2019屆北京專版中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章圖形的認識4.4圓試卷講義

§4.4圓中考數(shù)學(xué)

(北京專用)2014-2018年北京中考題組五年中考1.(2014北京,7,4分)如圖,☉O的直徑AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°,OC=4,CD的長為

(

)

A.2

B.4

C.4

D.8答案

C∵CO=AO,∴∠COE=2∠A=45°.∵OC=4,∴CE=OC·sin∠COE=4×

=2

.∵AB⊥CD,∴CD=2CE=4

.故選C.2.(2018北京,12,2分)如圖,點A,B,C,D在☉O上,?=?,∠CAD=30°,∠ACD=50°,則∠ADB=

°.

答案

70解析∵?=?,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.3.(2017北京,14,3分)如圖,AB為☉O的直徑,C,D為☉O上的點,

=?.若∠CAB=40°,則∠CAD=

°.

答案

25解析連接BC,BD,∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°.∵

=?,∴∠ABD=∠CBD=

∠ABC=25°,∴∠CAD=∠CBD=25°.

4.(2018北京,22,5分)如圖,AB是☉O的直徑,過☉O外一點P作☉O的兩條切線PC,PD,切點分別

為C,D,連接OP,CD.(1)求證:OP⊥CD;(2)連接AD,BC,若∠DAB=50°,∠CBA=70°,OA=2,求OP的長.

解析

(1)證明:∵PC,PD是☉O的兩條切線,∴PD=PC,∠OPD=∠OPC,∴OP⊥CD.(2)設(shè)OP與CD交于點Q,連接OD.∵OD=OA,∴∠ODA=∠OAD=50°,∵∠CBA=70°,∴∠ADC=110°,∴∠ODC=60°.又∵OP⊥CD,∴∠OQD=90°,∴OQ=OD·sin60°=2×

=

,DQ=OD·cos60°=1.∵PD是切線,∴∠PDO=90°,∴∠PDC=30°,∴PQ=DQ·tan30°=1×

=

.∴OP=PQ+QO=

.思路分析

本題第(1)問可以通過切線的相關(guān)定理和等腰三角形“三線合一”來解決.本題第

(2)問需要添加輔助線構(gòu)造三角形來推導(dǎo)角的度數(shù),借助特殊角的三角函數(shù)解決問題.5.(2017北京,24,5分)如圖,AB是☉O的一條弦,E是AB的中點,過點E作EC⊥OA于點C,過點B作☉O的切線交CE的延長線于點D.(1)求證:DB=DE;(2)若AB=12,BD=5,求☉O的半徑.

解析

(1)證明:∵BD是☉O的切線,∴∠OBD=90°.∵CE⊥OA,∴∠ACE=90°.∴∠OBA+∠EBD=∠A+∠AEC=90°.∵OA=OB,∴∠A=∠OBA,∴∠EBD=∠AEC.又∵∠AEC=∠BED,∴∠BED=∠EBD,∴DB=DE.(2)如圖,連接OE,則OE⊥AB,AE=BE=6.過點D作DM⊥AB于點M,∵DE=DB,∴BM=

BE=3,在Rt△BMD中,由勾股定理得,DM=4.易證∠OBE=∠BDM,又∠BEO=∠DMB,∴Rt△OBE∽Rt△BDM,∴

=

,∴OB=

.6.(2016北京,25,5分)如圖,AB為☉O的直徑,F為弦AC的中點,連接OF并延長交?于點D,過點D作☉O的切線,交BA的延長線于點E.(1)求證:AC∥DE;(2)連接CD,若OA=AE=a,寫出求四邊形ACDE面積的思路.

解析

(1)證明:連接OC,如圖.

∵OA=OC,F為AC的中點,∴OD⊥AC.∵DE是☉O的切線,∴OD⊥DE.∴AC∥DE.(2)求解思路如下:①在Rt△ODE中,由OA=AE=OD=a,可得△ODE,△OFA為含30°角的直角三角形;②由∠ACD=

∠AOD=30°,可知CD∥OE;③由AC∥DE,可知四邊形ACDE是平行四邊形;④由△ODE,△OFA為含有30°角的直角三角形,可求DE,DF的長,進而可求四邊形ACDE的面

積.

思路分析

(1)要證明兩條直線平行,在圓中可借助90°角的相關(guān)性質(zhì)(切線的性質(zhì)、等腰三角

形的三線合一、直徑所對的圓周角等);(2)要從邊的數(shù)量關(guān)系得特殊角的數(shù)量關(guān)系,從而求相

應(yīng)的線段長.解題關(guān)鍵

解決本題第(2)問的關(guān)鍵是要從邊的數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn)特殊角的數(shù)量關(guān)系,從而發(fā)現(xiàn)特

殊的直角三角形.7.(2015北京,24,5分)如圖,AB是☉O的直徑,過點B作☉O的切線BM,弦CD∥BM,交AB于點F,且

=?,連接AC,AD,延長AD交BM于點E.(1)求證:△ACD是等邊三角形;(2)連接OE,若DE=2,求OE的長.

解析

(1)證明:∵AB是☉O的直徑,BM是☉O的切線,∴AB⊥BM.∵CD∥BM,∴AB⊥CD.∴

=?.∵

=?,∴

=?=?.∴AD=AC=DC.∴△ACD是等邊三角形.(2)連接BD,如圖.

∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°.∵∠ABD=∠C=60°,∴∠DBE=30°.在Rt△BDE中,DE=2,可得BE=4,BD=2

.在Rt△ABD中,可得AB=4

.∴OB=2

.在Rt△OBE中,由勾股定理可得OE=2

.思路分析

(1)要證明等邊三角形,可以借助弧等?弦等的性質(zhì).(2)多次應(yīng)用勾股定理求線段

的長.解題關(guān)鍵

解決本題的關(guān)鍵是要熟練應(yīng)用解直角三角形的相關(guān)知識,發(fā)現(xiàn)可解的直角三角形.8.(2014北京,21,5分)如圖,AB是☉O的直徑,C是?的中點,☉O的切線BD交AC的延長線于點D,E是OB的中點,CE的延長線交切線DB于點F,AF交☉O于點H,連接BH.(1)求證:AC=CD;(2)若OB=2,求BH的長.

解析

(1)證明:連接BC.

∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵C是?的中點,∴?=?.∴AC=BC.∴∠CAB=∠CBA=45°.∵BD是☉O的切線,∴∠ABD=90°.∴∠CBD=∠D=45°.∴BC=CD.∴AC=CD.(2)連接OC.∵OA=OC,∴∠OCA=∠CAB=45°.∴∠COE=90°.∵E是OB的中點,∴OE=BE.∵∠CEO=∠FEB,∴Rt△COE≌Rt△FBE.∴BF=OC.∵OB=2,∴BF=2.由勾股定理,得AF=2

.∵∠ABF=∠AHB=90°,∴BH=

=

.9.(2013北京,20,5分)如圖,AB是☉O的直徑,PA,PC與☉O分別相切于點A,C,PC交AB的延長線于

點D,DE⊥PO交PO的延長線于點E.(1)求證:∠EPD=∠EDO;(2)若PC=6,tan∠PDA=

,求OE的長.

解析

(1)證明:∵PA,PC與☉O分別相切于點A,C,∴PA=PC,∠APO=∠EPD.∵AB是☉O的直徑,∴PA⊥AB.∵DE⊥PO,∴∠A=∠E=90°.∵∠POA=∠DOE,∴∠APO=∠EDO.∴∠EPD=∠EDO.(2)連接OC,則OC⊥PD.

在Rt△PAD中,∠A=90°,PA=PC=6,tan∠PDA=

,可得AD=8,PD=10.∴CD=4.在Rt△OCD中,∠OCD=90°,CD=4,tan∠ODC=

,可得OC=3,OD=5.在Rt△PCO中,由勾股定理得,PO=3

.可證得Rt△DEO∽Rt△PCO.∴

=

,即

=

.∴OE=

.10.(2012北京,20,5分)已知:如圖,AB是☉O的直徑,C是☉O上一點,OD⊥BC于點D,過點C作☉O

的切線,交OD的延長線于點E,連接BE.(1)求證:BE與☉O相切;(2)連接AD并延長交BE于點F,若OB=9,sin∠ABC=

,求BF的長.

解析

(1)證明:連接OC.

∵EC與☉O相切,C為切點,∴∠ECO=90°.∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC.∵OD⊥BC,∴DB=DC.∴直線OE是線段BC的垂直平分線.∴EB=EC.∴∠ECB=∠EBC.∴∠ECO=∠EBO.∴∠EBO=90°.∵AB是☉O的直徑,∴BE與☉O相切.(2)過點D作DM⊥AB于點M,則DM∥FB.在Rt△ODB中,∵∠ODB=90°,OB=9,sin∠ABC=

,∴OD=OB·sin∠ABC=6.由勾股定理得BD=

=3

.在Rt△DMB中,DM=BD·sin∠ABC=2

,BM=

=5.∵O是AB的中點,∴AB=18.∴AM=AB-BM=13.∵DM∥FB,∴△AMD∽△ABF.∴

=

.∴BF=

=

.教師專用題組考點一圓的有關(guān)概念及性質(zhì)1.(2018陜西,9,3分)如圖,△ABC是☉O的內(nèi)接三角形,AB=AC,∠BCA=65°,作CD∥AB,并與☉O

相交于點D,連接BD,則∠DBC的大小為

(

)

A.15°

B.25°

C.35°

D.45°答案

A∵AB=AC,∠BCA=65°,∴∠BCA=∠ABC=65°,∴∠BAC=50°,∵CD∥AB,∴∠BAC=

∠ACD=50°,根據(jù)圓周角定理的推論得∠ABD=∠ACD=50°,所以∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°,故選A.2.(2018湖北武漢,10,3分)如圖,在☉O中,點C在優(yōu)弧

上,將弧?折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D.若☉O的半徑為

,AB=4,則BC的長是

(

)

A.2

B.3

C.

D.

答案

B連接AO,并延長交☉O于點D',則∠ABD'=90°.連接BD',CD',DD',DD'交BC于點E,連接

OD,OB,OC,∵D為AB的中點,∴OD⊥AB,∵AB=4,∴BD=

AB=2,∵OB=

,∴OD=

=1,∴BD'=2OD=2,即BD=BD',顯然點D與點D'關(guān)于直線BC對稱.∵∠ABD'=90°,∴∠ABC=∠CBD'=45°,根據(jù)圓周角定理得∠AOC=90°,∴∠D'OC=90°,∴CD'=

OC=

,∵∠CBD'=45°,BD'=2,∴BE=ED'=

,根據(jù)勾股定理得CE=

=2

,所以BC=BE+CE=3

,故選B.

