2025屆高考數(shù)學(xué)一輪專題重組卷第一部分專題五三角函數(shù)文含解析

PAGE專題五三角函數(shù)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(2024·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零點(diǎn)個數(shù)為()A．2B．3C．4D．5答案B解析令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinxcosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0,2π]，∴由sinx＝0得x＝0，π或2π，由cosx＝1得x＝0或2π.故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為0，π，2π，共3個．故選B.2．(2024·吉林市第一次調(diào)研測試)將函數(shù)f(x)＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,6)))－1的圖象全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得函數(shù)的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度，最終得到圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則φ的最小值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(7,6)D.eq\f(5,6)答案D解析將函數(shù)f(x)＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,6)))－1＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πx＋\f(π,3)))的圖象全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可得y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,3)))的圖象；再把所得函數(shù)的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度，可得y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx－πφ＋\f(π,3)))的圖象．最終得到圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則－πφ＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.故當(dāng)k＝－1時，φ取得最小值為eq\f(5,6).故選D.3．(2024·廣東茂名綜合測試)函數(shù)f(x)＝sin2x＋sinx在[－π，π]的圖象大致是()答案A解析明顯f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，解除D；在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上，sin2x＞0，sinx＞0，即f(x)＞0，∴解除B和C.故選A.4．(2024·天河區(qū)一模)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，若x1，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，且f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，則f(x1＋x2)＝()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)答案D解析由圖象可得A＝1，eq\f(2π,2ω)＝eq\f(π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))，解得ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，代入點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝0，∴eq\f(2π,3)＋φ＝kπ，∴φ＝kπ－eq\f(2π,3)，k∈Z，又|φ|<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)＋\f(π,3)))＝1，∴f(x)的圖象過eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，1))，又x1，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，且f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，∴x1＋x2＝eq\f(π,12)×2＝eq\f(π,6)，∴f(x1＋x2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2).故選D.5．(2024·平頂山質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)＝2eq\r(3)cos2x＋sin2x－a在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上有最大值2，則a＝()A．2eq\r(3)－2 B.eq\r(3)－2C.eq\r(3) D.eq\r(3)－1答案C解析f(x)＝2eq\r(3)×eq\f(1＋cos2x,2)＋sin2x－a＝eq\r(3)cos2x＋sin2x＋eq\r(3)－a＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋eq\r(3)－a，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))時，2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))，則當(dāng)2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)時，即x＝eq\f(π,12)時，f(x)有最大值2＋eq\r(3)－a，由2＋eq\r(3)－a＝2，解得a＝eq\r(3).故選C.6．(2024·四川省綿陽市一診)已知點(diǎn)A，B，C在函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的圖象上，如圖，若AB⊥BC，則ω＝()A．1B．πC.eq\f(1,2)D.eq\f(π,2)答案D解析在Rt△ABC中，設(shè)AO＝x，則AC＝4x，由射影定理可得AB2＝AO·AC，即AO2＋OB2＝AO·AC，可得x2＋(eq\r(3))2＝x·4x，解得x＝1或－1(舍去)，可得AC＝4，由函數(shù)圖象可得T＝4＝eq\f(2π,ω)，解得ω＝eq\f(π,2).故選D.7．(2024·全國卷Ⅱ)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，2sin2α＝cos2α＋1，則sinα＝()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2\r(5),5)答案B解析由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinα·cosα＝2cos2α.∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2sinα＝cosα.又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝eq\f(1,5).又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinα＝eq\f(\r(5),5).故選B.8．(2024·黃岡二模)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的最小正周期為π，則該函數(shù)的圖象()A．關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))對稱B．關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))對稱C．關(guān)于直線x＝eq\f(π,12)對稱D．關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱答案C解析∵T＝eq\f(2π,ω)＝π，∴ω＝2，于是f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)＋\f(π,3)))＝1≠0，故A錯誤；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋\f(π,3)))≠0，故B錯誤；又∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)＋\f(π,3)))＝1，故C正確；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,3)＋\f(π,3)))≠±1，故D錯誤．故選C.9．