（新教材）2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考卷　數(shù)學(xué)（一）解析版

此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)數(shù)學(xué)（一）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓，則這個(gè)幾何體一定是（）A．圓柱 B．圓錐C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體【答案】C【解析】各個(gè)截面都是圓，幾何體中只有球體的任意截面都是圓，這個(gè)幾何體一定是球體，故選C．2．若一個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為4，且其側(cè)面積為其軸截面面積的4倍，則該圓錐的高為（）A．π B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，高為h，由圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為4，所以圓錐的側(cè)面積為，又圓錐的軸截面面積為，所以，解得，所以該圓錐的高為π，故選A．3．如圖所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二測(cè)畫(huà)法下的直觀圖，A′B′在x′軸上，B′C′與x′軸垂直，且B′C′＝3，則△ABC的邊AB上的高為（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】過(guò)點(diǎn)C′作C′D′∥y′軸，交x′軸于點(diǎn)D′，則∠C′D′B′＝45°．∵在中，，∴，所以△ABC的邊AB上的高，故選A．4．側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐，底面邊長(zhǎng)為a時(shí)，該三棱錐的表面積是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，PA，PB，PC兩兩垂直且，△ABC為等邊三角形，，∴，∴表面積為，故選A．5．設(shè)m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若m∥n，m?α，則n∥α；②若m∥n，m?α，n?β，則α∥β；③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】對(duì)于①，若m∥n，m?α，則n∥α或n?α，故①錯(cuò)；對(duì)于②，若m∥n，m?α，n?β，則α∥β或α與β相交，故②錯(cuò)；對(duì)于③，若m∥α，n∥α，則m∥n或m，n相交或m，n異面，故③錯(cuò)；對(duì)于④，若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β或α與β相交，故④錯(cuò)，故選A．6．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載的“芻甍”是指底面為矩形，頂部只有一條棱的五面體．如圖，五面體是一個(gè)芻甍，其中是正三角形，，則以下兩個(gè)結(jié)論：①；②，（）A．①和②都不成立 B．①成立，但②不成立C．①不成立，但②成立 D．①和②都成立【答案】B【解析】對(duì)于①，，平面，平面，平面，平面，平面平面，，①成立；對(duì)于②，如圖，取中點(diǎn)，連接、，，，，即，由，為的中點(diǎn)，則，所以，四邊形為平行四邊形，則，不妨設(shè)，則，假設(shè)，則，則，即，即，但的長(zhǎng)度不定，故假設(shè)不一定成立，即②不一定成立，故選B．7．如圖，平面α⊥平面β，，，AB與兩平面α，β所成的角分別為和．過(guò)A，B分別作兩平面交線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為A′，B′，則等于（）A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3【答案】A【解析】由已知條件可知，，設(shè)，則，，∴在Rt△BB′A′中，得，∴．8．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且截面，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取CD的中點(diǎn)為N，的中點(diǎn)為R，的中點(diǎn)為H，作圖如下：由圖可知，，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，，故平面平面，因?yàn)榻孛?，所以平面，線(xiàn)段MP掃過(guò)的圖形為，由，知，，在中，，即，所以，所以，即為直角，故線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍為，即，故選B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．DE與CC1為異面直線(xiàn)B．DE與平面BCC1B1所成角的正切值為C．過(guò)D?C?E三點(diǎn)的平面截正方體所得兩部分的體積相等D．線(xiàn)段DE在底面ABCD的射影長(zhǎng)為【答案】ABC【解析】由圖可知：DE與CC1為異面直線(xiàn)，∴A正確；因?yàn)槠矫嫫矫妫耘c平面所成角即與平面所成角，連接A1D，顯然，是與平面所成角．在直角三角形EA1D中：，∴B正確；過(guò)D?C?E三點(diǎn)的平面截正方體所得兩部分的體積關(guān)系即為平面A1B1CD截正方體所得兩部分的體積關(guān)系，由正方體的對(duì)稱(chēng)性可知截得兩部分幾何體的體積相等，∴C正確；取AB中點(diǎn)F，連接EF、DF，∵且B1B⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD，∴DF的長(zhǎng)為線(xiàn)段DE在底面ABCD的射影長(zhǎng)，在直角三角形DFE中：，，∴，∴D錯(cuò)，故選ABC．10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅求幾何體的體積時(shí)，提出一個(gè)原理：冪勢(shì)即同，則積不容異．