方法指導(dǎo)

在求解涉及圓的性質(zhì)的問題時,通常運用垂徑定理或圓周角定理得到相等的線段

或角或垂直關(guān)系,求解過程中常需作合適的輔助線構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理等知識進行

求解.3.(2017福建,8,4分)如圖,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上位于AB異側(cè)的兩點.下列四個角中,一定

與∠ACD互余的角是

(

)

A.∠ADC

B.∠ABD

C.∠BAC

D.∠BAD答案

D∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°,∴∠BAD+∠B=90°,易知∠ACD=∠B,∴∠BAD+∠ACD=90°,故選D.4.(2017黑龍江哈爾濱,7,3分)如圖,☉O中,弦AB、CD相交于點P,∠A=42°,∠APD=77°,則∠B的

大小是

(

)

A.43°

B.35°

C.34°

D.44°答案

B由三角形外角的性質(zhì)可得∠C=∠APD-∠A=77°-42°=35°,∵∠B與∠C所對的弧均

為?,∴∠B=∠C=35°.故選B.5.(2017甘肅蘭州,4,4分)如圖,在☉O中,

=?,點D在☉O上,∠CDB=25°,則∠AOB=

(

)

A.45°

B.50°

C.55°

D.60°答案

B連接OC,∵∠CDB=25°,∴∠COB=50°,又

=?,∴∠AOB=∠COB=50°,故選B.6.(2017內(nèi)蒙古呼和浩特,7,3分)如圖,CD為☉O的直徑,弦AB⊥CD,垂足為M.若AB=12,OM∶MD

=5∶8,則☉O的周長為

(

)

A.26π

B.13π

C.

D.

答案

B連接OA,設(shè)OM=5x(x>0),則MD=8x,∴OA=OD=13x,又∵AB=12,AB⊥CD,∴AM=6.在

Rt△AOM中,(5x)2+62=(13x)2,解得x=

(舍負),∴半徑OA=

,∴☉O的周長為13π.方法規(guī)律

如圖,設(shè)圓的半徑為r、弦長為a、弦心距為d,弓形的高為h,則

+d2=r2(h=r-d或h=r+d).已知其中任意兩個量即可求出其余兩個量.

7.(2017陜西,9,3分)如圖,△ABC是☉O的內(nèi)接三角形,∠C=30°,☉O的半徑為5.若點P是☉O上的

一點,在△ABP中,PB=AB,則PA的長為

(

)

A.5

B.

C.5

D.5

答案

D連接OB、OA、OP,

∵∠C=30°,∴∠AOB=60°,∵OA=OB,∴△OAB是等邊三角形,∴AB=5.∵PB=AB=OA=OP,∴OB

⊥AP,∴AP=2AB·cos30°=2×5×cos30°=2×5×

=5

.故選D.8.(2016陜西,9,3分)如圖,☉O的半徑為4,△ABC是☉O的內(nèi)接三角形,連接OB、OC.若∠BAC與

∠BOC互補,則弦BC的長為

(

)

A.3

B.4

C.5

D.6

答案

B∵∠BOC+∠CAB=180°,∠BOC=2∠CAB,∴∠BOC=120°,作OD⊥BC交BC于點D,∴BC=2BD.∵OB=OC,∴∠OBD=∠OCD=

=30°,∴BD=OBcos30°=2

,∴BC=2BD=4

,故選B.

9.(2016河北,9,3分)下圖為4×4的網(wǎng)格圖,A,B,C,D,O均在格點上,點O是

(

)

A.△ACD的外心

B.△ABC的外心C.△ACD的內(nèi)心

D.△ABC的內(nèi)心答案

B設(shè)每個小正方形的邊長為1,則OA=OB=OC=

,所以點O到△ABC三個頂點的距離都相等,所以點O在三角形三邊垂直平分線的交點上,故點O是△ABC的外心.10.(2015吉林長春,7,3分)如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,若四邊形ABCO是平行四邊形,則∠

ADC的大小為

(

)

A.45°

B.50°

C.60°

D.75°答案

C設(shè)∠ADC=x°,則∠AOC=2x°.∵四邊形ABCO是平行四邊形,∴∠B=∠AOC.∵∠B+

∠D=180°,∴x+2x=180.∴x=60.∴∠ADC=60°.故選C.11.(2015甘肅蘭州,9,4分)如圖,經(jīng)過原點O的☉P與x、y軸分別交于A、B兩點,點C是劣弧OB上

一點,則∠ACB=

(

)

A.80°

B.90°

C.100°

D.無法確定答案

B根據(jù)同弧所對的圓周角相等,得到∠ACB=∠AOB=90°,故選B.12.(2015河北,6,3分)如圖,AC,BE是☉O的直徑,弦AD與BE交于點F,下列三角形中,外心

點O的是

(

)

A.△ABE

B.△ACF

C.△ABD

D.△ADE答案

B外心即為三角形外接圓的圓心,∵△ACF的頂點F不在圓O上,∴圓O不是△ACF的

外接圓,∴點O不是△ACF的外心,故選B.13.(2015上海,6,4分)如圖,已知在☉O中,AB是弦,半徑OC⊥AB,垂足為點D,要使四邊形OACB為

菱形,還需添加一個條件,這個條件可以是

(

)

A.AD=BD

B.OD=CDC.∠CAD=∠CBD

D.∠OCA=∠OCB答案

B根據(jù)垂徑定理知OD垂直平分AB,所以添加OD=CD即可判定四邊形OACB是菱形,

故選B.14.(2018吉林,13,3分)如圖,A,B,C,D是☉O上的四個點,

=?.若∠AOB=58°,則∠BDC=

度.

答案

29解析連接OC(圖略),∵

=

,∴∠AOB=∠BOC=58°,又點D在圓上,∴∠BDC=

∠BOC=29°.思路分析

連接OC,由

與?相等可得圓心角∠AOB=∠BOC,再根據(jù)同弧所對的的圓周角是圓心角的一半即可求得∠BDC的度數(shù).15.(2018湖北黃岡,11,3分)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AB為☉O的直徑,∠CAB=60°,弦AD平分∠

CAB,若AD=6,則AC=

.

