224-(1+V7)x2x^^=4+(7-1)=10.
故填10.
4.(2023?全國?九年級競賽)若14〃<20,1?q410,且方程4/—川+4=。的兩根均為
奇數(shù),則此方程的根為.
【答案】百=W=1
【詳解】填內(nèi)=X2=1.理由:設對天是方程的兩個根,則
%+工2=(/也=(.
因為不々均為奇數(shù),故占+W為偶數(shù),西子2為奇數(shù).
又14〃420,14夕410,
則,工之W5」工幺&3.
44442
故Z=1闖=4.
4
由△=//:一]6夕之0,解得〃28.
從而,與22.
4
所以,4=2或4,即〃=8或p=16.
4
當〃=8時,X,=x2=1,符合題意;
當p=16時,毛與巧均為無理數(shù),不合題意,舍去.
故原方程的根為玉=/=1.
5.(2023?全國?九年級競賽)以下算式中,相同的漢字代表相同的數(shù)字.已知“神舟”=25,
“號”=4,那么六位數(shù)“飛天神舟六號』.
六號飛天神舟=x飛天神舟六號
【答案】102564.
【詳解】設“飛天”=x,"六號”=y,則題設算式可化為
4x(10000.v+100A+25)=25x(10000x+2500+y)?
化簡得4x(400y+4.r+l)=l0000.V+2500+y
即1599y=9984x+2496,
即533y=3328%i832.
兩邊約去13得41),=256x+64,即4ly=64(4x+l),64與41互質(zhì),64整除y.故y=64.
“號”=4與題設符合.
代人得4—0.
于是“飛天神舟六號”=102564.
6.(2023?全國?九年級競賽)已知一個矩形的長、寬分別為正整數(shù)小b,其面積的數(shù)值
等于它的周長的數(shù)值的2倍,貝iJa+〃=或.
【答案】2518
【詳解】根據(jù)題意,得ab=2(2a+2b),
即ab-4a=4b,
因為m。均為正整數(shù),且所以〃-4一定是16的正約數(shù).
當4分別取I,2,4,8,16時,代入上式得:
8—4=1時,b=5,a=20;
4=2時,b=6.a=12;
。-4=4時,。=8,。=8(舍去);
。一4=8時,6=12,。=6(舍去);
。一4=16時,〃=20,。=5(舍去).
因止匕4+8=25或18.
故應填25,18.
7.(2023?全國?九年級競賽)一個布袋中裝有紅、黃、藍三種顏色的大小相同的木球,
紅球上標有數(shù)字1,黃球.上標有數(shù)字2,藍球上標有數(shù)字3,小明從布袋中摸出10個球,
它們上面所標數(shù)字的和等于21,則小明摸出的球中紅球的個數(shù)最多不超過___________.
【答案】4
【詳解】設小明摸出的10個球中有x個紅球,y個黃球,則藍球有(10--??。﹤€.
根據(jù)題意,得工+2),+3。0-%一),)=21,
即2x+y=9.
易知,x的最大值是4,即小明摸出的10個球中至多有4個紅球.
8.(2023?全國?九年級競賽)籃、排、足球放在一堆共25個,其中籃球個數(shù)是足球個數(shù)
的7倍,那么其中排球的個數(shù)是.
【答案】17或9或1
【詳解】設足球有工個,排球有y個,則7x+),+x=25,
即8x+y=25.
當x=l時,y=17;當無=2時,),=9;當x=3時,y=l.
所以排球的個數(shù)是17或9或1個.
9.(2023?全國?九年級競賽)某一次考試共需做20個小題,做對一個得8分,做錯一個
扣5分,不做的得0分.某學生共得13分,那么這個學生沒做的題有個.
【答案】7
x+y+z=20,
【詳解】設該生做對x個題,做錯y個題,沒做的題目有z個,則。[口
8x-5j=13.
所以8(x+y)=8x+8y=13+13y=13(l+y).
又8與13互質(zhì),則x+y被13整除.
ffo0<x+y<20,所以x+y=l3,從而z=20-(x+y)=7.