這個(gè)定理的推廣是夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的平面所截，若截得兩個(gè)截面面積比為，則兩個(gè)幾何體的體積比也為．如下圖所示，已知線(xiàn)段長(zhǎng)為4，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與垂直，以為圓心，以1為半徑的圓繞旋轉(zhuǎn)一周，得到環(huán)體；以，分別為上下底面的圓心，以1為上下底面半徑的圓柱體；過(guò)且與垂直的平面為，平面，且距離為，若平面截圓柱體所得截面面積為，平面截環(huán)體所得截面面積為，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓柱體的體積為 B．C．環(huán)體的體積為 D．環(huán)體的體積為【答案】ABD【解析】由已知圓柱體的體積為，故選項(xiàng)A正確；由圖可得，，其中，，故，故選項(xiàng)B正確；環(huán)體體積為，故選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選ABD．11．已知三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，，，，過(guò)作平面的垂線(xiàn)，且，，與都在平面的同側(cè)，則（）A．三棱錐的體積為 B．C． D．球的表面積為【答案】ABD【解析】如圖，長(zhǎng)方體的高為1，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，滿(mǎn)足，，，三棱錐的體積為，故A正確；，滿(mǎn)足，可得，故B正確；平面，平面，則，假設(shè)，則，與與相交于矛盾，故C錯(cuò)誤；三棱錐的外接球即長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)其半徑為，則，即，可得球的表面積為，故D正確，故選ABD．12．如圖，在正方體中，點(diǎn)E在棱上，且，是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．存在一點(diǎn)F使得C．三棱錐的體積與點(diǎn)F的位置無(wú)關(guān)D．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最小值為【答案】ABC【解析】如圖，連接，易證平面，則，故A正確；在上取一點(diǎn)H，使得，連接，易證四邊形為平行四邊形，則，，若，易證四邊形為平行四邊形，則，，從而，，故四邊形為平行四邊形，于是，故B正確；設(shè)，三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，則，即三棱錐的體積與正方體的棱長(zhǎng)有關(guān)，與點(diǎn)F的位置無(wú)關(guān)，故C正確；以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，從而，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，從而，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，因?yàn)?，所以，所以，故D錯(cuò)誤，故選ABC．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．某圓臺(tái)下底半徑為2，上底半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為2，則該圓臺(tái)的表面積為_(kāi)_______．【答案】【解析】由題意知，該圓臺(tái)的表面積為，故答案為．14．把底面半徑為8cm的圓錐放倒在一平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點(diǎn)S滾動(dòng)，當(dāng)這個(gè)圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時(shí)，圓錐本身滾動(dòng)了周，則圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_____cm，表面積等于_____cm2．【答案】20，【解析】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l，如圖，以S為圓心，SA為半徑的圓的面積．又圓錐的側(cè)面積．∵圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)到原位置時(shí)，圓錐本身滾動(dòng)了周，∴，∴．圓錐的表面積．故答案為20，．15．如果三棱錐的底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面上的射影是的中心，則這樣的三棱錐稱(chēng)為正三棱錐，有下列結(jié)論：①正三棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等；②正三棱錐至少有一組對(duì)棱不垂直；③當(dāng)三棱錐所有棱長(zhǎng)都相等時(shí)，該棱錐內(nèi)任意一點(diǎn)到它的四個(gè)面的距離之和為定值；④若正三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為，則該棱錐內(nèi)切球的表面積等于；⑤若正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為2，一個(gè)側(cè)面的頂角為40°，過(guò)點(diǎn)的平面分別交側(cè)棱，于，，則周長(zhǎng)的最小值等于．以上結(jié)論正確的是__________．