答案

2

解析連接BD,因為AB為☉O的直徑,所以∠ADB=90°,因為∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以

∠BAD=30°,因為

=cos30°,所以AB=

=

=4

.在Rt△ABC中,AC=AB×cos60°=4

×

=2

.16.(2018內(nèi)蒙古包頭,17,3分)如圖,AB是☉O的直徑,點C在☉O上,過點C的切線與BA的延長線

交于點D,點E在?上(不與點B,C重合),連接BE,CE.若∠D=40°,則∠BEC=

度.

答案

115解析如圖,連接OC,AC,

∵CD是☉O的切線,∴∠DCO=90°,∴∠1=90°-∠D=50°.∵OA=OC,∴∠2=

(180°-∠1)=65°.∴∠BEC=180°-∠2=180°-65°=115°.17.(2018安徽,12,5分)如圖,菱形ABOC的邊AB,AC分別與☉O相切于點D,E.若點D是AB的中點,

則∠DOE=

°.

答案

60解析∵AB,AC分別與圓O相切于點D,E,∴OD⊥AB,OE⊥AC,在菱形ABOC中,AB=BO,∵點D

是AB的中點,∴BD=

AB=

BO,∴∠BOD=30°,∴∠B=60°,又∵OB∥AC,∴∠A=120°,∴在四邊形ADOE中,∠DOE=360°-90°-90°-120°=60°.解題關(guān)鍵

由題意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本題的關(guān)鍵.18.(2017江蘇南京,15,2分)如圖,四邊形ABCD是菱形,☉O經(jīng)過點A、C、D,與BC相交于點E,連

接AC、AE.若∠D=78°,則∠EAC=

°.

答案

27解析∵四邊形ABCD是菱形,∴AD∥BC,CA平分∠DCB.∵∠D=78°,∴∠DCB=180°-∠D=102°,∴∠ACE=

∠DCB=51°.∵A、E、C、D四點共圓,∴∠D+∠AEC=180°,∴∠AEC=102°.在△AEC中,∠EAC=180°-∠AEC-∠ACE=180°-102°-51°=27°.解后反思

本題綜合考查菱形的性質(zhì)、圓的內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì),掌握這兩個性質(zhì)是

解決問題的關(guān)鍵.19.(2016山東青島,11,3分)如圖,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上的兩點,若∠BCD=28°,則∠ABD=

°.

答案

62解析∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵∠BCD=28°,∴∠ACD=90°-28°=62°,∴∠ABD=∠ACD=62°.20.(2016新疆烏魯木齊,13,4分)設(shè)I為△ABC的外心,若∠BIC=100°,則∠A的度數(shù)為

.答案

50°或130°解析當I在△ABC的內(nèi)部時,如圖1,∠A=

∠BIC=50°;當I在△ABC的外部時,如圖2,∠A+

∠BIC=180°,∴∠A=130°.

圖1圖221.(2016江蘇南京,13,2分)如圖,扇形AOB的圓心角為122°,C是?上一點,則∠ACB=

°.

答案

119解析如圖,在扇形AOB所在圓優(yōu)弧AB上取一點D,連接DA,DB.∵∠AOB=122°,∴∠D=61°,∵

∠ACB+∠D=180°,∴∠ACB=119°.

22.(2015內(nèi)蒙古包頭,18,3分)如圖,☉O是△ABC的外接圓,AD是☉O的直徑,若☉O的半徑是4,

sinB=

,則線段AC的長為

.

答案

2解析連接CD,在☉O中,因為AD為直徑,所以∠ACD=90°,因為∠B=∠D,所以AC=AD·sinD=8

×

=2.23.(2015江西南昌,10,3分)如圖,點A,B,C在☉O上,CO的延長線交AB于點D,∠A=50°,∠B=30°,則

∠ADC的度數(shù)為

.

答案

110°解析在☉O中,∠BOC=2∠A=2×50°=100°,所以∠DOB=180°-∠BOC=180°-100°=80°,所以∠ADC=∠B+∠DOB=30°+80°=110°.24.(2015陜西,14,3分)如圖,AB是☉O的弦,AB=6,點C是☉O上的一個動點,且∠ACB=45°.若

點M、N分別是AB、BC的中點,則MN長的最大值是

.

答案

3

解析依題意,知MN=

AC,且當AC為☉O的直徑時,MN的長度最大.連接OB,∵∠ACB=45°,∴∠AOB=90°,設(shè)☉O的半徑為r,則

r=6,解得r=3

,故MN的最大值為3

.

25.(2018安徽,20,10分)如圖,☉O為銳角△ABC的外接圓,半徑為5.(1)用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線,并標出它與劣弧?的交點E(保留作圖痕跡,不寫作法);(2)若(1)中的點E到弦BC的距離為3,求弦CE的長.

解析

(1)尺規(guī)作圖如圖所示.

(4分)

(2)連接OE交BC于M,連接OC.因為∠BAE=∠CAE,所以

=?,易得OE⊥BC,所以EM=3.Rt△OMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5,所以MC2=OC2-OM2=25-4=21.Rt△EMC中,CE2=EM2+MC2=9+21=30,所以弦CE的長為

.

(10分)思路分析

對于(2),連接OE交BC于點M,再連接OC,由∠BAE=∠CAE可得

=?,可推出OE⊥BC,最后利用勾股定理求出CE.26.(2015安徽,20,10分)在☉O中,直徑AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,點P在BC上,點Q在☉O上,且OP

⊥PQ.(1)如圖1,當PQ∥AB時,求PQ長;(2)如圖2,當點P在BC上移動時,求PQ長的最大值.

解析

(1)∵OP⊥PQ,PQ∥AB,∴OP⊥AB.在Rt△OPB中,OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=

.

(3分)如圖,連接OQ,在Rt△OPQ中,

PQ=

=

=

.

(5分)(2)∵PQ2=OQ2-OP2=9-OP2,∴當OP最小時,PQ最大.此時,OP⊥BC.

(7分)OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=

.∴PQ長的最大值為

=

.

