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文檔簡介

【全國初中數(shù)學競賽】

專題03方程與恒等變換競賽綜合-50題真題專項訓練

一、單選題

1.(2023?全國?九年級競賽)把三個連續(xù)的正整數(shù)b,c按任意次序(次序不同視為

不同組)填入口/+口人+口=。的三個方框中,作為一元二次方程的二次項系數(shù)、一次

項系數(shù)和常數(shù)項.使所得方程至少有一個整數(shù)根的mb,c().

A.不存在B.有一組C.有兩組D.多于兩組

2.(2023?全國?九年級競賽)在方程組M中,x,.z是互不相等的整數(shù),

r+y+z-=-36-

那么此方程組的解的組數(shù)為()

A.6B.3C.多于6D.少于3

二、填空題

3.(2023?全國?九年級競賽)已知x=[三,卜={AT],則,+(1+幣)與'=

4.(2023?全國?九年級競賽)若三20』KqK10,且方程4/一〃工+4=0的兩根均為

奇數(shù),則此方程的根為.

5.(2023?全國?九年級競賽)以下算式中,相同的漢字代表相同的數(shù)字.已知“神舟”=25,

“號”=4,那么六位數(shù)“飛天神舟六號”=.

六號飛天神舟?二華、飛天神舟六號

6.(2023?全國?九年級競賽)已知一個矩形的長、寬分別為正整數(shù)小b,其面積的數(shù)值

等于它的周長的數(shù)值的2倍,則a+b=或.

7.(2023?全國?九年級競賽)一個布袋中裝有紅、黃、藍三種顏色的大小相同的木球,

紅球上標有數(shù)字1,黃球上標有數(shù)字2,藍球上標有數(shù)字3,小明從布袋中摸出10個球,

它們上面所標數(shù)字的和等于21,則小明摸出的球中紅球的個數(shù)最多不超過___________.

8.(2023?全國?九年級競賽)籃、排、足球放在一堆共25個,其中籃球個數(shù)是足球個數(shù)

的7倍,那么其中排球的個數(shù)是.

9.(2023?全國?九年級競賽)某一次考試共需做20個小題,做對一個得8分,做錯一個

扣5分,不做的得0分.某學生共得13分,那么這個學生沒做的題有個.

10.(2023?全國?九年級競賽)兩個正整數(shù)的和比積小1997,并且其中一個是完全平方

數(shù),則較大數(shù)與較小數(shù)的差是___________.

11.(2023?全國?九年級競賽)某自然數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字和的11倍,則這個自然

數(shù)是.

12.(2023?全國?九年級競賽)邊長為整數(shù),周長為12的三角形的面積的最大值是

13.(2023?全國?九年級競賽)一個兩位數(shù)除以它的反序數(shù)所得的商數(shù)恰等于余數(shù),則這

個兩位數(shù)是.

14.(2023?全國?九年級競賽)某個兩位自然數(shù),它能被其各位數(shù)字之和整除,且除得的

商恰好是7的倍數(shù),寫出符合條件的所有兩位數(shù)是.

15.(2023?全國?九年級競賽)小孩將玻璃彈子裝進兩種盒子,每個大盒子裝12顆,每

個小盒子裝5顆,若彈子共有99顆,所用大、小盒子多于10個,則大盒子數(shù)為,

盒子數(shù)為.

16.(2023?全國?九年級競賽)設平方數(shù)/是1]個相繼整數(shù)的平方和.則),的最小值是

17.(2023?全國?九年級競賽)一個三位數(shù),它等于它的各位數(shù)碼之和的12倍.試寫出

所有這樣的三位數(shù)_________.

18.(2023?全國?九年級競賽)一個四位數(shù)與它的四個數(shù)字之和等于1991,這個四位數(shù)

是.

19.(2023?全國?九年級競賽)〃是一個非立方的四位數(shù),且它僅有4個正約數(shù),除了它

本身之外其他三個約數(shù)的和等于1000,那么這個四位數(shù)〃是.

20.(2023?全國?九年級競賽)方程版+2),=11在正整數(shù)范圍內(nèi)的解是.

X14

21.(2023?全國?九年級競賽)方程z+—=3有組正整數(shù)解.

22.(2023?全國?九年級競賽)已知三角形的三個角的度數(shù)都是小于120的質(zhì)數(shù),則這個

三角形三個角的度數(shù)分別是__________.

23.(2023?全國?九年級競賽)若質(zhì)數(shù)m,n滿足5〃?+7〃=129,則的值為.

三、解答題

24.(2023?全國?九年級競賽)(1)設x是實數(shù),證明:卜]+x+;=[2A],

/_、「「2010ll「20101K?

(2)求加=—+-+\—+2+'+尹+]之值

25.(2023?全國?九年級競賽)3設mb,c是正數(shù),且a加=1,證明:

(fl-l+-)(Z?-l+-)(c

bca

o+b+c、3

26.(2023?全國?九年級競賽)若證明:-3—"111.等號成

----1------1—

abc

立當且僅當〃=b=c.

