【初中數(shù)學(xué)】專項(xiàng)03-解一元一次方程-重難點(diǎn)題型

解一元一次方程-重難點(diǎn)題型【知識(shí)點(diǎn)1方程及一元一次方程的定義】解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對(duì)方程的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化．【題型1解一元一次方程步驟問題】【例1】（南陽月考）下列方程去分母后，所得結(jié)果錯(cuò)誤的有（）①由?2x+13?10x+16②由37（3x+7）＝2得21（3x③由2x?16?5x+14=④2x+32?9x+5A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-1】（滑縣期末）將方程x0.2?2x?30.5=A．甲：移項(xiàng)時(shí)，沒變號(hào) B．乙：不應(yīng)該將分子分母同時(shí)擴(kuò)大10倍 C．丙：5不應(yīng)該變?yōu)?0 D．?。喝ダㄌ?hào)時(shí)，括號(hào)外面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里面的項(xiàng)未變號(hào)【變式1-2】（內(nèi)江期末）關(guān)于x的方程0.2x+0.30.2?xA．2x+32?x=B．2x+32?x=C．2x+32?10x=D．2x+32?100x【變式1-3】（門頭溝區(qū)期末）學(xué)習(xí)了一元一次方程的解法后，老師布置了這樣一道計(jì)算題3x+12甲同學(xué)：解方程3x+12解：3x+12×4?x?72（3x﹣1）﹣x﹣7＝4…第②步6x+2﹣x﹣7＝4…第③步6x﹣x＝4﹣2+7…第④步5x＝9…第⑤步x=95．…第乙同學(xué)：解方程3x+12解：3x+12×4?x?72（3x﹣1）﹣x+7＝1…第②步6x+2﹣x+7＝1…第③步6x﹣x＝1﹣2﹣7…第④步5x＝﹣8…第⑤步x=?85．…第老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過程都有錯(cuò)誤．請(qǐng)你從甲、乙兩位同學(xué)中，選擇一位同學(xué)的解答過程，幫助他分析錯(cuò)因，并加以改正．（1）我選擇同學(xué)的解答過程進(jìn)行分析（填“甲”或“乙”）；（2）該同學(xué)的解答過程從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤（填序號(hào)），錯(cuò)誤的原因是；（3）請(qǐng)寫出正確的解答過程．【知識(shí)點(diǎn)2一元一次方程的解】定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．

把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．【題型2一元一次方程的解】【例2】（鞏義市月考）已知m＝4是關(guān)于m的方程3?23（m﹣1）＝2a的解，則關(guān)于y的方程a（y﹣1）﹣1＝A．4 B．6 C．1 D．2【變式2-1】（北侖區(qū)期末）若不論k取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程2kx+a3?x?bk6=1（a、b是常數(shù)）的解總是xA．﹣0.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．1.5【變式2-2】（九龍坡區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于x的方程a3x=x2A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【變式2-3】（唐河縣期中）聰聰在對(duì)方程x+33?mx?16=5?x2①去分母時(shí)，錯(cuò)誤的得到了方程2（x+3）﹣mx﹣1＝3（5﹣x）【題型3構(gòu)造一元一次方程】【例3】（沛縣期末）已知|a﹣3|+（b+1）2＝0，代數(shù)式2b?a+m2的值比12b?a+m【變式3-1】（張家港市期末）已知關(guān)于x的方程3（x﹣2）＝x﹣a的解比x+a2=2x?a3的解小【變式3-2】（魚臺(tái)縣期末）關(guān)于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解與5（x﹣3）＝4x﹣10的解互為相反數(shù)，求﹣3a2+7a﹣1的值．【變式3-3】（青羊區(qū)校級(jí)期末）完成下列各題．