(10分)27.(2017江蘇南京,24,8分)如圖,PA、PB是☉O的切線,A、B為切點.連接AO并延長,交PB的延

長線于點C.連接PO,交☉O于點D.(1)求證:PO平分∠APC;(2)連接DB.若∠C=30°,求證:DB∥AC.

證明

(1)如圖,連接OB.

∵PA、PB是☉O的切線,∴OA⊥AP,OB⊥BP.又OA=OB,∴PO平分∠APC.

(4分)(2)∵OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠CAP=∠OBP=90°.∵∠C=30°,∴∠APC=90°-∠C=90°-30°=60°,∵PO平分∠APC,∴∠OPC=

∠APC=

×60°=30°,∴∠POB=90°-∠OPC=90°-30°=60°.又OD=OB,∴△ODB是等邊三角形,∴∠OBD=60°,∴∠DBP=∠OBP-∠OBD=90°-60°=30°,∴∠DBP=∠C,∴DB∥AC.

(8分)28.(2017湖南長沙,23,9分)如圖,AB與☉O相切于點C,OA,OB分別交☉O于點D,E,?=?.(1)求證:OA=OB;(2)已知AB=4

,OA=4,求陰影部分的面積.

解析

(1)證明:如圖,連接OC,則OC⊥AB,

∵?=?,∴∠AOC=∠BOC.在△AOC與△BOC中,

∴△AOC≌△BOC(ASA),∴OA=OB.(2)由(1)知AC=BC=

AB=2

,在Rt△AOC中,OC=

=?=2=

OA,∴∠OAC=30°,∴∠COE=∠AOC=60°,∴S陰影=S△OBC-S扇形OCE=

×2×2

-

=2

-

π.思路分析

(1)連接OC,則OC⊥AB,然后根據(jù)等弧對等角求得∠AOC=∠BOC,再判定△AOC≌

△BOC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得證;(2)由(1)可求得AC=2

,運用勾股定理求出OC的長,進而求得∠COE=60°,利用S陰影=S△OBC-S扇形OCE求得結(jié)果.29.(2017貴州貴陽,22,10分)如圖,C,D是半圓O上的三等分點,直徑AB=4,連接AD,AC,DE⊥AB,垂

足為E,DE交AC于點F.(1)求∠AFE的度數(shù);(2)求陰影部分的面積.(結(jié)果保留π和根號).

解析

(1)如圖,連接OD,OC,

∵C,D是半圓O的三等分點,∴

=?=?,∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°,∴∠CAB=30°,∵DE⊥AB,∴∠AEF=90°,∴∠AFE=90°-30°=60°.

(5分)(2)由(1)可知,∠AOD=60°,∵OA=OD,AB=4,∴△AOD為等邊三角形,OA=2,∵DE⊥AO,∴DE為△AOD的高,且DE=

,∴S陰影=S扇形AOD-S△AOD=

-

×2×

=

π-

.

(10分)思路分析

(1)先根據(jù)C、D為半圓的三等分點,求出∠CAB=30°,進而求出結(jié)果;(2)根據(jù)已知條

件得出△AOD為等邊三角形,進而求出扇形AOD和等邊三角形AOD的面積即可求出陰影部分

的面積.30.(2017安徽,20,10分)如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD

于BC,過點C作CE∥AD交△ABC的外接圓O于點E,連接AE.(1)求證:四邊形AECD為平行四邊形;(2)連接CO,求證:CO平分∠BCE.

證明

(1)∵∠B=∠D,∠B=∠E,∴∠D=∠E.∵CE∥AD,∴∠E+∠DAE=180°.∴∠D+∠DAE=180°.∴AE∥DC.∴四邊形AECD是平行四邊形.

(5分)(2)過點O作OM⊥EC,ON⊥BC,垂足分別為M、N.∵四邊形AECD是平行四邊形,∴AD=EC.又AD=BC,∴EC=BC,∴OM=ON,∴CO平分∠BCE.

(10分)思路分析

(1)根據(jù)“在同一個圓中同一段弧所對的圓周角相等”可推出∠E=∠B,再由∠D=

∠B,CE∥AD可推出AE∥DC,問題得證;(2)作OM⊥CE,ON⊥BC,垂足分別為M、N,由已知及(1)

得出CE=BC,再根據(jù)“同一個圓內(nèi)等弦對應(yīng)的弦心距相等”可得OM=ON,從而由角平分線的

判定定理可得結(jié)論.解題關(guān)鍵

抓住“在同一個圓中同一段弧所對的圓周角相等及同圓內(nèi)等弦對應(yīng)的弦心距相

等”是解決本題的關(guān)鍵.31.(2016寧夏,23,8分)已知△ABC,以AB為直徑的☉O分別交AC于D,BC于E,連接ED.若ED=EC.(1)求證:AB=AC;(2)若AB=4,BC=2

,求CD的長.

解析

(1)證明:∵ED=EC,∴∠CDE=∠C,又∵四邊形ABED是☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.

(4分)(2)連接AE,則AE⊥BC,

∴BE=EC=

BC,在△ABC與△EDC中,∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC,

(6分)∴

=

,得DC=

=

,由AB=4,BC=2

,得DC=

=

.

(8分)評析

本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),三角形相似的判定與性質(zhì).屬中檔題.32.(2015山東威海,22,9分)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑的☉O交AB于點D,交BC于

點E.(1)求證:BE=CE;(2)若BD=2,BE=3,求AC的長.

解析

(1)證明:連接AE.

(1分)

∵AC為☉O的直徑,∴∠AEC=90°.∴AE⊥BC.

(3分)又∵AB=AC,∴BE=CE.

(4分)(2)連接DE.

