【初中數(shù)學(xué)】專(zhuān)項(xiàng)01-巧用運(yùn)算規(guī)律簡(jiǎn)化有理數(shù)計(jì)算的六種方法-重難點(diǎn)題型

巧用運(yùn)算規(guī)律簡(jiǎn)化有理數(shù)計(jì)算的六種方法-重難點(diǎn)題型【題型1歸類(lèi)法】【方法點(diǎn)撥】運(yùn)用加法交換律、結(jié)合律歸類(lèi)加減，將同類(lèi)數(shù)(如正數(shù)或負(fù)數(shù))歸類(lèi)計(jì)算，如整數(shù)與整數(shù)結(jié)合、如分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)結(jié)合、同分母與同分母結(jié)合等.【例1】閱讀下面的解題過(guò)程并解決問(wèn)題計(jì)算：53.27﹣（﹣18）+（﹣21）+46.73﹣（+15）+21解：原式＝53.27+18﹣21+46.73﹣15+21（第一步）＝（53.27+46.73）+（21﹣21）+（18﹣15）（第二步）＝100+0+3（第三步）＝103（1）計(jì)算過(guò)程中，第一步把原式化成的形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的思想，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，第二步應(yīng)用了．（2）根據(jù)以上的解題技巧進(jìn)行計(jì)算下列式子：?212【變式1-1】計(jì)算：(?2【變式1-2】計(jì)算：123+212?【變式1-3】計(jì)算：3712+（﹣114）+（﹣3712）+1【題型2湊整法】【方法點(diǎn)撥】將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整，將相加得零的數(shù)（如互為相反數(shù)）相消.【例2】計(jì)算：（﹣347）+12.5+（﹣163【變式2-1】計(jì)算下列各題：（1）20.36+（﹣1.4）+（﹣13.36）+1.4；（2）（+325）+（﹣278）﹣（﹣535【變式2-2】計(jì)算：（1）（﹣0.1）﹣（﹣4.6）﹣（+8.9）+（+5.4）（2）（﹣1.75）﹣（﹣234）+（﹣345）﹣（﹣1【變式2-3】計(jì)算下列各題：（1）（0.5）+（+92）+（?（2）（?12）+（?25）+（+3（3）﹣1.5+1.4﹣（﹣3.6）﹣4.3+（﹣5.2）；（4）（﹣3.5）+（?43）+（?34）+（【題型3逆向法】【方法點(diǎn)撥】主要是將式子中的一些小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)互相轉(zhuǎn)化，然后將乘法分配率逆向使用，從而使得計(jì)算變得更加簡(jiǎn)單.【例3】計(jì)算：?5【變式3-1】計(jì)算：235×1【變式3-2】計(jì)算：?13×【變式3-3】計(jì)算：0.7×14【題型4拆項(xiàng)法】【方法點(diǎn)撥】將一個(gè)數(shù)拆分成兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)和的形式，再利用加法交換律、結(jié)合率或者利用乘法分配率從而使得計(jì)算變得簡(jiǎn)潔.【例4】閱讀下面的計(jì)算過(guò)程，體會(huì)“拆項(xiàng)法”計(jì)算：﹣556解：原式=[(?5)+(?9)+17+(?3)]+[(?56啟發(fā)應(yīng)用用上面的方法完成下列計(jì)算：(?3【變式4-1】閱讀下列解題方法，然后根據(jù)方法計(jì)算．﹣516?（﹣923）＝[（﹣5）﹣（﹣9）]+[（?16）﹣（?計(jì)算：（﹣201956）+（﹣201823【變式4-2】計(jì)算：﹣991517【變式4-3】計(jì)算：399【題型5組合法】【方法點(diǎn)撥】找出規(guī)律，重新組合，然后通過(guò)約分或抵消簡(jiǎn)化題目.【例5】計(jì)算：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99【變式5-1】計(jì)算：1﹣2+3﹣4+…+97﹣98+99．【變式5-2】計(jì)算：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016．【變式5-3】計(jì)算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008．【題型6裂項(xiàng)相消法】【方法點(diǎn)撥】將一個(gè)數(shù)拆分成兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)和的形式，再利用加法交換律、結(jié)合率或者利用乘法分配率從而使得計(jì)算變得簡(jiǎn)潔.