（1）已知，當(dāng)x＝2，y＝﹣4時(shí)，ax3+12by+5＝2019；求當(dāng)x＝4，y=?12時(shí)，代數(shù)式ax（2）若方程x+12?2x?15=12x+1的解與關(guān)于x的方程2【題型4同解方程】【例4】（南崗區(qū)校級(jí)月考）如果方程x+73=2+3x?74的解與方程3x﹣（3a+1）＝x+（2【變式4-1】（大豐區(qū)月考）在做解方程練習(xí)時(shí)，有一個(gè)方程“2y?12=18【變式4-2】（十堰期末）已知方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同．（1）求m的值；（2）求代數(shù)式（﹣2m）2020﹣（m?32）【變式4-3】（錦江區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0為一元一次方程，且該方程的解與關(guān)于x的方程2x+15?1（1）求m，n的值；（2）在（1）的條件下，若關(guān)于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny無解，求a的值．【題型5解含絕對(duì)值的一元一次方程】【例5】（歷城區(qū)期末）如果|2x+3|＝|1﹣x|，那么x的值為（）A．?23 B．?32或1 C．?2【變式5-1】（南召縣月考）若關(guān)于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解滿足方程|x?12|＝1，則A．14或134 B．14 C．54 【變式5-2】（碑林區(qū)校級(jí)開學(xué)）解方程：|x﹣|3x+1||＝4．【變式5-3】（綠園區(qū)期末）先閱讀下列解題過程，然后解答問題．解方程：|x﹣5|＝2．解：當(dāng)x﹣5≥0時(shí)，原方程可化為x﹣5＝2，解得x＝7；當(dāng)x﹣5＜0時(shí)，原方程可化為x﹣5＝﹣2，解得x＝3．所以原方程的解是x＝7或x＝3．（1）解方程：|2x+1|＝7．（2）已知關(guān)于x的方程|x+3|＝m﹣1．①若方程無解，則m的取值范圍是；②若方程只有一個(gè)解，則m的值為；③若方程有兩個(gè)解，則m的取值范圍是．【題型6一元一次方程中的新定義問題】【例6】（泗水縣期末）定義新運(yùn)算：a?b＝a+b，a⊕b＝a﹣b，等式右邊是通常的加法、減法運(yùn)算．（1）求（﹣2）?3+4⊕（﹣2）的值；（2）化簡：（a2b）?（3ab）+（5a2b）⊕（4ab）；（3）若（2x）?1＝（﹣x+2）⊕4，求x的值．【變式6-1】（越秀區(qū)校級(jí)月考）（定義）若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解滿足x＝b+a，則稱該方程為“友好方程”，例如：方程2x＝﹣4的解為x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，則方程2x＝﹣4為“友好方程”．（運(yùn)用）（1）①﹣2x=43，②12x＝﹣1兩個(gè)方程中為“友好方程”的是（2）若關(guān)于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值；（3）若關(guān)于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n（n≠0）是“友好方程”，且它的解為x＝n，則m＝，n＝．【變式6-2】（雨花區(qū)校級(jí)期末）定義：對(duì)于一個(gè)有理數(shù)x，我們把[x]稱作x的對(duì)稱數(shù)．若x≥0，則[x]＝x﹣2；若x＜0，則[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1，[﹣2]＝﹣2+2＝0．（1）求[32（2）已知有理數(shù)a＞0，b＜0，且滿足[a]＝[b]，試求代數(shù)式（b﹣a）3﹣2a+2b的值；（3）解方程：[2x]+[x+1]＝1．【變式6-3】（萊山區(qū)期末）觀察下列兩個(gè)等式：2?13=2×13我們稱使等式a﹣b＝ab+1成立的一對(duì)有理數(shù)a，b為“共生有理數(shù)對(duì)”，記為（a，b），如：數(shù)對(duì)（2，13），（5，2（1）數(shù)對(duì)（﹣2，1），（3，12）中是“共生有理數(shù)對(duì)”的是（2）若（a，3）是“共生有理數(shù)對(duì)”，則a的值為（3）若4是“共生有理數(shù)對(duì)”中的一個(gè)有理數(shù)，求這個(gè)“共生有理數(shù)對(duì)”