(5分)

∵四邊形ACED為☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠BED=∠BAC.又∵∠B=∠B,∴△BED∽△BAC.∴

=

.

(7分)∵BE=CE=3,∴BC=6.又∵BD=2,∴AB=9.

(8分)∴AC=9.

(9分)33.(2015江蘇南京,26,8分)如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,BC的延長線與AD的延長線

交于點E,且DC=DE.(1)求證∠A=∠AEB;(2)連接OE,交CD于點F,OE⊥CD.求證:△ABE是等邊三角形.

證明

(1)∵四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠A+∠BCD=180°.又∠DCE+∠BCD=180°,∴∠A=∠DCE.∵DC=DE,∴∠DCE=∠AEB.∴∠A=∠AEB.

(4分)(2)∵∠A=∠AEB,∴△ABE是等腰三角形.∵OE⊥CD,∴CF=DF.∴OE垂直平分CD.∴ED=EC.又DC=DE,∴DC=DE=EC.∴△DCE是等邊三角形.∴∠AEB=60°.∴△ABE是等邊三角形.

(8分)34.(2015江蘇蘇州,26,10分)如圖,已知AD是△ABC的角平分線,☉O經(jīng)過A、B、D三點,過點B作

BE∥AD,交☉O于點E,連接ED.(1)求證:ED∥AC;(2)若BD=2CD,設(shè)△EBD的面積為S1,△ADC的面積為S2,且

-16S2+4=0,求△ABC的面積.

解析

(1)證明:∵AD是△ABC的角平分線,∴∠BAD=∠DAC.∵∠E=∠BAD,∴∠E=∠DAC.∵BE∥AD,∴∠E=∠EDA.∴∠EDA=∠DAC.∴ED∥AC.(2)∵BE∥AD,∴∠EBD=∠ADC.由(1)知∠E=∠DAC,∴△EBD∽△ADC,且相似比k=

=2.∴

=k2=4,即S1=4S2,∵

-16S2+4=0,∴16

-16S2+4=0,即(4S2-2)2=0,∴S2=

.∵

=

=

=

=3,∴S△ABC=

.35.(2014山東煙臺,24,8分)如圖,AB是☉O的直徑,延長AB至P,使BP=OB.BD垂直于弦BC,垂足為

點B,點D在PC上.設(shè)∠PCB=α,∠POC=β.求證:tanα·tan

=

.

證明連接AC.

(1分)則∠A=

∠POC=

.

(2分)∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°,∴tan

=

.

(3分)∵BD⊥BC,∴tanα=

,

(4分)又易知BD∥AC,∴△PBD∽△PAC.∴

=

.

(6分)∵PB=OB=OA,∴

=

=

.

(7分)∴tanα·tan

=

·

=

=

.

(8分)36.(2014福建福州,20,11分)如圖,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,AB=3

,點D為BA延長線上的一點,且∠D=∠ACB,☉O為△ACD的外接圓.(1)求BC的長;(2)求☉O的半徑.

解析

(1)過點A作AE⊥BC,垂足為E.∴∠AEB=∠AEC=90°.在Rt△ABE中,∵sinB=

,∴AE=AB·sinB=3

·sin45°=3

×

=3.∵∠B=45°,∴∠BAE=45°.∴BE=AE=3.在Rt△ACE中,∵tan∠ACB=

,∴EC=

=

=

=

.∴BC=BE+EC=3+

.

(2)由(1)得,在Rt△ACE中,∠EAC=30°,EC=

,∴AC=2

.解法一:連接AO并延長交☉O于M,連接CM.∵AM為直徑,∴∠ACM=90°.在Rt△ACM中,∵∠M=∠D=∠ACB=60°,sinM=

,∴AM=

=

=4.∴☉O的半徑為2.解法二:連接OA,OC,過點O作OF⊥AC,垂足為F,則AF=

AC=

.∵∠D=∠ACB=60°,∴∠AOC=120°.∴∠AOF=

∠AOC=60°.在Rt△OAF中,∵sin∠AOF=

,∴AO=

=2,即☉O的半徑為2.考點二與圓有關(guān)的位置關(guān)系及綜合運用1.(2018重慶,9,4分)如圖,已知AB是☉O的直徑,點P在BA的延長線上,PD與☉O相切于點D,過點

B作PD的垂線交PD的延長線于點C.若☉O的半徑為4,BC=6,則PA的長為

(

)

A.4

B.2

C.3

D.2.5答案

A連接DO,∵PD與☉O相切于點D,∴∠PDO=90°.∵BC⊥PC,∴∠PCB=90°,∴DO∥

BC,∴△POD∽△PBC,∴

=

,∴

=

,∴PA=4,故選A.思路分析

利用切線的性質(zhì)得出∠PDO=90°,再利用相似三角形的判定和性質(zhì)求出結(jié)果.2.(2017湖北武漢,9,3分)已知一個三角形的三邊長分別為5,7,8,則其內(nèi)切圓的半徑為

(

)A.

B.

C.

D.2

答案

C如圖,AB=7,BC=5,AC=8.過點A作AD⊥BC于點D,設(shè)BD=x,則CD=5-x.由勾股定理得AB2-BD2=AD2,AC2-CD2=AD2,則72-x2=82-(5-x)2,解得x=1,∴AD=4

.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,則有

×(5+7+8)r=

×5×4

,解得r=

.故選C.3.(2015重慶,9,4分)如圖,AB是☉O的直徑,點C在☉O上,AE是☉O的切線,A為切點,連接BC并延

長交AE于點D.若∠AOC=80°,則∠ADB的度數(shù)為

(

)

A.40°

B.50°

C.60°

D.20°答案

B∵AE是☉O的切線,∴∠BAE=90°,∵∠B=

∠AOC=40°,∴∠ADB=90°-∠B=50°,故選B.4.(2015江蘇南京,6,2分)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分別與☉O相切于E、

F、G三點,過點D作☉O的切線交BC于點M,切點為N,則DM的長為

(

)

A.