【例6】閱讀材料，回答下列問(wèn)題．通過(guò)計(jì)算容易發(fā)現(xiàn)：①12?13=1（1）觀察上面的三個(gè)算式，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)像上面這樣的算式：17?（2）通過(guò)觀察，計(jì)算11×2（3）探究上述的運(yùn)算規(guī)律，試計(jì)算11×3【變式6-1】12+13（1）請(qǐng)?jiān)诶斫馍厦嬗?jì)算方法的基礎(chǔ)上，把下面兩個(gè)數(shù)表示成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和的形式（分別寫(xiě)出表示的過(guò)程和結(jié)果）1342=＝，1772=＝（2）利用以上所得的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算：3【變式6-2】類(lèi)比推理是一種重要的推理方法，根據(jù)兩種事物在某些特征上相似，得出它們?cè)谄渌卣魃弦部赡芟嗨频慕Y(jié)論．在異分母的分?jǐn)?shù)的加減法中，往往先化作同分母，然后分子相加減，例如：12?13=32×3（1）猜想并寫(xiě)出：1n(n+1)=（2）探究并計(jì)算下列各式：①11×2②1?2×4【變式6-3】閱讀理解題第1個(gè)等式：12=2?1第2個(gè)等式：16第3個(gè)等式：112……觀察以上等式，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：；（2）計(jì)算：11×5

巧用運(yùn)算規(guī)律簡(jiǎn)化有理數(shù)計(jì)算的六種方法-重難點(diǎn)題型（解析版）【題型1歸類(lèi)法】【方法點(diǎn)撥】運(yùn)用加法交換律、結(jié)合律歸類(lèi)加減，將同類(lèi)數(shù)(如正數(shù)或負(fù)數(shù))歸類(lèi)計(jì)算，如整數(shù)與整數(shù)結(jié)合、如分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)結(jié)合、同分母與同分母結(jié)合等.【例1】閱讀下面的解題過(guò)程并解決問(wèn)題計(jì)算：53.27﹣（﹣18）+（﹣21）+46.73﹣（+15）+21解：原式＝53.27+18﹣21+46.73﹣15+21（第一步）＝（53.27+46.73）+（21﹣21）+（18﹣15）（第二步）＝100+0+3（第三步）＝103（1）計(jì)算過(guò)程中，第一步把原式化成的形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的思想，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，第二步應(yīng)用了．（2）根據(jù)以上的解題技巧進(jìn)行計(jì)算下列式子：?212【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運(yùn)算步驟及運(yùn)算定律可得答案；（2）仿照題意簡(jiǎn)便方法計(jì)算即可．【解答】解：（1）計(jì)算過(guò)程中，第一步把原式化成省略加號(hào)和括號(hào)的形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，第二步應(yīng)用了加法的交換律和結(jié)合律．故答案為：省略加號(hào)和括號(hào)，轉(zhuǎn)化，加法的交換律和結(jié)合律；（2）?21＝﹣2123+＝（﹣2123+2＝﹣21+3＝﹣18．【變式1-1】計(jì)算：(?2【分析】可利用結(jié)合律進(jìn)行運(yùn)算，最后得出結(jié)果．【解答】解：原式＝（?23?9【變式1-2】計(jì)算：123+212?【分析】先算同分母分?jǐn)?shù)，再相加即可求解；【解答】解：123+212＝（123+13）+2＝2+212＝﹣312【變式1-3】計(jì)算：3712+（﹣114）+（﹣3712）+1【分析】先算同分母分?jǐn)?shù)，再相加即可求解．【解答】解：3712+（﹣114）+（﹣3712）+1＝（3712?3712）+（﹣114+＝0+0+（﹣418＝﹣418【題型2湊整法】【方法點(diǎn)撥】將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整，將相加得零的數(shù)（如互為相反數(shù)）相消.【例2】計(jì)算：（﹣347）+12.5+（﹣163【分析】運(yùn)用加法的交換律和結(jié)合律計(jì)算可得．【解答】解：原式＝（﹣347?16＝﹣20+15＝﹣5．