所以這個學生沒做的題有7個.
10.(2023?全國?九年級競賽)兩個正整數(shù)的和比積小1997,并且其中一個是完全平方
數(shù),則較大數(shù)與較小數(shù)的差是.
【答案】663
【詳解】設這兩個正整數(shù)為>勿.
根據(jù)題意,可得。人-m+b)=1997,
則(々—1)6—1)=1998,
即(“一1)3-1)=2x33x37.
因為a>b,即《-1>人1,且小匕中有一個是完全平方數(shù),故3—1)3—1)=666x3,
。二667,
所以
Z?=4.
則a-b=663.
11.(2023?全國?九年級競賽)某自然數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字和的11倍,則這個自然
數(shù)是__________.
【答案】198
【詳解】所求數(shù)不可能是一位數(shù),四位數(shù)及四位以上的數(shù).故只考慮兩位數(shù)及三位數(shù).
(1)設所求自然數(shù)是可,則10x+y=U(%+y),
即x+10y=0,
此方程無滿足條件的解.
(2)設所求自然數(shù)是后,則100x+10y+z=ll(x+j+z),
即89x-y-10z=0.
顯然x只可能是1,因此,只有一組解:x=l,y=9,z=8.
故所求的數(shù)是198.
12.(2023?全國?九年級競賽)邊長為整數(shù),周長為12的三角形的面積的最大值是
【答案】4右
【詳解】設三角形的三邊長分別為a,b,c,^.a<b<c,則。+〃+c=12.
可得3cN12,即cN4.
又因為a+b>c,所以2cvl2,即c<6.
故4Wc<6,(?可取4或5.
當c=4時,a<Z?<4,r/+Z?=8,所以a=〃=4.
此時三角形面積為5=f?4?=46;
肖。=5時,a+b=l.當a=l時,b=6.此時a+c=Z?,不合題意.
當。=2時、b=5.此時三角形面積為S,=12?疹下=2";
肖。=3時,b=4.
此時三角形為直角三角形,三角形面積為S3=;?3-4=6.
顯然岳>邑>52,所以所求最大面積為4G.
13.(2023?全國?九年級競賽)一個兩位數(shù)除以它的反序數(shù)所得的商數(shù)恰等于余數(shù),則這
個兩位數(shù)是.
【答案】52
【詳解】設這個數(shù)為。=iox+y,它除以它的反序數(shù)的商數(shù)是小則其反序數(shù)為10丁+工
于是10x+y=(10y+x)q+q,4為自然數(shù),
即(10-q)口-(10q-l)尸q.
當4=1時,9(%-y)=1,此方程無整數(shù)解;
當“=2時、有8%-19y=2.可知),是偶數(shù).
當y=2時,x=5.
而當),=4或6或8時,K無整數(shù)解.
所以當4=2時,4=52.
進一步,當4=3時,有7X一29?,=3,
當),K2時,x無整數(shù)解:而當丁之3時,x>10,即x無滿足條件的解.
當4=4時,有6x-39y=4.
因為此方程右邊4不被3整除,所以無解.
最后,當夕N5時,有5%之(10-如=(1凹一l)y+qN49y+g/54.
所以xNll,不可能有解.
綜上所述,所求數(shù)等于52.
14.(2023?全國?九年級競賽)某個兩位自然數(shù),它能被其各位數(shù)字之和整除,且除得的
商恰好是7的倍數(shù),寫出符合條件的所有兩位數(shù)是.
【答案】21,42,63,84
【詳解】設所有兩位數(shù)是6,則10x+y=k(x+y).
其中2是正整數(shù),且為7的倍數(shù).
當4=7時,l0x+y=7(x+y),即x=2y.
當丁=1時,X=2;y=2時,x=4;y=3時,x=6;y=4時,x=8.
當〃=14時,10x+y=14(x+y),
即4x+13y=0.
此方程無正整數(shù)解.
當欠=21,28,……,方程均無正整數(shù)解.