解一元一次方程-重難點(diǎn)題型（解析版）【知識(shí)點(diǎn)1方程及一元一次方程的定義】解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對(duì)方程的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化．【題型1解一元一次方程步驟問題】【例1】（南陽月考）下列方程去分母后，所得結(jié)果錯(cuò)誤的有（）①由?2x+13?10x+16②由37（3x+7）＝2得21（3x③由2x?16?5x+14=④2x+32?9x+5A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】通過去分母，發(fā)現(xiàn)每個(gè)解方程都有錯(cuò)誤，從而可以得出答案．【解答】解：①由?2x+13?10x+16②由37（3x+7）＝2得3（3x③由2x?16?5x+14=④2x+32?9x+58=故選：D．【變式1-1】（滑縣期末）將方程x0.2?2x?30.5=A．甲：移項(xiàng)時(shí)，沒變號(hào) B．乙：不應(yīng)該將分子分母同時(shí)擴(kuò)大10倍 C．丙：5不應(yīng)該變?yōu)?0 D．丁：去括號(hào)時(shí)，括號(hào)外面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里面的項(xiàng)未變號(hào)【分析】利用解一元一次方程的方法判斷即可．【解答】解：A、方程x0.2?2x?3進(jìn)一步變形為10x2移項(xiàng)得：10x2故A、B、D錯(cuò)誤，C正確，故選：C．【變式1-2】（內(nèi)江期末）關(guān)于x的方程0.2x+0.30.2?xA．2x+32?x=B．2x+32?x=C．2x+32?10x=D．2x+32?100x【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形即可．【解答】解：0.2x+0.30.2?x10(0.2x+0.3)10×0.2即2x+32故選：B．【變式1-3】（門頭溝區(qū)期末）學(xué)習(xí)了一元一次方程的解法后，老師布置了這樣一道計(jì)算題3x+12甲同學(xué)：解方程3x+12解：3x+12×4?x?72（3x﹣1）﹣x﹣7＝4…第②步6x+2﹣x﹣7＝4…第③步6x﹣x＝4﹣2+7…第④步5x＝9…第⑤步x=95．…第乙同學(xué)：解方程3x+12解：3x+12×4?x?72（3x﹣1）﹣x+7＝1…第②步6x+2﹣x+7＝1…第③步6x﹣x＝1﹣2﹣7…第④步5x＝﹣8…第⑤步x=?85．…第老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過程都有錯(cuò)誤．請(qǐng)你從甲、乙兩位同學(xué)中，選擇一位同學(xué)的解答過程，幫助他分析錯(cuò)因，并加以改正．（1）我選擇同學(xué)的解答過程進(jìn)行分析（填“甲”或“乙”）；（2）該同學(xué)的解答過程從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤（填序號(hào)），錯(cuò)誤的原因是；（3）請(qǐng)寫出正確的解答過程．【分析】（1）選擇乙同學(xué)的解答過程進(jìn)行分析；（2）第①步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是利用等式的性質(zhì)漏乘；（3）寫出正確的解題過程即可．【解答】解：（1）我選擇乙同學(xué)的解答過程進(jìn)行分析；（2）該同學(xué)的解答過程從第①步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤（填序號(hào)），錯(cuò)誤的原因是利用等式的性質(zhì)漏乘；（3）方程兩邊同時(shí)乘以4，得：2（3x+1）﹣（x﹣7）＝4，去括號(hào)，得：6x+2﹣x+7＝4，移項(xiàng)，得：6x﹣x＝4﹣2﹣7，合并同類項(xiàng)，得：5x＝﹣5，系數(shù)化1，得：x＝﹣1．故答案為：（1）乙；（2）①；利用等式的性質(zhì)漏乘．【知識(shí)點(diǎn)2一元一次方程的解】定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．