27.(2023?全國?九年級競賽)若"0/>0,c>0,貝lj2(竽—向)43("*-師),

等號成立當曲=/.

28.(2023?全國?九年級競賽)己知%,工2,七為實數(shù)且玉+X2+X3=6,x;+x;+x;418,證

明:04%44?=],2,3).

29.(2023?全國?九年級競賽)設。>0功>0,c>0且/+〃+。2=1,證明:

abc、班

---?+---T+-------7>——?

\-a2\-b~1-c22

30.(2023?全國?九年級競賽)是否存在質(zhì)數(shù)p,q,使得關于x的一元二次方程

px2-/+〃=0有有理數(shù)根?

31.(2023?全國?九年級競賽)已知〃,。為整數(shù),方程5f+Zu+c=0的兩根都大于-出

小于0.求〃和c的值.

32.(2023?全國?九年級競賽)試求兩個不同的自然數(shù),它們的算術平均數(shù)4和幾何平均

數(shù)G都是兩位數(shù),其中A,G中一個可由另一個交換個位和十位數(shù)字得到.

33.(2023?全國?九年級競賽)已知方程f—6X一4〃2一32〃=0的根都是整數(shù),求整數(shù)〃

的值.

34.(2023?全國?九年級競賽)已知av0/W0,c>0,且廬不=b-2ac,求〃-加c

的最小值.

35.(2023?全國?九年級競賽)已知〃為質(zhì)數(shù),使二次方程F-2px+p2-5p-l=0的兩根

都是整數(shù),求出〃的所有可能值.

36.(2023?全國?九年級競賽)已知〃為正整數(shù),且〃2-71能被7〃+55整除,試求〃的

值.

37.(2023?全國?九年級競賽)試求出這樣的四位數(shù),它的前四位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別

組成的二位數(shù)之和的平方,恰好等于這個四位數(shù).

38.(2023?全國?九年級競賽)已知機,〃為整數(shù),〃為整數(shù),且滿足2加+〃2+3m+〃一1=0,

求〃?,〃的值.

39.(2023?全國?九年級競賽)〃為整數(shù),若存在整數(shù)〃和。使

(x+?)(A--15)-25=(x-b)(x+c),求整數(shù)4的值.

40.(2023?全國?九年級競賽)力都是大于I的整數(shù),&〃為何值,方程

abx2-(4a2-¥a+2b2+b)x+(4a+\)(2b+1)=0有兩個整數(shù)根.

41.(2023,全國?九年級競賽)小,〃為正整數(shù),關于x的方程fLt+(〃?+〃)=()有正

整數(shù)解.求機,〃的值.

42.(2023?全國?九年級競賽)所有的整數(shù)〃,使得關于x的一元二次方程

x2-W5a2-26a-8一(下一4a+9)=0的兩根皆為整數(shù).

43.(2023?全國?九年級競賽都是正整數(shù).試問:關于x的方程“2—以+'。+與=。

是否有兩個整數(shù)解?如果有,請把它們求出來;如果沒有,請給出證明.

44.(2023?全國?九年級競賽)有三個都不為。且互不相同的數(shù)碼,用它們組成各個可能

的三位數(shù)(不重復使用數(shù)碼),其和為2886,如果把這三個數(shù)碼從小到大排成一個三位

數(shù),又從大到小排列成一個二位數(shù),這兩個數(shù)的差是495,這二個數(shù)碼是什么?

45.(2023?全國?九年級競賽)設m4c都是奇數(shù),證明方程ad+以+°=()沒有有理

根.

46.(2023?全國?九年級競賽)一個四位數(shù),這個四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和是1999,

求這個四位數(shù),并說明理由.

47.(2023?全國?九年級競賽)有一個四位數(shù),它的個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字少3,

并且它的數(shù)字倒排所成的新四位數(shù)與原四位數(shù)之和為3987.求這個四位數(shù),并寫出他

理過程.

48.(2023?全國?九年級競賽)兩位數(shù)瓦能整除十位數(shù)字為零的三位數(shù)嬴,求點.

49.(2023?全國?九年級競賽)如果一個自然數(shù)正好等于其各個數(shù)位上的數(shù)字之和的13

倍,試求出這樣的自然數(shù),并說明理由.

50.(2023?全國?九年級競賽)一支科學考察隊前往某條河流上的上游去考察一個生態(tài)區(qū),

他們出發(fā)后以每天17km的速度前進,沿河岸向上游行進若干天后到達目的地,然后在

生態(tài)區(qū)考察了若干天,完成任務后以每天25km的速度返回,在出發(fā)后的第60天,考察

隊行進了24km后回到出發(fā)點.試問:科學考察隊在生態(tài)區(qū)考察了多少天?

【初中數(shù)學競賽】

專題03方程與恒等變換競賽綜合-50題真題專項訓練

一、單選題

1.(2023?全國?九年級競賽)把三個連續(xù)的正整數(shù)b,c按任意次序(次序不同視為

不同組)填入口/+口人+口=。的三個方框中,作為一元二次方程的二次項系數(shù)、一次

項系數(shù)和常數(shù)項.使所得方程至少有一個整數(shù)根的mb,c().