【變式2-1】計(jì)算下列各題：（1）20.36+（﹣1.4）+（﹣13.36）+1.4；（2）（+325）+（﹣278）﹣（﹣535【分析】根據(jù)加法的運(yùn)算律計(jì)算即可．【解答】解：（1）原式＝（20.36﹣13.36）+（1.4﹣1.4）＝7+0＝7；（2）原式=(32【變式2-2】計(jì)算：（1）（﹣0.1）﹣（﹣4.6）﹣（+8.9）+（+5.4）（2）（﹣1.75）﹣（﹣234）+（﹣345）﹣（﹣1【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣（0.1+8.9）+（4.6+5.4）＝﹣9+10＝1；（2）原式＝（﹣1.75+234）+（﹣345=+(23＝1﹣2＝﹣1．【變式2-3】計(jì)算下列各題：（1）（0.5）+（+92）+（（2）（?12）+（?25）+（+3（3）﹣1.5+1.4﹣（﹣3.6）﹣4.3+（﹣5.2）；（4）（﹣3.5）+（?43）+（?34）+（【分析】（1）應(yīng)用加法交換律和結(jié)合律將兩個(gè)小數(shù)和兩個(gè)分?jǐn)?shù)分別結(jié)合在一起計(jì)算；（2）先運(yùn)用減法法則，再將分母相同的結(jié)合起來(lái)進(jìn)行計(jì)算；（3）將正負(fù)數(shù)分別結(jié)合計(jì)算；（4）小數(shù)化分?jǐn)?shù)，分母相同的結(jié)合計(jì)算．【解答】解：（1）原式＝（0.5+9.5）+（92（2）原式=?12?25（3）原式＝﹣1.5+1.4+3.6﹣4.3﹣5.2＝（1.4+3.6）+（﹣1.5﹣4.3﹣5.2）＝5﹣11＝﹣6；（4）原式=?72?43?34+【題型3逆向法】【方法點(diǎn)撥】主要是將式子中的一些小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)互相轉(zhuǎn)化，然后將乘法分配率逆向使用，從而使得計(jì)算變得更加簡(jiǎn)單.【例3】計(jì)算：?5【分析】先變形，然后根據(jù)乘法分配律可以解答本題．【解答】解：?=5＝（52?＝（156?＝（﹣1）×=?11【變式3-1】計(jì)算：235×1【分析】先將題目式子中的帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，小數(shù)化為假分式，然后根據(jù)乘法分配律即可解答本題．【解答】解：235=13=135×=13=26【變式3-2】計(jì)算：?13×【分析】分別提取公因數(shù)﹣13和﹣0.34，即可簡(jiǎn)化計(jì)算，再合并即可；【解答】解：?13×＝﹣13×（23+1＝﹣13﹣0.34＝﹣13.34【變式3-3】計(jì)算：0.7×14【分析】根據(jù)乘法分配律可以解答本題；【解答】解：0.7×1＝0.7×（149+5＝0.7×2+3×（﹣15）＝1.4+（﹣45）＝﹣43.6；【題型4拆項(xiàng)法】【方法點(diǎn)撥】將一個(gè)數(shù)拆分成兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)和的形式，再利用加法交換律、結(jié)合率或者利用乘法分配率從而使得計(jì)算變得簡(jiǎn)潔.【例4】閱讀下面的計(jì)算過(guò)程，體會(huì)“拆項(xiàng)法”計(jì)算：﹣556解：原式=[(?5)+(?9)+17+(?3)]+[(?56啟發(fā)應(yīng)用用上面的方法完成下列計(jì)算：(?3【分析】將原式利用“拆項(xiàng)法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（?3【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（?3＝﹣4+（?7＝﹣4710【變式4-1】閱讀下列解題方法，然后根據(jù)方法計(jì)算．﹣516?（﹣923）＝[（﹣5）﹣（﹣9）]+[（?16）﹣（?計(jì)算：（﹣201956）+（﹣201823【分析】利用加法的結(jié)合律，將整數(shù)、分?jǐn)?shù)分別結(jié)合在一起先相加，運(yùn)算簡(jiǎn)便．【解答】解：（﹣201956）+（﹣201823＝[（﹣2019）+（﹣2018）]+[（?56）+（?＝﹣4037+（?32＝0【變式4-2】計(jì)算：﹣991517【分析】根據(jù)乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算．【解答】解：﹣991517＝（﹣100+2＝﹣100×34+2＝﹣3400+4＝﹣3396．【變式4-3】計(jì)算：399【分析】根據(jù)乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算．