所以滿足條件的兩位數(shù)是:21,42,63,84.
15.(2023?全國?九年級競賽)小孩將玻璃彈子裝進兩種盒子,每個大盒子裝12顆,每
個小盒子裝5顆,若彈子共有99顆,所用大、小盒子多于10個,則大盒子數(shù)為,
盒子數(shù)為.
【答案】215
【詳解】設大盒子有x個,小盒子有),個.
99一12犬4-2X
根據(jù)題意,得12x+5),=99,從而),=‘,$=19-2X+^^.
因為x,1y都為整數(shù),所以x可取2或7.
當x=7時,),=2;當x=2時,>=15.
因為x+),Nll,所以x=2,y=15.
16.(2023?全國?九年級競賽)設平方數(shù)),’是11個相繼整數(shù)的平方和,則),的最小值是
【答案】-11
【詳解】理由:設11個相繼整數(shù)為,幾..〃+4,〃+5,則
5—5)2+(〃-4)2+?+/J++5+4)2+5+5)2=)/,
即11(1+10)=/
顯然,y最小時,只能是〃2=1.
所以),取最小值-11.
17.(2023?全國?九年級競賽)一個三位數(shù),它等于它的各位數(shù)碼之和的12倍.試寫出
所有這樣的三位數(shù).
【答案】108
【詳解】設這樣的三位數(shù)為正,則
100。+1Ob+c=12(。+/?+(?),
2
即c=8a---b.
11
因為a,b,。均為整數(shù),且〃<9,所以8=0,得c=8a.
又因為14。49,0工。49,所以只能。=l,c=8.
18.(2023?全國?九年級競賽)一個四位數(shù)與它的四個數(shù)字之和等于1991,這個四位數(shù)
是.
【答案】1972
【詳解】設這個四位數(shù)為麗,根據(jù)題意,得
1000a+100〃+10c+d+a+〃+c+d=1991,
BP100kz+10IZ?+llc+2<7=1991.
(1)若a22,Ml00Id>2000,所以4=1.從而101b+Uc+2d=990.
(2)因為llc+R的最大值為99+18=117,所以10心之990-117=873,即。=9,從
而llc+2d=81.
(3)由于OK24Kl8,貝lj81-18=63KllcW81.
所以。=6或7.
當c=6時,66+26=81,得4=—(舍去);
2
當c=7時,7”2d=8\,得d=2.
故這個四位數(shù)是1972.
19.(2023?全國?九年級競賽)〃是一個非立方的四位數(shù),且它僅有4個正約數(shù),除了它
本身之外其他三個約數(shù)的和等于1000,那么這個四位數(shù)〃是___________.
【答案】1994
【詳解】由題意,〃=PV,且〃,q均為質(zhì)數(shù),則1+〃+夕=1000,即p+4=999.
以p,q中必有一個為偶質(zhì)數(shù)2,另一個為997.
從而有〃=2x997=]994.
20.(2023?全國?九年級競賽)方程3xi2),=11在正整數(shù)范圍內(nèi)的解是.
x=1,[x=3,
【答案】J;或;
y=4,[y=i.
【詳解】由3x<ll,得XV;,所以x只能取1,2,3.
當x=l時,y=4;當x=2時,y無正整數(shù)解;當x=3時,y=L
x=l,lx=3,
所以所求方程的解為《4或
J=4,y=l.
r|4
21.(2023?全國?九年級競賽)方程三+—=3有_________組正整數(shù)解.
3y
【答案】5
【詳解】理由:因為】之。
33
所吟=3寧368
3
14x321
則”—
即yN6.
原方程可化為封+42=9),,
則42=(9-x)y.
所以42能被),整除.
所以),可取6,7,14,21,42.相應地得到五組解;
xy=2,x,=3,]Xy=6,x4=7,x;=8,
Y=6,1%=Z[為=14.”=21,1%=42.
22.(2023?全國?九年級競賽)已知三角形的三個角的度數(shù)都是小于120的質(zhì)數(shù),則這個
三角形三個角的度數(shù)分別是.
