《函數(shù)極值最值》課件

函數(shù)極值最值課程大綱函數(shù)極值的概念理解函數(shù)極值的概念，學(xué)習(xí)如何判斷函數(shù)在某一點是否存在極值。函數(shù)的單調(diào)性掌握函數(shù)單調(diào)性的判定方法，并利用單調(diào)性求解函數(shù)的極值。求解極值的一般步驟學(xué)習(xí)求解函數(shù)極值的一般步驟，包括求導(dǎo)、求臨界點、判斷極值等。函數(shù)值最大最小問題了解函數(shù)值最大最小問題的定義，并學(xué)習(xí)如何求解函數(shù)的最大值和最小值。函數(shù)極值的概念極值函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)取得的最大值或最小值稱為極值。極值點是指函數(shù)取得極值時的自變量的值。極大值如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的某個點取得的最大值，則稱該點為極大值點，該最大值為極大值。極小值如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的某個點取得的最小值，則稱該點為極小值點，該最小值為極小值。函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)遞增當(dāng)自變量增大時，函數(shù)值也隨之增大。單調(diào)遞減當(dāng)自變量增大時，函數(shù)值隨之減小。函數(shù)的臨界點1導(dǎo)數(shù)為零在函數(shù)定義域內(nèi)，導(dǎo)數(shù)為零的點稱為函數(shù)的駐點。2導(dǎo)數(shù)不存在在函數(shù)定義域內(nèi)，導(dǎo)數(shù)不存在的點也稱為函數(shù)的臨界點。3重要性臨界點是函數(shù)極值點存在的必要條件，但不是充分條件。極大值和極小值極大值函數(shù)在某點處取得的**最大值**，稱為該函數(shù)的極大值。極小值函數(shù)在某點處取得的**最小值**，稱為該函數(shù)的極小值。函數(shù)圖像與極值的關(guān)系函數(shù)圖像上的極值點對應(yīng)于函數(shù)圖像的轉(zhuǎn)折點。極大值點對應(yīng)于函數(shù)圖像的最高點，極小值點對應(yīng)于函數(shù)圖像的最低點。理解函數(shù)圖像與極值的關(guān)系可以幫助我們更好地理解函數(shù)的性質(zhì)，并利用圖像來直觀地判斷函數(shù)的極值點。求解極值的一般步驟求導(dǎo)對函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù).求駐點令導(dǎo)函數(shù)等于零，解方程，得到駐點.判別極值利用二階導(dǎo)數(shù)或其他方法判定駐點處的極值類型，是極大值、極小值還是鞍點.求最值在極值點和定義域端點處比較函數(shù)值，確定最大值和最小值.一元二次函數(shù)的極值一元三次函數(shù)的極值1導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)，找到臨界點。2符號分析導(dǎo)數(shù)符號變化，確定極值點。3驗證代入原函數(shù)驗證極值點的極值類型。多元函數(shù)的極值一元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點函數(shù)的單調(diào)性變化函數(shù)在不同方向上的單調(diào)性變化函數(shù)值最大最小問題求解最大值尋找函數(shù)在定義域內(nèi)取得最大值的點。求解最小值尋找函數(shù)在定義域內(nèi)取得最小值的點。最大最小值應(yīng)用實例一求函數(shù)f(x)=x^2-2x+3在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值。首先，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f'(x)=2x-2。令f'(x)=0，解得x=1，此點為函數(shù)的唯一駐點。接著，比較函數(shù)在區(qū)間端點和駐點的函數(shù)值：f(0)=3，f(1)=2，f(2)=3。因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為3，最小值為2。最大最小值應(yīng)用實例二求函數(shù)y=x2-4x+3在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。首先，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：y'=2x-4。令導(dǎo)數(shù)為零，得到臨界點x=2。比較函數(shù)在端點和臨界點處的函數(shù)值：y(0)=3，y(2)=-1，y(3)=0。