A.不存在B.有一組C.有兩組D.多于兩組

【答案】C

【詳解】設三個連續(xù)的正整數(shù)分別為n-l,〃,〃+1(〃為大于1的整數(shù)).當一次項系

數(shù)是n-1或〃時,/均小于零,方程無實數(shù)根;當?次項系數(shù)是〃+11時,

△二(〃+1尸一4〃(〃-1)二-3(〃-1尸+4.

因為〃為大于1的整數(shù),所以,要使△之0,〃只能取2.

當〃=2時,方程/+3克+2=0,2/+3K+1=0均有整數(shù)根,故滿足要求的(a,b,c)

只有兩組:(1,3,2)、(2,3,1).

2.(2023?全國?九年級競賽)在方程組,’"中,-),,z是互不相等的整數(shù),

那么此方程組的解的組數(shù)為()

A.6B.3C.多于6D.少于3

【答案】A

【詳解】^JJIJx3+y+23-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-xz+yz)=0,把原方程組

轉(zhuǎn)化為解不定方程3xyz=-36.

因為丁+V,+-3xyz

11

一(x+y+z)(d+y+z-xy-yz-ZLV)

=0?

所以x'+V+z=Bxyz,從而得3型=-36,

即冷2=-12.

因此x,y,z中一定是兩正一負,且x+y+z=O.

又12=1x1x12=1x2x6=1x3x4=2x2x3,

則上述兩種組合中,只有12=1x3x4符合條件.

A=ltx=1,x=3,x=3,x=-4x=-4,

所以b=3,

或,),=-4,或<y=L或,y=-4,或,y=L或,y=3,

z=-4,2=3,z=-4,z=1,z=3.z=1.

共有6個解.故選A.

二、填空題

3.(2023?全國?九年級競賽)已知A=,貝心2+(]+0"

【答案】10

【詳解】解因」7==—幣廠

3-V7(3-77)(3+77)2

a

由2=在<>/7<囪=3知2.5<^^Fi<3,

2

I、IC工曰1r3+>/7.\/1-1

所以x=2,于是y=----=-2=-------2=------,

3-V722

因止匕,x24-(1+>/7)^=224-(1+V7)x2x^^=4+(7-1)=10.

故填10.

4.(2023?全國?九年級競賽)若14〃<20,1?q410,且方程4/—川+4=。的兩根均為

奇數(shù),則此方程的根為.

【答案】百=W=1

【詳解】填內(nèi)=X2=1.理由:設對天是方程的兩個根,則

%+工2=(/也=(.

因為不々均為奇數(shù),故占+W為偶數(shù),西子2為奇數(shù).

又14〃420,14夕410,

則,工之W5」工幺&3.

44442

故Z=1闖=4.

4

由△=//:一]6夕之0,解得〃28.

從而,與22.

4

所以,4=2或4,即〃=8或p=16.

4

當〃=8時,X,=x2=1,符合題意;

當p=16時,毛與巧均為無理數(shù),不合題意,舍去.

故原方程的根為玉=/=1.

5.(2023?全國?九年級競賽)以下算式中,相同的漢字代表相同的數(shù)字.已知“神舟”=25,

“號”=4,那么六位數(shù)“飛天神舟六號』.

六號飛天神舟=x飛天神舟六號

【答案】102564.

【詳解】設“飛天”=x,"六號”=y,則題設算式可化為

4x(10000.v+100A+25)=25x(10000x+2500+y)?

化簡得4x(400y+4.r+l)=l0000.V+2500+y

即1599y=9984x+2496,

即533y=3328%i832.

兩邊約去13得41),=256x+64,即4ly=64(4x+l),64與41互質(zhì),64整除y.故y=64.

“號”=4與題設符合.

代人得4—0.

于是“飛天神舟六號”=102564.

6.(2023?全國?九年級競賽)已知一個矩形的長、寬分別為正整數(shù)小b,其面積的數(shù)值

等于它的周長的數(shù)值的2倍,貝iJa+〃=或.

【答案】2518

【詳解】根據(jù)題意,得ab=2(2a+2b),

即ab-4a=4b,

因為m。均為正整數(shù),且所以〃-4一定是16的正約數(shù).

當4分別取I,2,4,8,16時,代入上式得:

8—4=1時,b=5,a=20;

4=2時,b=6.a=12;

。-4=4時,。=8,。=8(舍去);

。一4=8時,6=12,。=6(舍去);

。一4=16時,〃=20,。=5(舍去).

因止匕4+8=25或18.

故應填25,18.

7.(2023?全國?九年級競賽)一個布袋中裝有紅、黃、藍三種顏色的大小相同的木球,

紅球上標有數(shù)字1,黃球.上標有數(shù)字2,藍球上標有數(shù)字3,小明從布袋中摸出10個球,

它們上面所標數(shù)字的和等于21,則小明摸出的球中紅球的個數(shù)最多不超過___________.