【答案】2。,89。,89。
【詳解】設三角形的三個角的度數(shù)分別是x,y,z,Rx<y<zf則x+y+z=180.
所以x,y,z中必有一個偶質(zhì)數(shù)2,得x=2,y,z必為奇數(shù).
若尸z,貝”-”2,與z-yvx矛盾.
所以y=z,得),=z二89.
因此,三角形三個角的度數(shù)分別是2。,89。,89。.
23.(2023?全國?九年級競賽)若質(zhì)數(shù)〃?,〃滿足5〃?+7"=129,則,〃+〃的值為.
【答案】19或25
【詳解】因為加,”為質(zhì)數(shù),且5〃-7〃=129,所以如〃中必有一個是偶質(zhì)數(shù).
若〃2=2,則〃=17;若〃=2,m=23.
所以〃葉〃的值為19或25.
三、解答題
24.(2023?全國?九年級競賽)(1)設x是實數(shù),證明:卜]+x+;=[2A],
「「2010I-「201()11「201()1]、.
(2)求知=[丁+5+[亍+5]+,,+[聲+乙值
【答案】(1)見解析;(2)2010
【詳解】解(1)設[x]=〃,{x}=x-[x]=a,則OVavl.
若0?a<,,則0Wa+,<l,0?2a?l,于是
22
I1
+x+—=n+n+a+—=n+n=2n,2x]=\2n+2a]=2n
_2]L2
所以[x]+x+;=[2.v]
若!/iiJl<a+-!-<l-,l<2a<2,于是
222
[x]+x+—=〃+n-\-a+—=n+(n+\)=2n+1,[2x]=[2n+2a]=2n+1,,
22
所[小x+;=[2可
綜上所述,對任何實數(shù)X,卜]+X+1=[2可成立.
(2)由(1)知x+:=[2x]-[x]
/20102010筆器,再將各式相加得
22-
注:從以上各例看出,求解有關區(qū)及{"的問題的關鍵是:國及區(qū)的定義和基本不
等式l-1〈卜]",。45}<1.只要將1]及"}的定義與不等式結(jié)合起來進行計算和討
論,就能找到解決問題的途徑.
25.(2023?全國?九年級競賽)3設a,Ac?是正數(shù),且abc=l,證明:
bca
【答案】見解析
XVZ
【詳解】證明注意到或。=1,設。=一,6=),。=一(x,y,z為正實數(shù)),則
yzx
原不等式=d-i+三)(工-i+n(三-1+))4
yyzzxx
<=>(x+x-y)(y+x-z)(z+y-x)<xyz.①
y^u=x+z-y,v=y+x-z,w=z+y-x,則
〃+v八v+w_w+u_
x=------->0,y=-------->0,z=-------->0.
222
...,/〃+八/+卬\//+〃、/
:是①0UVW<(^―)(-y-)(—y-)?②
不妨設xNyNz,則i/20,「NO.如果卬£0,那么
,c,〃+叭/射+卬、/3+叭I、」_
UVW<0<(―^―)(—y—)(—y—),不等式②成乂;
如果卬>0,又〃>0?>0,那么
(^^)(上32)(一^)之(>/MV)(VVW)(A/W)=NUW即②成立.
a+b+c3
26.(2023?全國?九年級競賽)若」>0力>0,。>0,證明:-ir等號成
—+-+-
abc
立當且僅當。=b=c.
【答案】見解析.
【詳解】解原不等式=(〃+力+C)(,+[+!)29
abc
haca(:h、小
=3+—+―+—+-+------>9.①
abacbc
而2+£之2\母=2二十巴之2、口=25+2之2貯=2故①成立.等號成立當且僅
abVabacVacbc\bc
當a=b=c.
3
注:1,1I稱為三個正數(shù)a,4c的調(diào)和平均值.故本例的結(jié)論可寫為3個正數(shù)的
—+—+—
abc
算術平均值不小于它們的調(diào)和平均值,等號成立當且僅當這3個正數(shù)都相等.