【解答】解：399＝（400+33＝400×（﹣6）+33＝﹣2400﹣165＝﹣240165133【題型5組合法】【方法點(diǎn)撥】找出規(guī)律，重新組合，然后通過(guò)約分或抵消簡(jiǎn)化題目.【例5】計(jì)算：1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99【分析】把原式寫(xiě)成（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99），一個(gè)有25個(gè)﹣2，據(jù)此計(jì)算即可．【解答】解：原式＝（1﹣3）+（5﹣7）+（9﹣11）+…+（97﹣99）＝（﹣2）×25＝﹣50．【變式5-1】計(jì)算：1﹣2+3﹣4+…+97﹣98+99．【分析】原式結(jié)合后，相加即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝1+（﹣2+3）+（﹣4+5）+…+（﹣98+99）＝1+1+…+1＝50．【變式5-2】計(jì)算：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016．【分析】原式四項(xiàng)四項(xiàng)結(jié)合，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：1﹣2﹣3+4+5﹣6﹣7+8+…+2013﹣2014﹣2015+2016＝（1﹣2﹣3+4）+（5﹣6﹣7+8）+…+（2009﹣2010﹣2011+2012）+（2013﹣2014﹣2015+2016）＝0．【變式5-3】計(jì)算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008．【分析】將4個(gè)數(shù)字作為一組，分組計(jì)算即可．【解答】解：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+9+10﹣11﹣12+…+2005+2006﹣2007﹣2008＝（1+2﹣3﹣4）+（5+6﹣7﹣8）+（9+10﹣11﹣12）+…+（2005+2006﹣2007﹣2008）＝﹣4+（﹣4）+…+（﹣4）＝﹣4×502＝﹣2008．【題型6裂項(xiàng)相消法】【方法點(diǎn)撥】將一個(gè)數(shù)拆分成兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)和的形式，再利用加法交換律、結(jié)合率或者利用乘法分配率從而使得計(jì)算變得簡(jiǎn)潔.【例6】閱讀材料，回答下列問(wèn)題．通過(guò)計(jì)算容易發(fā)現(xiàn)：①12?13=1（1）觀察上面的三個(gè)算式，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)像上面這樣的算式：17?（2）通過(guò)觀察，計(jì)算11×2（3）探究上述的運(yùn)算規(guī)律，試計(jì)算11×3【分析】（1）觀察①②③三個(gè)算式，可知分母中兩個(gè)乘數(shù)的差為1，分子的差也為1，直接寫(xiě)出一個(gè)類(lèi)似的算式即可；（2）根據(jù)上述規(guī)律得原式＝1?1（3）所給算式分母中兩個(gè)乘數(shù)的差為2，但分子的差為1，故前面乘以12【解答】解：（1）17故答案為：17（2）1＝1?＝1?=6（3）11×3=12（1=12（1=1=49【變式6-1】12+13（1）請(qǐng)?jiān)诶斫馍厦嬗?jì)算方法的基礎(chǔ)上，把下面兩個(gè)數(shù)表示成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的和的形式（分別寫(xiě)出表示的過(guò)程和結(jié)果）1342=＝，1772=＝（2）利用以上所得的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算：3【分析】（1）直接利用已知運(yùn)算規(guī)律進(jìn)而計(jì)算得出答案；（2）直接利用已知運(yùn)算規(guī)律將原式變形進(jìn)而計(jì)算得出答案．【解答】解：（1）13421772故答案為：16+17，6+76×7（2）3＝1+12?（12+13）+（13+14＝1?=8【變式6-2】類(lèi)比推理是一種重要的推理方法，根據(jù)兩種事物在某些特征上相似，得出它們?cè)谄渌卣魃弦部赡芟嗨频慕Y(jié)論．在異分母的分?jǐn)?shù)的加減法中，往往先化作同分母，然后分子相加減，例如：12?13=32×3（1）猜想并寫(xiě)出：1n(n+1)=（2）探究并計(jì)算下列各式：①11×2②1?2×4【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的例子，可以解答本題；（2）