把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．【題型2一元一次方程的解】【例2】（鞏義市月考）已知m＝4是關(guān)于m的方程3?23（m﹣1）＝2a的解，則關(guān)于y的方程a（y﹣1）﹣1＝A．4 B．6 C．1 D．2【分析】把m＝4代入3?23（m﹣1）＝2a求得a的值，然后將其代入關(guān)于y的方程求得【解答】解：把m＝4代入3?23（m﹣1）＝2a，得3?2解得a=1所以12（y﹣1）﹣1=解得y＝4．故選：A．【變式2-1】（北侖區(qū)期末）若不論k取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程2kx+a3?x?bk6=1（a、b是常數(shù)）的解總是xA．﹣0.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．1.5【分析】把x＝1代入得出（b+4）k＝7﹣2a，根據(jù)方程總有根x＝1，推出b+4＝0，7﹣2a＝0，求出即可．【解答】解：把x＝1代入得：2k+a3去分母得：4k+2a﹣1+kb＝6，∴（b+4）k＝7﹣2a，∵不論k取什么實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程2kx+a3?x?bk6=1（a∴b+4＝0，7﹣2a＝0，∴a=72，∴a+b=72?故選：A．【變式2-2】（九龍坡區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于x的方程a3x=x2A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【分析】若一元一次方程ax+b＝0無解，則a＝0，b≠0，據(jù)此可得出a的值．【解答】解：a3x=去分母得，2ax＝3x﹣x+6，整理得，（2a﹣2）x﹣6＝0，∵方程無解，∴2a﹣2＝0，解得a＝1．故選：A．【變式2-3】（唐河縣期中）聰聰在對(duì)方程x+33?mx?16=5?x2①去分母時(shí)，錯(cuò)誤的得到了方程2（x+3）﹣mx﹣1＝3（5﹣x）【分析】將x=52代入方程②，整理即可求出m的值，將m的值代入方程【解答】解：把x=52代入方程②得：2（52+3）?52把m＝1代入方程①得：x+33去分母得：2（x+3）﹣x+1＝3（5﹣x），去括號(hào)得：2x+6﹣x+1＝15﹣3x，移項(xiàng)合并得：4x＝8，解得：x＝2，則方程的正確解為x＝2．【題型3構(gòu)造一元一次方程】【例3】（沛縣期末）已知|a﹣3|+（b+1）2＝0，代數(shù)式2b?a+m2的值比12b?a+m【分析】先根據(jù)|a﹣3|+（b+1）2＝0求出a，b的值，再根據(jù)代數(shù)式2b?a+m2的值比12b?a+m的值多1列出方程2b?a+m2=12【解答】解：∵|a﹣3|≥0，（b+1）2≥0，且|a﹣3|+（b+1）2＝0，∴a﹣3＝0且b+1＝0，解得：a＝3，b＝﹣1．由題意得：2b?a+m2即：?5+m2m?52解得：m＝0，∴m的值為0．【變式3-1】（張家港市期末）已知關(guān)于x的方程3（x﹣2）＝x﹣a的解比x+a2=2x?a3的解小【分析】分別求得關(guān)于x的方程3（x﹣2）＝x﹣a、x+a2=2x?a3的解，然后根據(jù)題意列出關(guān)于【解答】解：∵3（x﹣2）＝x﹣a，∴x=6?a∵x+a2∴x＝5a；∵6?a2比5a小5∴6?a2解得：a＝1．【變式3-2】（魚臺(tái)縣期末）關(guān)于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解與5（x﹣3）＝4x﹣10的解互為相反數(shù)，求﹣3a2+7a﹣1的值．【分析】先求出第二個(gè)方程的解，得出第一個(gè)方程的解是x＝﹣5，把x＝﹣5代入第一個(gè)方程，再求出a即可．【解答】解：解方程5（x﹣3）＝4x﹣10得：x＝5，∵兩個(gè)方程的根互為相反數(shù)，∴另一個(gè)方程的根為x＝﹣5，把x＝﹣5代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1得：4×（﹣5）﹣（3a+1）＝6×（﹣5）+2a﹣1，解這個(gè)方程得：a＝2，所以﹣3a2+7a﹣1＝﹣3×22+7×2﹣1＝1．【變式3-3】（青羊區(qū)校級(jí)期末）完成下列各題．（1）已知，當(dāng)x＝2，y＝﹣4時(shí)，ax3+12by+5＝2019；求當(dāng)x＝4，y=?12時(shí)，代數(shù)式ax（2）若方程x+12?2x?15=12x+1的解與關(guān)于x的方程2【分析】（1）將x＝2，y＝﹣4代入得8a﹣2b＝2014，由等式的性質(zhì)可知：8a﹣2b＝2014，將x＝4，y=?12代入代數(shù)式ax+8by3+1013得：原式（2）分別求得兩個(gè)方程的解，然后利用倒數(shù)的定義求得a的值，最后代入求值即可．【解答】解：（1）當(dāng)x＝2，y＝4時(shí)，ax∴23∴8a﹣2b+5＝2019∴8a﹣2b＝2014．