B.

C.

D.2

答案

A在矩形ABCD中,☉O分別與邊AD、AB、BC相切,又DM為☉O的切線,所以由切線

長定理得AE=AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知BG=2,DN=3,設(shè)MN=MG=x,在Rt△DCM中,

DM2=MC2+DC2,即(3+x)2=(3-x)2+42,解得x=

,則DM=3+

=

.故選A.5.(2018山西,15,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,點D是AB的中點,以CD為直徑

作☉O,☉O分別與AC,BC交于點E,F,過點F作☉O的切線FG,交AB于點G,則FG的長為

.

答案

解析如圖,連接OF.

∵FG為☉O的切線,∴OF⊥FG.∵Rt△ABC中,D為AB中點,∴CD=BD,∴∠DCB=∠B.∵OC=OF,∴∠OCF=∠OFC,∴∠CFO=∠B,∴OF∥BD,∴AB⊥FG.∵O為CD的中點,∴F為BC的中點,∴CF=BF=

BC=4.∵Rt△ABC中,AB=

=10,∴sin∠B=

=

,∴在Rt△BGF中,FG=BFsin∠B=4×

=

.思路分析

連接OF,可判斷OF⊥FG,由∠OCF=∠OFC,∠OCF=∠B可得∠OFC=∠B,所以O(shè)F

∥BD,所以AB⊥FG.在Rt△ABC中求出sin∠B,再在Rt△BFG中,利用FG=BFsin∠B求得FG.6.(2016黑龍江哈爾濱,18,3分)如圖,AB為☉O的直徑,直線l與☉O相切于點C,AD⊥l,垂足為D,

AD交☉O于點E,連接OC、BE.若AE=6,OA=5,則線段DC的長為

.

答案

4解析設(shè)OC與BE相交于點F,∵AB是☉O的直徑,∴∠AEB=90°,∵AO=5,∴AB=10.在Rt△AEB中,AE=6,∴BE=

=8.∵直線l是☉O的切線,∴OC⊥CD,又∵AD⊥CD,AE⊥EB,∴四邊形CDEF為矩形,∴DC=EF=

BE=4.

7.(2015江蘇鎮(zhèn)江,10,2分)如圖,AB是☉O的直徑,OA=1,AC是☉O的弦,過點C的切線交AB的延長

線于點D.若BD=

-1,則∠ACD=

°.

答案

112.5解析連接OC,因為DC是☉O的切線,所以O(shè)C⊥CD.因為OC=OB=OA=1,OD=OB+BD=

,所以DC=

=1,所以O(shè)C=CD,所以∠COD=45°,所以∠ACO=

∠COD=22.5°,所以∠ACD=22.5°+90°=112.5°.8.(2014山東青島,12,3分)如圖,AB是☉O的直徑,BD,CD分別是過☉O上點B,C的切線,且∠BDC

=110°.連接AC,則∠A的度數(shù)是

°.

答案

35解析連接BC,易知DB=DC,所以∠DBC=

(180°-∠BDC)=35°,又∠A+∠ABC=∠DBC+∠ABC=90°,所以∠A=∠DBC=35°.9.(2018天津,21,10分)已知AB是☉O的直徑,弦CD與AB相交,∠BAC=38°.(1)如圖①,若D為?的中點,求∠ABC和∠ABD的大小;(2)如圖②,過點D作☉O的切線,與AB的延長線交于點P,若DP∥AC,求∠OCD的大小.

解析

(1)∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∴∠BAC+∠ABC=90°.又∠BAC=38°,∴∠ABC=90°-38°=52°.由D為?的中點,得?=?.∴∠ACD=∠BCD=

∠ACB=45°.∴∠ABD=∠ACD=45°.(2)如圖,連接OD.

∵DP切☉O于點D,∴OD⊥DP,即∠ODP=90°.由DP∥AC,又∠BAC=38°,∴∠P=∠BAC=38°.∵∠AOD是△ODP的外角,∴∠AOD=∠ODP+∠P=128°.∴∠ACD=

∠AOD=64°.又OA=OC,得∠ACO=∠BAC=38°.∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=64°-38°=26°.思路分析

(1)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,等弧所對的圓周角相等可以求解;(2)連接OD,根

據(jù)平行線的性質(zhì),圓的切線的性質(zhì)求得∠P,∠AOD的度數(shù),即可求得∠OCD的大小.10.(2018內(nèi)蒙古包頭,24,10分)如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以點A為圓心,AC長為半徑的圓

交AB于點D,BA的延長線交☉A于點E,連接CE,CD,F是☉A上一點,點F與點C位于BE兩側(cè),且∠

FAB=∠ABC,連接BF.(1)求證:∠BCD=∠BEC;(2)若BC=2,BD=1,求CE的長及sin∠ABF的值.

解析

(1)證明:∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°.∵DE是☉A的直徑,∴∠DCE=90°,∴∠BEC+∠CDE=90°.∵AD=AC,∴∠CDE=∠ACD,∴∠BCD=∠BEC.

(3分)(2)∵∠BCD=∠BEC,∠EBC=∠CBD,∴△BDC∽△BCE,∴

=

=

.∵BC=2,BD=1,∴BE=4,EC=2CD,∴DE=BE-BD=3.在Rt△DCE中,DE2=CD2+CE2=5CD2=9,∴CD=

,∴CE=

.