所以，函數(shù)在區(qū)間[0,3]上的最大值為3，最小值為-1。最大最小值應(yīng)用實例三在實際生活中，我們經(jīng)常遇到求函數(shù)最大值或最小值的問題。例如，在生產(chǎn)中，我們需要確定生產(chǎn)成本最低的生產(chǎn)方案；在投資中，我們需要確定收益最大的投資方案。最大最小值應(yīng)用實例四屋頂設(shè)計假設(shè)我們要設(shè)計一個矩形屋頂，其面積為定值，求當(dāng)屋頂周長最小時，屋頂?shù)拈L和寬各是多少？三角形面積已知三角形兩邊長分別為a和b，求當(dāng)?shù)谌呴L為多少時，三角形的面積最大？圓形面積求圓形面積的最大值，其中圓的周長為定值。最大最小值應(yīng)用實例五某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為C(x)=x^2+2x+5，其中x表示產(chǎn)量，單位為千件。已知該產(chǎn)品的銷售價格為每千件10元，求該公司的利潤最大值。設(shè)該公司的利潤函數(shù)為P(x)，則P(x)=R(x)-C(x)=10x-(x^2+2x+5)=-x^2+8x-5。求P(x)的最大值，即求函數(shù)P(x)在定義域上的最大值。最大最小值應(yīng)用實例六在實際應(yīng)用中，很多問題都可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題，例如：求最大利潤、最小成本、最優(yōu)設(shè)計等。這些問題的求解需要運用函數(shù)的極值和最值知識，并結(jié)合實際情況進(jìn)行分析和處理。最大最小值應(yīng)用實例七在實際生活中，函數(shù)的極值問題與最大值、最小值問題有著廣泛的應(yīng)用，可以幫助我們解決很多實際問題。例如，我們可以利用函數(shù)的極值來求解某個特定條件下的最優(yōu)解，比如最優(yōu)生產(chǎn)計劃、最優(yōu)投資方案、最優(yōu)設(shè)計參數(shù)等等。最大最小值應(yīng)用實例八一個長方形的周長為20厘米，求其面積的最大值。設(shè)長方形的長為x厘米，寬為y厘米，則有2x+2y=20，即x+y=10。長方形的面積為S=xy，將y=10-x代入，得到S=x(10-x)=-x^2+10x。當(dāng)x=5時，S取最大值25，此時長方形為正方形，面積最大。最大最小值應(yīng)用實例九最短路徑問題在旅行規(guī)劃中，最大最小值可以用來計算最短路徑，例如，在山區(qū)遠(yuǎn)足時，找到從起點到終點的最短路徑。最優(yōu)資源分配通過計算，我們可以找到最優(yōu)的資源分配方案，以最大限度地利用資源，例如，在物流中，通過優(yōu)化路線和車輛分配，可以最大程度地降低運輸成本。最大最小值應(yīng)用實例十在實際應(yīng)用中，函數(shù)的極值和最值問題常常與優(yōu)化問題息息相關(guān)。例如，在生產(chǎn)中，我們需要確定最佳的生產(chǎn)計劃來最大化利潤，最小化成本；在工程設(shè)計中，我們需要找到結(jié)構(gòu)最優(yōu)的方案，以確保最大承載能力，最小化材料消耗。復(fù)習(xí)與總結(jié)函數(shù)極值和最值本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了函數(shù)極值和最值的定義、性質(zhì)、求解方法以及應(yīng)用。關(guān)鍵概念函數(shù)極值、最值、單調(diào)性、臨界點、求解步驟等概念。課后練習(xí)一課后練習(xí)一

本節(jié)課后練習(xí)分為以下幾部分:1.函數(shù)極值概念的理解與應(yīng)用2.函數(shù)單調(diào)性的判斷與應(yīng)用3.函數(shù)臨界點的識別與分析4.極大值和極小值的求解與應(yīng)用5.函數(shù)圖像與極值關(guān)系的理解6.求解極值的一般步驟的掌握7.一元二次函數(shù)和一元三次函數(shù)的極值求解8.多元函數(shù)的極值概念與求解方法9.函數(shù)值最大最小問題的分析與求解課后練習(xí)二為了鞏固本節(jié)課的知識，請同學(xué)們完成以下練習(xí)：求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x$在區(qū)間$[-1,2]$上的最大值和最小值。求函數(shù)$g(x)=\frac{x^2+1}{x}$在區(qū)間$[1,3]$上的最大值和最小值。求函數(shù)$h(x)=\sinx+\cosx$在區(qū)間$[0,2\pi]$上的最大值和最小值。課后練習(xí)三求函數(shù)的極值y=x3-3x2+2求函數(shù)的最大值y=sinx,0≤x≤2π求函數(shù)的最小值y=x2+2x+1,-1≤x≤1課后練習(xí)四請分別求解以下函數(shù)的極值：1.y=x^3-3x^2+22.y=x^4-2x