②本題可直接用算術平均值不小于幾何平均值來證明:
_1+:+_1N3*邛1=4又師工把經(jīng)故
abc\abcIjabc3
空公^疵
31+1+1,
k1
27.(2023?全國?九年級競賽)若。>0/>0,c>0,則2(彳-V^)<3("經(jīng)一炳),
等號成立當必=。2.
【答案】見解析
【詳解】證明經(jīng)去括號,移項整理知,要證不等式等價于:3痂0C+2,萬.
而由3個正數(shù)的平均值不等式得
c+2\[ab=c+4ab+4ab>3\]c-4(ib\[ab=3\Jabc?
故原不等式成立.等號成立當且僅當c=V^=a〃=c2
28.(2023?全國?九年級競賽)己知%,工”芻為實數(shù)且N+X2+X3=6,X;+*+X;?18,證
明:04玉<4。=1,2,3).
【答案】見解析
【詳解】證明因為玉+占=6-七,設%=土產(chǎn)+1=空+,,9=七上一/=寧一,,
于是,由已知條件中第二個不等式得
=(手+心(寧—=2(寧f+2八2(3,
2222
2
即36—2xj>(6—x3)=36-12巧+x;=>3x3(x3-4)<0,
所以。4再44.由對稱性得0工百工4,0工彳2?4.
注:①本題也可以用不等式片+石之3。|+公)2來證明:因為3+%2=673,
■T是18-x;Nx;之:(西十占尸之;(6一芯廠?卜血解法與前述相同.
②例12和例13中的代換稱為平均值代換.
29.(2023?全國?九年級競賽)設〃>。/>0,00且cA6+cJ],證明:
abc、3-73
-----7+-----r+-----7>——?
X-a1\-b-1-c22
【答案】見解析
【詳解】證明注意到/+〃+°2=1,原不等式等價于
a1b2c22更①
-------------------i-'----------
a(\-a)b(\-b)c(l-c2)2
2?2
故要證①成立,只要證。。一乖,〃(1一〃2)4法,c(l—C)24訪
而由平均值不等式有
4(j2)=收2/.([-/>(]-/)]
|「2/+(1-/)+(~2)丁〃2八2
m--------------3-------------=收號F
27
同理僅1一/)4泉方,c(l—c?)W法,故①成立,從而原不等式成立.
30.(2023?全國?九年級競賽)是否存在質(zhì)數(shù)p,q,使得關于工的一元二次方程
px2-qx+p=0有有理數(shù)根?
【答案】存在滿足題設的質(zhì)數(shù),理由見解析
【詳解】設方程有有理數(shù)根,則判別式為平方數(shù).
令Ar?-4〃2=",其中,〃是?個非負整數(shù),
貝lj(g_〃)(q+〃)=4pt
由+旦夕一〃與“+〃同奇偶,故同為,禺數(shù).
因此,有如下幾種可能情形:
〃一〃=2,21
(1)b+Tp-P』;
g-〃=4,p~
(2)/〃=P2nq=2+5;
q-n=p,5P
(3)=>q=—;
q+n=4p2
q-n=2p
(4)q+〃=2p=q=2p
QX]九nq=2+H
(5)
q+〃=42
對于情形(I)、(3),p=2,從而,q=5;
對于情形(2)、(5),p=2,從而g=4(不合題意,舍去);
對于情形(4),是合數(shù)(不合題意,舍去)
乂當〃=2國=5時,方程為2x2-54+2=0,它的根為百=;,”2,它們都是有理數(shù).
綜上所述,存在滿足題設的質(zhì)數(shù).
31.(2023?全國?九年級競賽)己知力,。為整數(shù),方程5/+云+°=0的兩根都大于-1且
小于0.求〃和c的值.
【答案】b=5,c=l
【詳解】根據(jù)二次函數(shù)y=5/+法+。的圖象和題設條件知:
當%=0時,5x2+bx+c>0有c>0;①
當x=-l時,5x2+bA+c>0?有Z?>5+c.