【答案】4

【詳解】設小明摸出的10個球中有x個紅球,y個黃球,則藍球有(10--??。﹤€.

根據(jù)題意,得工+2),+3。0-%一),)=21,

即2x+y=9.

易知,x的最大值是4,即小明摸出的10個球中至多有4個紅球.

8.(2023?全國?九年級競賽)籃、排、足球放在一堆共25個,其中籃球個數(shù)是足球個數(shù)

的7倍,那么其中排球的個數(shù)是.

【答案】17或9或1

【詳解】設足球有工個,排球有y個,則7x+),+x=25,

即8x+y=25.

當x=l時,y=17;當無=2時,),=9;當x=3時,y=l.

所以排球的個數(shù)是17或9或1個.

9.(2023?全國?九年級競賽)某一次考試共需做20個小題,做對一個得8分,做錯一個

扣5分,不做的得0分.某學生共得13分,那么這個學生沒做的題有個.

【答案】7

x+y+z=20,

【詳解】設該生做對x個題,做錯y個題,沒做的題目有z個,則。[口

8x-5j=13.

所以8(x+y)=8x+8y=13+13y=13(l+y).

又8與13互質(zhì),則x+y被13整除.

ffo0<x+y<20,所以x+y=l3,從而z=20-(x+y)=7.

所以這個學生沒做的題有7個.

10.(2023?全國?九年級競賽)兩個正整數(shù)的和比積小1997,并且其中一個是完全平方

數(shù),則較大數(shù)與較小數(shù)的差是.

【答案】663

【詳解】設這兩個正整數(shù)為>勿.

根據(jù)題意,可得。人-m+b)=1997,

則(々—1)6—1)=1998,

即(“一1)3-1)=2x33x37.

因為a>b,即《-1>人1,且小匕中有一個是完全平方數(shù),故3—1)3—1)=666x3,

。二667,

所以

Z?=4.

則a-b=663.

11.(2023?全國?九年級競賽)某自然數(shù)恰好等于它的各位數(shù)字和的11倍,則這個自然

數(shù)是__________.

【答案】198

【詳解】所求數(shù)不可能是一位數(shù),四位數(shù)及四位以上的數(shù).故只考慮兩位數(shù)及三位數(shù).

(1)設所求自然數(shù)是可,則10x+y=U(%+y),

即x+10y=0,

此方程無滿足條件的解.

(2)設所求自然數(shù)是后,則100x+10y+z=ll(x+j+z),

即89x-y-10z=0.

顯然x只可能是1,因此,只有一組解:x=l,y=9,z=8.

故所求的數(shù)是198.

12.(2023?全國?九年級競賽)邊長為整數(shù),周長為12的三角形的面積的最大值是

【答案】4右

【詳解】設三角形的三邊長分別為a,b,c,^.a<b<c,則。+〃+c=12.

可得3cN12,即cN4.

又因為a+b>c,所以2cvl2,即c<6.

故4Wc<6,(?可取4或5.

當c=4時,a<Z?<4,r/+Z?=8,所以a=〃=4.

此時三角形面積為5=f?4?=46;

肖。=5時,a+b=l.當a=l時,b=6.此時a+c=Z?,不合題意.

當。=2時、b=5.此時三角形面積為S,=12?疹下=2";

肖。=3時,b=4.

此時三角形為直角三角形,三角形面積為S3=;?3-4=6.

顯然岳>邑>52,所以所求最大面積為4G.

13.(2023?全國?九年級競賽)一個兩位數(shù)除以它的反序數(shù)所得的商數(shù)恰等于余數(shù),則這

個兩位數(shù)是.

【答案】52

【詳解】設這個數(shù)為。=iox+y,它除以它的反序數(shù)的商數(shù)是小則其反序數(shù)為10丁+工

于是10x+y=(10y+x)q+q,4為自然數(shù),

即(10-q)口-(10q-l)尸q.

當4=1時,9(%-y)=1,此方程無整數(shù)解;

當“=2時、有8%-19y=2.可知),是偶數(shù).

當y=2時,x=5.

而當),=4或6或8時,K無整數(shù)解.

所以當4=2時,4=52.

進一步,當4=3時,有7X一29?,=3,

當),K2時,x無整數(shù)解:而當丁之3時,x>10,即x無滿足條件的解.

當4=4時,有6x-39y=4.

因為此方程右邊4不被3整除,所以無解.

最后,當夕N5時,有5%之(10-如=(1凹一l)y+qN49y+g/54.

所以xNll,不可能有解.

綜上所述,所求數(shù)等于52.

14.(2023?全國?九年級競賽)某個兩位自然數(shù),它能被其各位數(shù)字之和整除,且除得的

商恰好是7的倍數(shù),寫出符合條件的所有兩位數(shù)是.

【答案】21,42,63,84

【詳解】設所有兩位數(shù)是6,則10x+y=k(x+y).

其中2是正整數(shù),且為7的倍數(shù).

當4=7時,l0x+y=7(x+y),即x=2y.

當丁=1時,X=2;y=2時,x=4;y=3時,x=6;y=4時,x=8.