(2024·拉薩中學(xué)月考)若sin(π－α)＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sin2α－cos2eq\f(α,2)的值等于()A.eq\f(4,25)B.eq\f(25,4)C.eq\f(25,16)D.eq\f(16,25)答案A解析由sin(π－α)＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，則sin2α－cos2eq\f(α,2)＝2sinαcosα－eq\f(1＋cosα,2)＝2×eq\f(4,5)×eq\f(3,5)－eq\f(1＋\f(3,5),2)＝eq\f(24,25)－eq\f(4,5)＝eq\f(4,25).故選A.10．(2024·濰坊期末)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－eq\f(\r(3),3)，則cos2α＝()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)答案C解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－sinα＝－eq\f(\r(3),3)，得到sinα＝eq\f(\r(3),3)，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).故選C.11．(2024·廈門質(zhì)檢)已知銳角α滿意coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝()A.eq\f(12,25)B．±eq\f(12,25)C.eq\f(24,25)D．±eq\f(24,25)答案C解析∵銳角α滿意coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)，∴α＋eq\f(π,6)也是銳角，由三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))＝eq\f(4,5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(24,25).故選C.12．(2024·曲靖一中質(zhì)量監(jiān)測)函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))具有的性質(zhì)是()A．最大值為eq\r(3)，圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)對稱B．最大值為1，圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)對稱C．最大值為eq\r(3)，圖象關(guān)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))對稱D．最大值為1，圖象關(guān)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))對稱答案C解析y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝－sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx－eq\f(1,2)sinx＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))，∴函數(shù)的最大值為eq\r(3)，解除B，D；令eq\f(π,6)－x＝0，求得x＝eq\f(π,6)，所以函數(shù)圖象關(guān)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))對稱．故選C.第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．(2024·廣西百色調(diào)研)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，若f(4)＝－f(6)＝－1，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，則f(2024)＝________.答案－1解析由f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象，f(4)＝－f(6)＝－1，得周期T＝2×(6－4)＝4，所以ω＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2)，又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，所以Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋φ))＝0，又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,4)，又f(4)＝－1，所以Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,4)))＝－1，解得A＝eq\r(2)，所以f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x－\f(π,4)))，所以f(2024)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－\f(π,4)))＝eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－1.14．(2024·江蘇高考)已知eq\f(tanα,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝－eq\f(2,3)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))的值是________．答案eq\f(\r(2),10)解析解法一：由eq\f(tanα,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(tanα,\f(tanα＋1,1－tanα))＝eq\f(tanα1－tanα,tanα＋1)＝－eq\f(2,3)，解得tanα＝2或－eq\f(1,3).sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sin2α＋cos2α)＝eq\f(\r(2),2)(2sinαcosα＋2cos2α－1)＝eq\r(2)(sinαcosα＋cos2α)－eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)·eq\f(sinαcosα＋cos2α,sin2α＋cos2α)－eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)·eq\f(tanα＋1,tan2α＋1)－eq\f(\r(2),2)，將tanα＝2和－eq\f(1,3)分別代入得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),10).解法二：∵eq\f(tanα,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝eq\f(sinαcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),cosαsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))＝－eq\f(2,3)，∴sinαcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(2,3)cosαsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))).①又sineq\f(π,4)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))cosα－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sinα＝eq\f(\r(2),2)，②由①②，解得sinαcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),5)，cosαsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(3\r(2),10).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))))＝sinαcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＋cosαsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),10).15．(2024·山西二模)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，則函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上的值域為________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))解析f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＝eq\f(1,2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(2π,3)))－eq\f(1,2).可求得值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0)).16．(2024·上海二模)已知函數(shù)f(x)＝sin[2(x＋φ)](φ>0)是偶函數(shù)，則φ的最小值是________．