因拋物線頂點的橫坐標-工滿足-1<工<0,
2x52x5
則。③
又因△?(),即從一20c20,故20c.④
由①、③、④得100>護之20c,cv5.
若c=l,則由②、④得0〈人<6且從220,得〃=5:
若c=2,則0<〃<7且從240,無整數(shù)解;
若c=3,則0<〃<8且"260,無整數(shù)解;
若c=4,則0vbv9且從280,無整數(shù)解.
故所求。,c的值為8=5,c=l.
32.(2023?全國?九年級競賽)試求兩個不同的自然數(shù),它們的算術平均數(shù)人和幾何平均
數(shù)G都是兩位數(shù),其中A,G中一個可由另一個交換個位和十位數(shù)字得到.
【答案】98和32
M十步一2A
【詳解】設這兩個自然數(shù)為再,占,則-,
中j=G,
即入,七是方程X2—2AY+G2=0的兩個根,所以人士廬e應為自然數(shù),即為
完全平方數(shù).
設A=W9),則G=10〃+々,
可得43=9-11(〃+〃)(〃-〃).
因此,11整除〃+〃或。一人,(n1<^-/?<8,故11整除。+/?.
由4+力K9+8=17,得〃+b=ll,則必須是完全平方數(shù).
由。-/?=(“+與-2/?=11-2〃,知是一個奇數(shù),但4-649-1=8<3'所以=
a+b=\\,a=6,
由<得《
a-b=\b=5.
所以A=65,G=56.
^lA±y]A2-G2=65±33-
因此,所求兩數(shù)為9g和32.
33.(2023?全國?九年級競賽)已知方程/一64-4〃2-32〃=0的根都是整數(shù),求整數(shù)〃
的值.
【答案】整數(shù)〃的值為-18,-8,0,10
【詳解】解得x=3土J4/J+32/7+9?
因為方程的根都是整數(shù),所以,4〃2+32〃+9是完全平方數(shù).設4〃?+32〃+9=4,"?>0.
則有(2/2+8+ni)(2n+8-m)=55.
因為55=lx55=5x||=(—l)x(—55)=(—5)x(-ll),
分別解得〃=10,〃=0,〃=-1&,?=一8.
所以,整數(shù)〃的值為一18,-8,0,10.
34.(2023?全國?九年級競賽)已知a<0,〃W0,c>0,且后二^:=b-2ac,求〃
的最小值.
【答案】4
【詳解】由已知得/―4ac=S—2ac)2,即-〃+1)=0.
乂a<0,c>0,則QCHO,即ac-/?+l=O,故ac=人一1,
b2-4ac=h2-4(b-1)=b2-4〃+4=(h-2)2.
因〃WO,則〃一2K-2,即(8—2尸之(—2)2=4,故力2_4w的最小值為4.
35.(2023?全國?九年級競賽)已知〃為質(zhì)數(shù),使二次方程丁-2〃*+〃2-5〃-1=0的法根
都是整數(shù),求出〃的所有可能值.
【答案】〃=3或7
【詳解】A=4p2—4(pL5p-l)=4(5p+l)為完全平方數(shù),從而5p+1為完全平方數(shù).
令5p+l=〃2,注意至U〃22,故〃24,且〃為整數(shù),于是5〃=(〃+1)(〃-1),
則〃+1,〃-1中至少有一個是5的倍數(shù),即〃=5攵±1儀為整數(shù)).
則5p+1=25k2±IOk+\,p=&(54+2).
由〃為質(zhì)數(shù),5A±2>1知攵=1,〃=3或7.
當〃=3時,原方程變?yōu)?一6工-7=0,得玉=-1,9=7;
當p=7時,原方程變?yōu)?2-144+13=0,得玉=1,9=13.
所以,〃=3或7.
36.(2023?全國?九年級競賽)已知〃為正整數(shù),且*-71能被加+55整除,試求〃的
值.