當〃=14時,10x+y=14(x+y),

即4x+13y=0.

此方程無正整數(shù)解.

當欠=21,28,……,方程均無正整數(shù)解.

所以滿足條件的兩位數(shù)是:21,42,63,84.

15.(2023?全國?九年級競賽)小孩將玻璃彈子裝進兩種盒子,每個大盒子裝12顆,每

個小盒子裝5顆,若彈子共有99顆,所用大、小盒子多于10個,則大盒子數(shù)為,

盒子數(shù)為.

【答案】215

【詳解】設大盒子有x個,小盒子有),個.

99一12犬4-2X

根據(jù)題意,得12x+5),=99,從而),=‘,$=19-2X+^^.

因為x,1y都為整數(shù),所以x可取2或7.

當x=7時,),=2;當x=2時,>=15.

因為x+),Nll,所以x=2,y=15.

16.(2023?全國?九年級競賽)設平方數(shù)),’是11個相繼整數(shù)的平方和,則),的最小值是

【答案】-11

【詳解】理由:設11個相繼整數(shù)為,幾..〃+4,〃+5,則

5—5)2+(〃-4)2+?+/J++5+4)2+5+5)2=)/,

即11(1+10)=/

顯然,y最小時,只能是〃2=1.

所以),取最小值-11.

17.(2023?全國?九年級競賽)一個三位數(shù),它等于它的各位數(shù)碼之和的12倍.試寫出

所有這樣的三位數(shù).

【答案】108

【詳解】設這樣的三位數(shù)為正,則

100。+1Ob+c=12(。+/?+(?),

2

即c=8a---b.

11

因為a,b,。均為整數(shù),且〃<9,所以8=0,得c=8a.

又因為14。49,0工。49,所以只能。=l,c=8.

18.(2023?全國?九年級競賽)一個四位數(shù)與它的四個數(shù)字之和等于1991,這個四位數(shù)

是.

【答案】1972

【詳解】設這個四位數(shù)為麗,根據(jù)題意,得

1000a+100〃+10c+d+a+〃+c+d=1991,

BP100kz+10IZ?+llc+2<7=1991.

(1)若a22,Ml00Id>2000,所以4=1.從而101b+Uc+2d=990.

(2)因為llc+R的最大值為99+18=117,所以10心之990-117=873,即。=9,從

而llc+2d=81.

(3)由于OK24Kl8,貝lj81-18=63KllcW81.

所以。=6或7.

當c=6時,66+26=81,得4=—(舍去);

2

當c=7時,7”2d=8\,得d=2.

故這個四位數(shù)是1972.

19.(2023?全國?九年級競賽)〃是一個非立方的四位數(shù),且它僅有4個正約數(shù),除了它

本身之外其他三個約數(shù)的和等于1000,那么這個四位數(shù)〃是___________.

【答案】1994

【詳解】由題意,〃=PV,且〃,q均為質(zhì)數(shù),則1+〃+夕=1000,即p+4=999.

以p,q中必有一個為偶質(zhì)數(shù)2,另一個為997.

從而有〃=2x997=]994.

20.(2023?全國?九年級競賽)方程3xi2),=11在正整數(shù)范圍內(nèi)的解是.

x=1,[x=3,

【答案】J;或;

y=4,[y=i.

【詳解】由3x<ll,得XV;,所以x只能取1,2,3.

當x=l時,y=4;當x=2時,y無正整數(shù)解;當x=3時,y=L

x=l,lx=3,

所以所求方程的解為《4或

J=4,y=l.

r|4

21.(2023?全國?九年級競賽)方程三+—=3有_________組正整數(shù)解.

3y

【答案】5

【詳解】理由:因為】之。

33

所吟=3寧368

3

14x321

則”—

即yN6.

原方程可化為封+42=9),,

則42=(9-x)y.

所以42能被),整除.

所以),可取6,7,14,21,42.相應地得到五組解;

xy=2,x,=3,]Xy=6,x4=7,x;=8,

Y=6,1%=Z[為=14.”=21,1%=42.

22.(2023?全國?九年級競賽)已知三角形的三個角的度數(shù)都是小于120的質(zhì)數(shù),則這個

三角形三個角的度數(shù)分別是.

【答案】2。,89。,89。

【詳解】設三角形的三個角的度數(shù)分別是x,y,z,Rx<y<zf則x+y+z=180.

所以x,y,z中必有一個偶質(zhì)數(shù)2,得x=2,y,z必為奇數(shù).

若尸z,貝”-”2,與z-yvx矛盾.

所以y=z,得),=z二89.

因此,三角形三個角的度數(shù)分別是2。,89。,89。.

23.(2023?全國?九年級競賽)若質(zhì)數(shù)〃?,〃滿足5〃?+7"=129,則,〃+〃的值為.

【答案】19或25

【詳解】因為加,”為質(zhì)數(shù),且5〃-7〃=129,所以如〃中必有一個是偶質(zhì)數(shù).

若〃2=2,則〃=17;若〃=2,m=23.