【答案】③④⑤【解析】對(duì)于①，正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)不一定相等，故①不正確；對(duì)于②，在正三棱錐中，設(shè)的中心為，如圖：則平面，所以，又，所以平面，所以，同理，，故②不正確；對(duì)于③，當(dāng)三棱錐所有棱長(zhǎng)都相等時(shí)，幾何體為正四面體，設(shè)三棱錐的高為，每個(gè)面的面積為，點(diǎn)到它的四個(gè)面的距離為，則，所以為定值，故③正確；對(duì)于④，因?yàn)檎忮F的所有棱長(zhǎng)均為，設(shè)的中心為，如圖：則，，所以由③知，該棱錐內(nèi)切球的半徑，其表面積為，故④正確；對(duì)于⑤，沿將正三棱錐剪開(kāi)，并展在一個(gè)平面內(nèi)，得到其側(cè)面展開(kāi)圖：在側(cè)面展開(kāi)圖中，當(dāng)四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，原幾何體中的周長(zhǎng)最小，且為的長(zhǎng)，因?yàn)檎忮F的側(cè)棱長(zhǎng)為2，一個(gè)側(cè)面的頂角為40°，所以，，所以，所以周長(zhǎng)的最小值等于，故⑤正確，故答案為③④⑤．16．如圖，二面角的平面角的大小為，，，，，則四面體的外接球表面積為_(kāi)_______．【答案】【解析】在中，，，所以，設(shè)的外接圓的半徑為，則，所以，在中，，，，所以；設(shè)的外接圓的半徑為，則，所以，又作，，所以為二面角的平面角，即，所以，，所以，設(shè)四面體的外接球的球心為，球半徑為，則，所以，所以四面體的外接球表面積為，故答案為．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）正方體中，M，N，Q，P分別是AB，BC，，的中點(diǎn)．（1）證明：M，N，Q，P四點(diǎn)共面；（2）證明：PQ，MN，DC三線(xiàn)共點(diǎn)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）連接．分別為的中點(diǎn)，且，分別為，的中點(diǎn)，且，四邊形為平行四邊形，且，，且，四點(diǎn)共面．（2）由（1）知，且，必交于一點(diǎn)．，平面，平面．，平面，平面．又平面平面，，即三線(xiàn)共點(diǎn)．18．（12分）已知斜三棱柱的側(cè)面與底面垂直，，．且為中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線(xiàn)與底面所成角的大小．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）連接，，則，又面，面，平面．（2）連接，取中點(diǎn)，連接，則，由面與底面垂直，且面，可得面，則為直線(xiàn)與底面所成角，設(shè)，則，，則，，即，則直線(xiàn)與底面所成角的大小為．19．（12分）四棱錐，底面為正方形ABCD，邊長(zhǎng)為4，E為AB中點(diǎn)，PE⊥平面ABCD．（1）若△PAB為等邊三角形，求四棱錐的體積；（2）若CD的中點(diǎn)為F，PF與平面ABCD所成角為45°，求PC與AD所成角的大?。敬鸢浮浚?）；（2）．【解析】（1）∵△PAB為等邊三角形，且E為AB中點(diǎn)，AB＝4，∴，又PE⊥平面ABCD，∴四棱錐的體積．（2）∵PE⊥平面ABCD，∴∠PFE為PF與平面ABCD所成角為45°，即∠PFE＝45°，∴△PEF為等腰直角三角形，∵E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，∴PE＝FE＝4，∴，∵AD∥BC，∴∠PCB或其補(bǔ)角即為PC與AD所成角，∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥BC，又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE、AB?平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，在Rt△PBC中，，故PC與AD所成角的大小為．20．（12分）如圖，直四棱柱的底面ABCD是菱形，，，點(diǎn)O1，O分別是上、下底面菱形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)O到平面的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）因?yàn)榍?，所以四邊形A1ACC1是平行四邊形，所以且．因?yàn)镺1，O分別是A1C1，AC的中點(diǎn)，故且OC＝A1O1．所以四邊形A1O1CO為平行四邊形，所以．又平面CB1D1，平面CB1D1，所以平面CB1D1．（2）（解法1等體積法．）設(shè)點(diǎn)O到平面CB1D1的距離為h．因?yàn)镈1D⊥平面ABCD，所以D1D⊥CO．因?yàn)锳C，BD為菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，所以CO⊥BD．因?yàn)镈1D∩BD＝D，所以CO⊥平面BB1D1D．在菱形ABCD中，BC＝1，∠BCD＝60°，．則點(diǎn)O到直線(xiàn)B1D1的距離為DD1＝1，且BD＝B1D1＝1，所以△OB1D1的面積，所以三棱錐C-OB1D1的體積．在中，，，則的面積，由，得，因此，點(diǎn)O到平面CB1D1的距離為．（解法2作垂線(xiàn)．）因?yàn)锳A1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．因?yàn)锳1C1，B1D1為菱形A1B1C1D1的對(duì)角線(xiàn)，所以B1D1⊥A1C1．因?yàn)锳A1∩A1C1＝A1，所以B1D1⊥平面AA1C1C．因?yàn)锽1D1?平面CB1D1，所以平面CB1D1⊥平面AA1C1C．在平面AA1C1C內(nèi)，作OH⊥CO1，H為垂足，而平面CB1D1∩平面AA1C1C＝CO1，所以O(shè)H⊥平面CB1D1，即線(xiàn)段OH的長(zhǎng)為點(diǎn)O到平面CB1D1的距離．在矩形AA1C1C中，，，，所以，故．因此，點(diǎn)O到平面CB1D1的距離為．21．（12分）如圖，四棱錐中，，底面為矩形，平面平面，O?E分別是棱、的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，∴，且，又是矩形，，，是中點(diǎn)，∴，，∴是平行四邊形，∴，而平面，平面，∴平面．（2）取中點(diǎn)，連接，，，是矩形，是中點(diǎn)，則，又，∴，而平面平面，平面平面，平面，∴平面，