答案eq\f(π,4)解析正余弦函數(shù)在對稱軸處取得最值，由題意得，f(0)＝sin2φ＝±1，即2φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得φ＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)(k∈Z)，又φ>0，∴φ的最小值是eq\f(π,4).三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(2024·浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinx，x∈R.(1)已知θ∈[0,2π)，函數(shù)f(x＋θ)是偶函數(shù)，求θ的值；(2)求函數(shù)y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))))2＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))2的值域．解(1)因為f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函數(shù)，所以對隨意實(shí)數(shù)x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sinxcosθ＋cosxsinθ＝－sinxcosθ＋cosxsinθ，故2sinxcosθ＝0，所以cosθ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝eq\f(π,2)或θ＝eq\f(3π,2).(2)y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))))2＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))2＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))),2)＋eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))),2)＝1－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos2x－\f(3,2)sin2x))＝1－eq\f(\r(3),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).因此，所求函數(shù)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),2)，1＋\f(\r(3),2))).18．(本小題滿分12分)(2024·宜賓二診)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的圖象的一個對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))，且圖象上最高點(diǎn)與相鄰最低點(diǎn)的距離為eq\r(\f(π2,4)＋12).(1)求ω和φ的值；(2)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,12)))＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<α<\f(π,2)))，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值．解(1)由圖象上相鄰兩最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離為eq\r(\f(π2,4)＋12)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,|ω|)))2＋12＝12＋eq\f(π2,4)，∴ω＝2.∵函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)的圖象的一個對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，0))，∴2×eq\f(π,12)＋φ＝kπ，k∈Z.∵－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(π,6).(2)由(1)知f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,12)))＝eq\r(3)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,12)))－\f(π,6)))＝eq\r(3)sinα＝eq\f(\r(3),4)，∴sinα＝eq\f(1,4)，∵0<α<eq\f(π,2)，∴cosα＝eq\f(\r(15),4)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(cosα－sinα)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(15)－1,4)＝eq\f(\r(30)－\r(2),8).19．(本小題滿分12分)(2024·北京四中調(diào)研)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))在它的某一個周期內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(11π,12))).將y＝f(x)的圖象先向左平移eq\f(π,4)個單位，再將圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)(縱坐標(biāo)不變)，所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)記為g(x)．(1)求g(x)的解析式；(2)求g(x)在區(qū)間x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最大值和最小值．解(1)由題意知，eq\f(T,2)＝eq\f(11π,12)－eq\f(5π,12)＝eq\f(π,2)，所以T＝π，ω＝2，又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(5π,12)＋φ))＝1，所以φ＝－eq\f(π,3)，f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，則g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,6))).(2)g(x)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))上為增函數(shù)，在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(π,4)))上為減函數(shù)，所以g(x)max＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝1，g(x)min＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－eq\f(1,2)，故函數(shù)g(x)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上的最大值和最小值分別為1和－eq\f(1,2).20．(本小題滿分12分)(2024·重慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝4eq\r(3)sinxcosx＋sin2x－3cos2x＋1.(1)求函數(shù)f(x)的對稱中心及最小正周期；(2)△ABC的外接圓直徑為3eq\r(3)，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(2,3)a，且acosB＋bsinB＝c，求sinB的值．解(1)f(x)＝4eq\r(3)sinxcosx＋sin2x－3cos2x＋1＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).所以f(x)的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，最小正周期為π.(2)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2＝eq\f(2,3)a，∴a＝3.∵eq\f(a,sinA)＝2R,2R＝3eq\r(3)，∴sinA＝eq\f(\r(3),3)，∵acosB＋bsinB＝c，∴sinAcosB＋sin2B＝sinC，又∵A＋B＋C＝π，∴sinAcosB＋sin2B＝sin(A＋B)，即sinAcosB＋sin2B＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin2B＝cosAsinB，∵B∈(0，π)，∴sinB≠0.∴sinB＝cosA，∵sinB>0，∴cosA>0，∴cosA＝eq\f(\r(6),3).∴sinB＝eq\f(\r(6),3).21．(本小題滿分12分)(2024·福建惠安惠南中學(xué)月考)已知cosα－sinα＝eq\f(5\r(2),13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))).(1)求sinαcosα的值；(2)求eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)))的值．解(1)∵cosα－sinα＝eq\f(5\r(2),13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，平方可得1－2sinαcosα＝eq\f(50,169)，∴sinαcosα＝eq\f(119,338).(2)s