2018屆高考(新課標(biāo))數(shù)學(xué)(理)大一輪復(fù)習(xí)課件熱點(diǎn)專題六概率及統(tǒng)計(jì)中熱點(diǎn)問題

§12.7熱點(diǎn)專題——概率與統(tǒng)計(jì)中的熱點(diǎn)問題熱點(diǎn)一求離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量的均值與方差是每年的熱點(diǎn)，常與古典概型、互斥事件、對(duì)立事件、事件的相互獨(dú)立等相結(jié)合考查，弄清隨機(jī)變量的取值及其對(duì)應(yīng)的概率是解決此類問題的關(guān)鍵．【例1】

(2015·安徽高考)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束．(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)．【方法規(guī)律】

離散型隨機(jī)變量的均值和方差的求解，一般分兩步：(1)定型，即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布等屬于特殊類型；(2)定性，對(duì)于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對(duì)于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計(jì)算，注意離散型隨機(jī)變量的取值與概率間的對(duì)應(yīng)．熱點(diǎn)二均值與方差的應(yīng)用利用離散型隨機(jī)變量的均值與方差，對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的問題進(jìn)行分析、作出決策是高考考查離散型隨機(jī)變量分布列、均值與方差的一個(gè)重要考向，常與古典概型、二項(xiàng)分布、相互獨(dú)立事件概率等知識(shí)綜合，以解答題的形式出現(xiàn)．【例2】

計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫(kù)區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年．將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立．(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40＜X＜8080≤X≤120X＞120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損800萬(wàn)元．欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形．依題意，當(dāng)40＜X＜80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；當(dāng)X≥80時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得Y的分布列如下X420010000P0.20.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形．依題意，當(dāng)40＜X＜80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40＜X＜80)＝p1＝0.2；當(dāng)80≤X≤120時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；當(dāng)X＞120時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y＝5000×3＝15000，因此P(Y＝15000)＝P(X＞120)＝p3＝0.1.因此得Y的分布列如下：所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15000×0.1＝8620.綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái)．Y3400920015000P0.20.70.1【解題模板】

解決均值與方差的應(yīng)用問題的步驟變式訓(xùn)練2．某電視臺(tái)舉辦猜歌曲的娛樂節(jié)目：隨機(jī)播放歌曲片段，選手猜出歌曲名稱可以贏取獎(jiǎng)金．曲庫(kù)中歌曲足夠多，不重復(fù)抽?。荣惞卜?關(guān)：前4關(guān)播放常見歌曲；第5，6關(guān)播放常見或罕見歌曲，曲庫(kù)中常見歌曲與罕見歌曲的數(shù)量比為1∶4；第7關(guān)播放罕見歌曲，通過關(guān)卡與對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金如下表所示．選手在通過每一關(guān)(最后一關(guān)除外)之后可以自主決定退出比賽或繼續(xù)闖關(guān)，若退出比賽，則可獲得已經(jīng)通過關(guān)卡對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)金之和；若繼續(xù)闖關(guān)但闖關(guān)失敗，則不獲得任何獎(jiǎng)金.關(guān)卡關(guān)卡獎(jiǎng)金/元累計(jì)獎(jiǎng)金/元110001000220003000330006000440001000058000180006120003000072000050000(1)選手甲準(zhǔn)備參賽，在家進(jìn)行自我測(cè)試時(shí)50首常見歌曲，甲能猜對(duì)40首；40首罕見歌曲，甲只能猜對(duì)2首，以甲在自我測(cè)試中猜對(duì)常見歌曲與罕見歌曲的頻率為概率．①若比賽中，甲已順利通過前5關(guān)，求甲闖過第6關(guān)的概率；②在比賽前，甲計(jì)劃若能通過第1，2，3關(guān)的任意一關(guān)，則繼續(xù)；若能通過第4關(guān)，則退出，求這種情況下甲獲得獎(jiǎng)金的均值；(2)設(shè)選手乙猜對(duì)罕見歌曲的概率為p，且乙已經(jīng)順利通過前6關(guān)，當(dāng)p滿足什么條件時(shí)，乙選擇繼續(xù)闖第7關(guān)更有利？Y050000P1－pp熱點(diǎn)三概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題概率與統(tǒng)計(jì)作為考查學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn)．它與其他知識(shí)融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性．【例3】

經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購(gòu)進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t，100≤X≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)．(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57000元的概率；(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的頻率)，求T的均值．(2)由(1)知利潤(rùn)T不少于57000元，當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57000元概率的估計(jì)值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以ET＝45000×0.1＋53000×0.2＋61000×0.3＋65000×0.4＝59400.【方法規(guī)律】

統(tǒng)計(jì)以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計(jì)算為主，概率以考查概率計(jì)算為主，往往和實(shí)際問題相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對(duì)應(yīng)起來，只有這樣才能有效地解決問題．變式訓(xùn)練3．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2.①利用該正態(tài)分布，求P(187.8＜Z＜212.2)；【解析】

(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2分別為x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)