當(dāng)x=4，y=?12時(shí)，4a+8b×(?12)3+1013=（2）解方程x+12去分母得5（x+1）﹣2（2x﹣1）＝5x+10，移項(xiàng)，得5x+5﹣4x+2＝5x+10，合并同類項(xiàng)，得﹣4x＝3，化系數(shù)為1，得x=?3解方程2x+6a?x去分母，得12x+3（6a﹣x）＝2a﹣12x，去括號(hào)，得12x+18a﹣3x＝2a﹣12x，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得21x＝﹣16a，化系數(shù)為1，得x=?16a∵兩個(gè)方程的解互為倒數(shù)，∴?3∴a=7∴4a+1=4×7【題型4同解方程】【例4】（南崗區(qū)校級(jí)月考）如果方程x+73=2+3x?74的解與方程3x﹣（3a+1）＝x+（2【分析】先解出第一個(gè)方程的解，代入第二個(gè)方程中，求出a的值，然后再求a?1【解答】解：x+734（x+7）＝24+3（3x﹣7），4x+28＝24+9x﹣21，4x﹣9x＝24﹣21﹣28，﹣5x＝﹣25，x＝5；把x＝5代入3x﹣（3a+1）＝x+（2a﹣1）得：15﹣3a﹣1＝5+2a﹣1，﹣3a﹣2a＝5﹣1﹣15+1，﹣5a＝﹣10，a＝2，∴a?＝2?＝1.5．答：式子a?1【變式4-1】（大豐區(qū)月考）在做解方程練習(xí)時(shí)，有一個(gè)方程“2y?12=18【分析】設(shè)■為a，先解出方程5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4＝7的解，代入2y?12=1【解答】解：∵5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4＝7，解得：x＝4，∴y＝x＝4，■為a，則方程“2y?12=1把y＝4代入得：2×4?12=解得：a＝7，∴未知的常數(shù)為7．【變式4-2】（十堰期末）已知方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同．（1）求m的值；（2）求代數(shù)式（﹣2m）2020﹣（m?32）【分析】（1）分別解出兩個(gè)方程的解，根據(jù)解相同列出方程，解方程即可；（2）代入求值即可．【解答】解：（1）由4x+2m＝3x+1解得：x＝1﹣2m，由3x+2m＝6x+1解得：x=2m?1由題知：1﹣2m=2m?1解得：m=1（2）當(dāng)m=1（﹣2m）2020﹣（m?32＝（﹣2×12）2020﹣（1＝1+1＝2．【變式4-3】（錦江區(qū)校級(jí)期末）已知關(guān)于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0為一元一次方程，且該方程的解與關(guān)于x的方程2x+15?1（1）求m，n的值；（2）在（1）的條件下，若關(guān)于y的方程|a|y+a＝m+1﹣2ny無解，求a的值．【分析】（1）利用一元一次方程的定義即可求出m的值，根據(jù)兩個(gè)方程同解可得n的值；（2）把m和n的值代入方程求出方程的解，根據(jù)方程無解的條件列式可得a的值．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的方程（m+3）x|m|﹣2+6n＝0是一元一次方程，∴|m|﹣2＝1，m+3≠0，解得：m＝3，當(dāng)m＝3時(shí)，方程為：6x+6n＝0，解得：x＝﹣n，2x+15?12（2x+1）﹣10＝5（x+n），4x+2﹣10＝5x+5n，4x﹣5x＝5n+8，﹣x＝5n+8，解得：x＝﹣5n﹣8，∴﹣5n﹣8＝﹣n，∴n＝﹣2；（2）把m＝3，n＝﹣2代入|a|y+a＝m+1﹣2ny，得：|a|y+a＝4+4y，∴y=4?a∵y的方程|a|y+a＝4+4y無解，∴|a|?4=04?a≠0∴a＝﹣4．【題型5解含絕對(duì)值的一元一次方程】【例5】（歷城區(qū)期末）如果|2x+3|＝|1﹣x|，那么x的值為（）A．?23 B．?32或1 C．?2【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義得到2x+3＝1﹣x或2x+3＝﹣（1﹣x），然后解兩個(gè)一次方程即可．【解答】解：∵|2x+3|＝|1﹣x|，∴2x+3＝1﹣x或2x+3＝﹣（1﹣x），∴x=?23或故選：D．【變式5-1】（南召縣月考）若關(guān)于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解滿足方程|x?12|＝1，則A．14或134 B．14 C．54 【分析】解含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程要根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)和絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)代數(shù)式的值分情況討論，即去掉絕對(duì)值符號(hào)得到一般形式的一元一次方程，再求解．