【答案】n=51
【詳解】設〃2-71=%(7〃+55)夏為整數(shù)),則關于〃的一元二次方程的判別式一定是
完全平方數(shù).
解設〃2-71=-7〃+55)(攵是整數(shù)),則
〃2-74〃-(554+71)=0,
且△=49A2+4(55#+71)=49/+22()&+284應為完全平方數(shù).
因為(74+15)2=49/+210A+225
<49公+220女+284
<49必+23版+289
=6+17)2,
所以△=(74+16)2,從而(7左+16)2=49r+22(次+284.
于是,k=7,有〃2-71=7(7〃+55),
解得〃=-8(不合題意)或57.
所以〃=57.
37.(2023?全國?九年級競賽)試求出這樣的四位數(shù),它的前四位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別
組成的二位數(shù)之和的平方,恰好等于這個四位數(shù).
【答案】四位數(shù)為2025或3025
【詳解】設這個四位數(shù)前后兩個兩位數(shù),分別是x,-則10Kx,yW99,且
(x+y)2=100x+y,
展開得關于工的二次方程:x2+2(y-5O)x4-(/-y)=O.
^A=4(y-50)2-4(/-y)=4(2500-99y)>0W,方程有實數(shù)解.
即當),W25時,方程有解x=50-),土j2500_99.y.
因為x為整數(shù),故2500-99.V必為完全平方數(shù),而完全立方數(shù)的末位數(shù)字僅可能為0,1,
4,5,6,9.
故僅當),=25時,2500-99x25=52,此時x=30或20.
故此四位數(shù)為2025或3025.
38.(2023?全國?九年級競賽)已知,〃,〃為整數(shù),〃為整數(shù),且滿足2〃/+〃2+3m+,?-1=0,
求/〃,〃的值.
【答案】〃?=一1,〃=1或〃?=一1,〃=一2
【詳解】以加為主元,得關于加的一元二次方程2機2+3帆+〃2+〃一1=o.
因為,〃有整數(shù)解,所以A=9—8(〃2+〃-1)=—8〃2-8〃+17之0,
解得-2-屈4〃4-2+國
44
又〃為整數(shù),所以一
乂方程有整數(shù)解,則△=-8/-8〃+17必為完全平方數(shù),從而〃=-2,1.
當〃=-2或〃=1時,代入原方程均有2m2+3〃?+1=0,
解得班=-1,機2=-萬(舍去).
故m=-1,〃=1或/〃=-1,〃=—2.
39.(2023?全國?九年級競賽)〃為整數(shù),若存在整數(shù)人和。使
(x+?)(x-15)-25=(x-/?)(x+c),求整數(shù)a的值.
【答案】a的值為9,-15,-39
【詳解】依題意知方程(x+a)(x-15)=25有兩整數(shù)根
而25=(土5)x(±5)=(±l)x(±25),
x+a=25,x+a=-5,=15,
則有,V
x-\5=-5,x-15=5,[x-15=l,
x+a=-25,x+a=1,x+a=-l,
x-15=-l,[x-15=25,x-15=-25.
?=-15,a=-15,ja=9,a=9,Ja=-39,(a=-39,
解得[x=_10,[x=14,1j=40.
x=20.x=10,[x=16,
由此可以看出每一個a對應兩個整數(shù),因此所求的整數(shù)〃的值為9,-15,-39.
40.(2023?全國?九年級競賽)力都是大于1的整數(shù),a,人為何值,方程
abx2一(4/+。+2/?+〃卜+(4〃+1)(2〃+1)=0有兩個整數(shù)根.
(a=11Ja=3,[a=5,
【答案】當L<八(7時,方程有兩個整數(shù)根
【詳解】[火-(28+1)北取一(4〃+1)]=0,所以方程的兩根是絲上1,華1
ab
(i);""+?=1,則4a+1=8Z?+5.
a
所以汕+5被從整除,得〃整除5.
(ii)若絲口>1,因?qū)O+1是奇數(shù),
a
所以也是奇數(shù),叫23,
aa
即MK2〃+1<3d則
4tz+14a+
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