所以〃葉〃的值為19或25.

三、解答題

24.(2023?全國?九年級競賽)(1)設x是實數(shù),證明:卜]+x+;=[2A],

「「2010I-「201()11「201()1]、.

(2)求知=[丁+5+[亍+5]+,,+[聲+乙值

【答案】(1)見解析;(2)2010

【詳解】解(1)設[x]=〃,{x}=x-[x]=a,則OVavl.

若0?a<,,則0Wa+,<l,0?2a?l,于是

22

I1

+x+—=n+n+a+—=n+n=2n,2x]=\2n+2a]=2n

_2]L2

所以[x]+x+;=[2.v]

若!/iiJl<a+-!-<l-,l<2a<2,于是

222

[x]+x+—=〃+n-\-a+—=n+(n+\)=2n+1,[2x]=[2n+2a]=2n+1,,

22

所[小x+;=[2可

綜上所述,對任何實數(shù)X,卜]+X+1=[2可成立.

(2)由(1)知x+:=[2x]-[x]

/20102010筆器,再將各式相加得

22-

注:從以上各例看出,求解有關區(qū)及{"的問題的關鍵是:國及區(qū)的定義和基本不

等式l-1〈卜]",。45}<1.只要將1]及"}的定義與不等式結(jié)合起來進行計算和討

論,就能找到解決問題的途徑.

25.(2023?全國?九年級競賽)3設a,Ac?是正數(shù),且abc=l,證明:

bca

【答案】見解析

XVZ

【詳解】證明注意到或。=1,設。=一,6=),。=一(x,y,z為正實數(shù)),則

yzx

原不等式=d-i+三)(工-i+n(三-1+))4

yyzzxx

<=>(x+x-y)(y+x-z)(z+y-x)<xyz.①

y^u=x+z-y,v=y+x-z,w=z+y-x,則

〃+v八v+w_w+u_

x=------->0,y=-------->0,z=-------->0.

222

...,/〃+八/+卬\//+〃、/

:是①0UVW<(^―)(-y-)(—y-)?②

不妨設xNyNz,則i/20,「NO.如果卬£0,那么

,c,〃+叭/射+卬、/3+叭I、」_

UVW<0<(―^―)(—y—)(—y—),不等式②成乂;

如果卬>0,又〃>0?>0,那么

(^^)(上32)(一^)之(>/MV)(VVW)(A/W)=NUW即②成立.

a+b+c3

26.(2023?全國?九年級競賽)若」>0力>0,。>0,證明:-ir等號成

—+-+-

abc

立當且僅當。=b=c.

【答案】見解析.

【詳解】解原不等式=(〃+力+C)(,+[+!)29

abc

haca(:h、小

=3+—+―+—+-+------>9.①

abacbc

而2+£之2\母=2二十巴之2、口=25+2之2貯=2故①成立.等號成立當且僅

abVabacVacbc\bc

當a=b=c.

3

注:1,1I稱為三個正數(shù)a,4c的調(diào)和平均值.故本例的結(jié)論可寫為3個正數(shù)的

—+—+—

abc

算術平均值不小于它們的調(diào)和平均值,等號成立當且僅當這3個正數(shù)都相等.

②本題可直接用算術平均值不小于幾何平均值來證明:

_1+:+_1N3*邛1=4又師工把經(jīng)故

abc\abcIjabc3

空公^疵

31+1+1,

k1

27.(2023?全國?九年級競賽)若。>0/>0,c>0,則2(彳-V^)<3("經(jīng)一炳),

等號成立當必=。2.

【答案】見解析

【詳解】證明經(jīng)去括號,移項整理知,要證不等式等價于:3痂0C+2,萬.

而由3個正數(shù)的平均值不等式得

c+2\[ab=c+4ab+4ab>3\]c-4(ib\[ab=3\Jabc?

故原不等式成立.等號成立當且僅當c=V^=a〃=c2

28.(2023?全國?九年級競賽)己知%,工”芻為實數(shù)且N+X2+X3=6,X;+*+X;?18,證

明:04玉<4。=1,2,3).

【答案】見解析

【詳解】證明因為玉+占=6-七,設%=土產(chǎn)+1=空+,,9=七上一/=寧一,,

于是,由已知條件中第二個不等式得

=(手+心(寧—=2(寧f+2八2(3,

2222

2

即36—2xj>(6—x3)=36-12巧+x;=>3x3(x3-4)<0,

所以。4再44.由對稱性得0工百工4,0工彳2?4.

注:①本題也可以用不等式片+石之3。|+公)2來證明:因為3+%2=673,

■T是18-x;Nx;之:(西十占尸之;(6一芯廠?卜血解法與前述相同.

②例12和例13中的代換稱為平均值代換.

29.(2023?全國?九年級競賽)設〃>。/>0,00且cA6+cJ],證明:

abc、3-73

-----7+-----r+-----7>——?