(6分)過點F作FM⊥AB于點M,∵∠FAB=∠ABC,∠FMA=∠ACB=90°,∴△AFM∽△BAC,∴

=

.∵DE=3,∴AD=AF=AC=

,∴AB=

,∴FM=

.過點F作FN⊥BC于點N,∴∠FNC=90°.∵∠FAB=∠ABC,∴FA∥BC,∴∠FAC=∠ACB=90°,∴四邊形FNCA是矩形.∴FN=AC=

,NC=AF=

,∴BN=

.在Rt△FBN中,BF=

.∴在Rt△FBM中,sin∠ABF=

=

.

(10分)

思路分析

(1)由∠ACB=90°得∠BCD+∠ACD=90°,由DE是☉A的直徑知∠DCE=90°,所以∠BEC+∠CDE=90°,由AD=AC得∠CDE=∠ACD,根據(jù)等角的余角相等可得結(jié)論;(2)證得△BDC

∽△BCE,求出Rt△DCE的各邊邊長,作FM⊥AB,構(gòu)造直角三角形,由相似求得FM,作FN⊥BC于

點N,得矩形FNCA和Rt△FNB,求得FB的長,在Rt△FBM中,由

求得sin∠ABF的值.解后反思

本題考查了圓周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性質(zhì)等知識.由△BDC∽△BCE不僅要求得BE的長,還需得到結(jié)論EC=2CD,這是求得CE的關(guān)鍵,作出輔助線構(gòu)造直角三

角形和矩形是求相應(yīng)線段長度的有效途徑.11.(2018湖北武漢,21,8分)如圖,PA是☉O的切線,A是切點,AC是直徑,AB是弦,連接PB、PC,PC

交AB于點E,且PA=PB.(1)求證:PB是☉O的切線;(2)若∠APC=3∠BPC,求

的值.

解析

(1)證法一:連接OP,OB.在△OAP和△OBP中,

∴△OAP≌△OBP,∴∠OAP=∠OBP,∵PA是☉O的切線,∴∠OBP=∠OAP=90°,∴PB是☉O的切線.證法二:連接OB.∵PA是☉O的切線,∴∠PAO=90°.∵OA=OB,PA=PB,∴∠OAB=∠OBA,∠PAB=∠PBA.∴∠PBO=∠PAO=90°,∴PB是☉O的切線.(2)連接BC,設(shè)OP交AB于點F,∵AC是☉O的直徑,∴∠ABC=90°.∵PA,PB是☉O的切線,∴PO垂直平分AB,PO平分∠APB,∴BC∥PO,∴∠OPC=∠PCB.∵∠APC=3∠BPC,∴∠OPC=∠BPC,∴∠PCB=∠BPC,∴BC=BP.設(shè)OF=t,則BC=BP=2t,由△PBF∽△POB,得PB2=PF·PO,即(2t)2=PF·(PF+t).解得PF=

t(取正值).∵△PFE∽△CBE,∴

=

=

.解題技巧

對于含有切線的解答題,首先要想到的是作“輔助線”,由此獲得更多能夠證明題

目要求的條件.一般作“輔助線”的方法為“見切點,連圓心”,構(gòu)造直角三角形(或垂直),然后

利用切線性質(zhì)及直角三角形的邊角關(guān)系、勾股定理進行證明或計算.12.(2018湖北黃岡,18,7分)如圖,AD是☉O的直徑,AB為☉O的弦,OP⊥AD,OP與AB的延長線交

于點P,過B點的切線交OP于點C.(1)求證:∠CBP=∠ADB;(2)若OA=2,AB=1,求線段BP的長.

解析

(1)證明:連接OB,則OB⊥BC,∴∠OBD+∠DBC=90°,又AD為☉O的直徑,∴∠DBA=90°,

∴∠DBP=∠DBC+∠CBP=90°,∴∠OBD=∠CBP,又OD=OB,∴∠OBD=∠ODB,∴∠ODB=∠CBP,即∠ADB=∠CBP.(2)在Rt△ADB和Rt△APO中,∠DAB=∠PAO,∴Rt△ADB∽Rt△APO,∴

=

,∵AB=1,AO=2,∴AD=4,∴AP=

=8,∴BP=7.13.(2018遼寧沈陽,22,10分)如圖,BE是☉O的直徑,點A和點D是☉O上的兩點,過點A作☉O的切

線交BE延長線于點C.(1)若∠ADE=25°,求∠C的度數(shù);(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半徑的長.

解析

(1)連接OA,

∵AC為☉O的切線,OA是☉O的半徑,∴OA⊥AC,∴∠OAC=90°,∵∠ADE=25°,∴∠AOE=2∠ADE=50°,∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵?=?,∴∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C,∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,∴3∠C=90°,∴∠C=30°,∵∠OAC=90°,∴OA=

OC,設(shè)☉O的半徑為r,∵CE=2,∴r=

(r+2),∴r=2,∴☉O的半徑為2.14.(2018江西,20,8分)如圖,在△ABC中,O為AC上一點,以點O為圓心,OC為半徑作圓,與BC相切

于點C,過點A作AD⊥BO交BO的延長線于點D,且∠AOD=∠BAD.(1)求證:AB為☉O的切線;(2)若BC=6,tan∠ABC=

,求AD的長.

解析

(1)證明:過點O作OE⊥AB于點E,即∠OEB=90°.∵BC切☉O于點C,∴∠OCB=∠OEB=90°.∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°.∵∠AOD=∠BOC,∴∠CBD=∠OAD.∵∠D=90°,∠AOD=∠BAD,∴∠OAD=∠ABD,∴∠ABD=∠CBO.∴OE=OC.∴AB為☉O的切線.(2)∵BC=6,tan∠ABC=

,∠ACB=90°,∴AC=BC·tan∠ABC=8.∴AB=

=10.∵AB與BC均為☉O的切線,∴BE=BC=6.∴AE=AB-BE=10-6=4.設(shè)OC=OE=x,則在Rt△AEO中,有(8-x