【解答】解：因?yàn)榉匠蘾x?1所以x?1解得x=32或x因?yàn)殛P(guān)于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解滿足方程|x?1所以解方程x+2＝2（m﹣x）得，m=3x+2當(dāng)x=32時(shí)，m當(dāng)x=?12時(shí)，m所以m的值為：134或1故選：A．【變式5-2】（碑林區(qū)校級(jí)開學(xué)）解方程：|x﹣|3x+1||＝4．【分析】從內(nèi)向外，根據(jù)絕對(duì)值定義性質(zhì)簡化方程；有|x|＝1，得x＝±1聯(lián)想此題．【解答】解：原方程式化為x﹣|3x+1|＝4或x﹣|3x+1|＝﹣4（1）當(dāng)3x+1＞0時(shí)，即x＞?1由x﹣|3x+1|＝4得x﹣3x﹣1＝4∴x=?52與x由x﹣|3x+1|＝﹣4得x﹣3x﹣1＝﹣4∴x=（2）當(dāng)3x+1＜0時(shí)，即x＜?1由x﹣|3x+1|＝4得x+3x+1＝4∴x=34與x由x﹣|3x+1|＝﹣4得x+3x+1＝﹣4∴x=?故原方程的解是x=?54或【變式5-3】（綠園區(qū)期末）先閱讀下列解題過程，然后解答問題．解方程：|x﹣5|＝2．解：當(dāng)x﹣5≥0時(shí)，原方程可化為x﹣5＝2，解得x＝7；當(dāng)x﹣5＜0時(shí)，原方程可化為x﹣5＝﹣2，解得x＝3．所以原方程的解是x＝7或x＝3．（1）解方程：|2x+1|＝7．（2）已知關(guān)于x的方程|x+3|＝m﹣1．①若方程無解，則m的取值范圍是；②若方程只有一個(gè)解，則m的值為；③若方程有兩個(gè)解，則m的取值范圍是．【分析】（1）類比題干的解題過程，根據(jù)絕對(duì)值的定義，解決問題（1）．（2）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性，任意a，|a|≥0．進(jìn)而解決問題（2）．【解答】解：（1）當(dāng)2x+1≥0時(shí)，原方程可化為2x+1＝7，解得x＝3；當(dāng)2x+1＜0時(shí)，原方程可化為2x+1＝﹣7，解得x＝﹣4．∴原方程的解是x＝3或x＝﹣4．（2）①∵任意a，|a|≥0，∴若關(guān)于x的方程|x+3|＝m﹣1無解，則m﹣1＜0．∴m＜1．②若關(guān)于x的方程|x+3|＝m﹣1只有一個(gè)解，則m﹣1＝0．∴m＝1．③若關(guān)于x的方程|x+3|＝m﹣1有兩個(gè)解，則m﹣1＞0．∴m＞1．故答案為：①m＜1；②1；③m＞1．【題型6一元一次方程中的新定義問題】【例6】（泗水縣期末）定義新運(yùn)算：a?b＝a+b，a⊕b＝a﹣b，等式右邊是通常的加法、減法運(yùn)算．（1）求（﹣2）?3+4⊕（﹣2）的值；（2）化簡：（a2b）?（3ab）+（5a2b）⊕（4ab）；（3）若（2x）?1＝（﹣x+2）⊕4，求x的值．【分析】根據(jù)新運(yùn)算的定義，將新運(yùn)算轉(zhuǎn)化為常規(guī)運(yùn)算，利用相關(guān)法則解答．【解答】解：（1）∵a?b＝a+b，a⊕b＝a﹣b，∴（﹣2）?3+4⊕（﹣2）＝（﹣2）+3+4﹣（﹣2）＝﹣2+3+4+2＝7．（2）∵a?b＝a+b，a⊕b＝a﹣b，∴（a2b）?（3ab）+（5a2b）⊕（4ab）＝（a2b）+3ab+（5a2b）﹣（4ab）＝a2b+3ab+5a2b﹣4ab＝6a2b﹣ab．（3）∵a?b＝a+b，a⊕b＝a﹣b，∴（2x）?1＝（﹣x+2）⊕4轉(zhuǎn)變?yōu)椋?x+1＝﹣x+2﹣4．解這個(gè)方程得：x＝﹣1．答：x的值為﹣1．【變式6-1】（越秀區(qū)校級(jí)月考）（定義）若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解滿足x＝b+a，則稱該方程為“友好方程”，例如：方程2x＝﹣4的解為x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，則方程2x＝﹣4為“友好方程”．（運(yùn)用）（1）①﹣2x=43，②12x＝﹣1兩個(gè)方程中為“友好方程”的是（2）若關(guān)于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值；（3）若關(guān)于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n（n≠0）是“友好方程”，且它的解為x＝n，則m＝，n＝．【分析】（1）利用題中的新定義判斷即可；（2）根據(jù)題中的新定義列出有關(guān)b的方程，求出方程的解即可得到b的值；利用題中的新定義確定出所求即可；（3）根據(jù)“友好方程”的定義即可得出關(guān)于m、n的二元二次方程組，解之即可得出m、n的值．【解答】解：（1）①﹣2x=4解得：x=?而?2②12x解得：x＝﹣2，﹣2≠﹣1+1故答案是：①；（2）方程3x＝b的解為x=b所以b3=3+解得b=?9（3）∵關(guān)于x的一元一次方程﹣2x＝mn