X-a1\-b-1-c22

【答案】見解析

【詳解】證明注意到/+〃+°2=1,原不等式等價于

a1b2c22更①

-------------------i-'----------

a(\-a)b(\-b)c(l-c2)2

2?2

故要證①成立,只要證。。一乖,〃(1一〃2)4法,c(l—C)24訪

而由平均值不等式有

4(j2)=收2/.([-/>(]-/)]

|「2/+(1-/)+(~2)丁〃2八2

m--------------3-------------=收號F

27

同理僅1一/)4泉方,c(l—c?)W法,故①成立,從而原不等式成立.

30.(2023?全國?九年級競賽)是否存在質(zhì)數(shù)p,q,使得關于工的一元二次方程

px2-qx+p=0有有理數(shù)根?

【答案】存在滿足題設的質(zhì)數(shù),理由見解析

【詳解】設方程有有理數(shù)根,則判別式為平方數(shù).

令Ar?-4〃2=",其中,〃是?個非負整數(shù),

貝lj(g_〃)(q+〃)=4pt

由+旦夕一〃與“+〃同奇偶,故同為,禺數(shù).

因此,有如下幾種可能情形:

〃一〃=2,21

(1)b+Tp-P』;

g-〃=4,p~

(2)/〃=P2nq=2+5;

q-n=p,5P

(3)=>q=—;

q+n=4p2

q-n=2p

(4)q+〃=2p=q=2p

QX]九nq=2+H

(5)

q+〃=42

對于情形(I)、(3),p=2,從而,q=5;

對于情形(2)、(5),p=2,從而g=4(不合題意,舍去);

對于情形(4),是合數(shù)(不合題意,舍去)

乂當〃=2國=5時,方程為2x2-54+2=0,它的根為百=;,”2,它們都是有理數(shù).

綜上所述,存在滿足題設的質(zhì)數(shù).

31.(2023?全國?九年級競賽)己知力,。為整數(shù),方程5/+云+°=0的兩根都大于-1且

小于0.求〃和c的值.

【答案】b=5,c=l

【詳解】根據(jù)二次函數(shù)y=5/+法+。的圖象和題設條件知:

當%=0時,5x2+bx+c>0有c>0;①

當x=-l時,5x2+bA+c>0?有Z?>5+c.

因拋物線頂點的橫坐標-工滿足-1<工<0,

2x52x5

則。③

又因△?(),即從一20c20,故20c.④

由①、③、④得100>護之20c,cv5.

若c=l,則由②、④得0〈人<6且從220,得〃=5:

若c=2,則0<〃<7且從240,無整數(shù)解;

若c=3,則0<〃<8且"260,無整數(shù)解;

若c=4,則0vbv9且從280,無整數(shù)解.

故所求。,c的值為8=5,c=l.

32.(2023?全國?九年級競賽)試求兩個不同的自然數(shù),它們的算術平均數(shù)人和幾何平均

數(shù)G都是兩位數(shù),其中A,G中一個可由另一個交換個位和十位數(shù)字得到.

【答案】98和32

M十步一2A

【詳解】設這兩個自然數(shù)為再,占,則-,

中j=G,

即入,七是方程X2—2AY+G2=0的兩個根,所以人士廬e應為自然數(shù),即為

完全平方數(shù).

設A=W9),則G=10〃+々,

可得43=9-11(〃+〃)(〃-〃).

因此,11整除〃+〃或。一人,(n1<^-/?<8,故11整除。+/?.

由4+力K9+8=17,得〃+b=ll,則必須是完全平方數(shù).

由。-/?=(“+與-2/?=11-2〃,知是一個奇數(shù),但4-649-1=8<3'所以=

a+b=\\,a=6,

由<得《

a-b=\b=5.

所以A=65,G=56.

^lA±y]A2-G2=65±33-

因此,所求兩數(shù)為9g和32.

33.(2023?全國?九年級競賽)已知方程/一64-4〃2-32〃=0的根都是整數(shù),求整數(shù)〃

的值.

【答案】整數(shù)〃的值為-18,-8,0,10

【詳解】解得x=3土J4/J+32/7+9?

因為方程的根都是整數(shù),所以,4〃2+32〃+9是完全平方數(shù).設4〃?+32〃+9=4,"?>0.

則有(2/2+8+ni)(2n+8-m)=55.

因為55=lx55=5x||=(—l)x(—55)=(—5)x(-ll),

分別解得〃=10,〃=0,〃=-1&,?=一8.

所以,整數(shù)〃的值為一18,-8,0,10.

34.(2023?全國?九年級競賽)已知a<0,〃W0,c>0,且后二^:=b-2ac,求〃

的最小值.

【答案】4

【詳解】由已知得/―4ac=S—2ac)2,即-〃+1)=0.

乂a<0,c>0,則QCHO,即ac-/?+l=O,故ac=人一1,

b2-4ac=h2-4(b-1)=b2-4〃+4=(h-2)2.

因〃WO,則〃一2K-2,即(8—2尸之(—2)2=4,故力2_4w的最小值為4.

35.(2023?全國?九年級競賽)已知〃為質(zhì)數(shù),使二次方程丁-2〃*+〃2-5〃-1=0的法根

都是整數(shù),求出〃的所有可能值.

【答案】〃=3或7

【詳解】A=4p2—4(pL5p-l)=4(5p+l)為完全平方數(shù),從而5p+1為完全平方數(shù).

令5p+l=〃2,注意至U〃22,故〃24,且〃為整數(shù),于是5〃=(〃+1)(〃-1),

則〃+1,〃-1中至少有一個是5的倍數(shù),即〃=5攵±1儀為整數(shù)).

則5p+1=25k2±IOk+\,p=&(54+2).

由〃為質(zhì)數(shù),5A±2>1知攵=1,〃=3或7.

當〃=3時,原方程變?yōu)?一6工-7=0,得玉=-1,9=7;

當p=7時,原方程變?yōu)?2-144+13=0,得玉=1,9=13.

所以,〃=3或7.

36.(2023?全國?九年級競賽)已知〃為正整數(shù),且*-71能被加+55整除,試求〃的

值.

【答案】n=51

【詳解】設〃2-71=%(7〃+55)夏為整數(shù)),則關于〃的一元二次方程的判別式一定是

完全平方數(shù).

解設〃2-71=-7〃+55)(攵是整數(shù)),則

〃2-74〃-(554+71)=0,

且△=49A2+4(55#+71)=49/+22()&+284應為完全平方數(shù).

因為(74+15)2=49/+210A+225

<49公+220女+284

<49必+23版+289

=6+17)2,

所以△=(74+16)2,從而(7左+16)2=49r+22(次+284.

于是,k=7,有〃2-71=7(7〃+55),

解得〃=-8(不合題意)或57.

所以〃=57.

37.(2023?全國?九年級競賽)試求出這樣的四位數(shù),它的前四位數(shù)字與后兩位數(shù)字分別

組成的二位數(shù)之和的平方,恰好等于這個四位數(shù).

【答案】四位數(shù)為2025或3025

【詳解】設這個四位數(shù)前后兩個兩位數(shù),分別是x,-則10Kx,yW99,且

(x+y)2=100x+y,

展開得關于工的二次方程:x2+2(y-5O)x4-(/-y)=O.

^A=4(y-50)2-4(/-y)=4(2500-99y)>0W,方程有實數(shù)解.

即當),W25時,方程有解x=50-),土j2500_99.y.

因為x為整數(shù),故2500-99.V必為完全平方數(shù),而完全立方數(shù)的末位數(shù)字僅可能為0,1,

4,5,6,9.

故僅當),=25時,2500-99x25=52,此時x=30或20.

故此四位數(shù)為2025或3025.

38.(2023?全國?九年級競賽)已知,〃,〃為整數(shù),〃為整數(shù),且滿足2〃/+〃2+3m+,?-1=0,

求/〃,〃的值.

【答案】〃?=一1,〃=1或〃?=一1,〃=一2

【詳解】以加為主元,得關于加的一元二次方程2機2+3帆+〃2+〃一1=o.

因為,〃有整數(shù)解,所以A=9—8(〃2+〃-1)=—8〃2-8〃+17之0,

解得-2-屈4〃4-2+國

44

又〃為整數(shù),所以一

乂方程有整數(shù)解,則△=-8/-8〃+17必為完全平方數(shù),從而〃=-2,1.

當〃=-2或〃=1時,代入原方程均有2m2+3〃?+1=0,

解得班=-1,機2=-萬(舍去).

故m=-1,〃=1或/〃=-1,〃=—2.

39.(2023?全國?九年級競賽)〃為整數(shù),若存在整數(shù)人和。使

(x+?)(x-15)-25=(x-/?)(x+c),求整數(shù)a的值.

【答案】a的值為9,-15,-39

【詳解】依題意知方程(x+a)(x-15)=25有兩整數(shù)根

而25=(土5)x(±5)=(±l)x(±25),

x+a=25,x+a=-5,=15,

則有,V

x-\5=-5,x-15=5,[x-15=l,

x+a=-25,x+a=1,x+a=-l,

x-15=-l,[x-15=25,x-15=-25.

?=-15,a=-15,ja=9,a=9,Ja=-39,(a=-39,

解得[x=_10,[x=14,1j=40.

x=20.x=10,[x=16,

由此可以看出每一個a對應兩個整數(shù),因此所求的整數(shù)〃的值為9,-15,-39.

40.(2023?全國?九年級競賽)力都是大于1的整數(shù),a,人為何值,方程

abx2一(4/+。+2/?+〃卜+(4〃+1)(2〃+1)=0有兩個整數(shù)根.

(a=11Ja=3,[a=5,

【答案】當L<八(7時,方程有兩個整數(shù)根

【詳解】[火-(28+1)北取一(4〃+1)]=0,所以方程的兩根是絲上1,華1

ab

(i);""+?=1,則4a+1=8Z?+5.

a

所以汕+5被從整除,得〃整除5.

(ii)若絲口>1,因?qū)O+1是奇數(shù),

a

所以也是奇數(shù),叫23,

aa

即MK2〃+1<3d則

4tz+14a+

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