《琴生不等式的應用探析綜述》4200字

琴生不等式的應用分析綜述1.1代數(shù)應用1.1.1證明代數(shù)不等式【例1】利用琴生不等式證明柯西不等式(a1b1+a2b證：引進fx=x2,，則f根據琴生不等式(p當且僅當x1,,即p1+p于是不等式（11）成為:(a≤b即(a1b1+a當且僅當a1b1【例2】利用琴生不等式證明均值不等式x1+x2+…+x證：根據所證不等式的結構可構造函數(shù)f(x)=lnx(x>0),驗證f'f''x=?1x得=lnx≥===即≥由于函數(shù)在（0，+∞）上遞增，所以有≥成立，當且僅當x1【例3】[9]設0≤x,y≤1,證明：證：根據不等式的方向，我們需要構造一個上凸函數(shù)，所以構造函數(shù)，其中,，所構造的函數(shù)是上凸函數(shù)。令,，由琴生不等式得問題轉化為只需證，即（12）去分母得：2(1+=≥0（12）式成立，從而成立，得證。通過以上例子，說明琴生不等式在證明不等式方面具有獨特的作用。首先，它構建了一座不等式的橋梁，通過它連接不等式的兩端；其次，利用琴生不等式簡化了運算，使不等式的證明更加容易。在應用過程中，必須恰當?shù)臉嬙旌瘮?shù)，以保證函數(shù)的凹凸性與不等式方向的一致性。構造函數(shù)時應注意定義域，準確判斷其凹凸性。以上證明步驟可歸納為：構造法——判斷凹凸性——用琴生不等式證明結論[11]。1.1.2求代數(shù)最值【例4】設正整數(shù)n≥3,p是一個正整數(shù)，已知正實數(shù)滿足=1,當時，求的最小值。解：利用Ap+2xkp+xk （13）從上式，有(p+1)x將上式兩端同時除以p+1,并且關于k從1到n求和，有由題目條件知=1=（=1）2所以=從上式，有當且僅當（13）式取等號時，上式取等號，這時有x從上式，有xkp+2=p+2換句話講，當且僅當xk=p+2?時，有最小值為2(p+2)【例5】設a,b,c是正實數(shù)，滿足a+b+c=abc,求1+a2+1+b2+解:由A3a+b+c≥33abc題中已知a+b+c=abc，帶入化簡得a+b+c≥3設f(x)=1+x2(x>0),f有,,1+a2+1+因為a+b+c≥331+a2+當且僅當a=b=c=3所以1+a2+1+b1.2幾何應用在幾何問題中常出現(xiàn)最值和不等式，內容豐富，方法和技巧靈活。有時很難用純平面幾何來求解。如果把握幾何圖形的特點，找出基本的不等式關系，利用函數(shù)的凹凸性，借助于琴生不等式，往往是解決問題的關鍵所在[13]。1.2.1證明幾何不等式【例6】在?ABC中，求證,其中r為?ABC內切圓半徑，R為?ABC外接圓半徑，a,b,c為?ABC的三邊長[14]。證：令p=12(a+b+c),則有?ABC的面積,于是1現(xiàn)在證明題目中最后一個不等式，利用G2(p?a)(p?b)≤利用上式，有同理，有，將上述三個不等式相加，有1原不等式得證。【例7】如圖1所示，在?ABC中，點I是內心，求證：3AI+BI+CI≤a+b+c證：做ID垂直與AB，D為垂足（見圖1）AADDIIBBCC圖圖SEQ圖\*ARABIC1,其中,從上式，有AI=P?a類似的，有BI=所以，有AI+BI+CI=≤=將上式兩端同時開方，再乘以3，得3AI+BI+CI≤【例8】O為銳角?ABC的外心，?ABC的三邊分別為a,b,c，O到三邊的距離分別為OD，OE，OF，證明：a+b+c>2(0D+OE+OF)[15]。證：如圖2所示，α+β+γ=π，C+β+γ=π,所以同理有β=A,γ=B,CCγEDγEDβαBAβαBAOOFF圖2由正弦定理和余弦定理的定義知，本題即證在?ABC中sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC不妨設A≥B≥C,則sinA+sinB+sinC=sinA+2sin>sinA+2sin=sinA+1+=1+sinA+cosA>2由于cosx在為下凸函數(shù)，所以cosA+cosB+cosC≤3cos所以sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC原不等式得證。1.2.2求（證明）幾何最值【例9】證明在周長為2p的三角形中，正三角形的面積最大[16]。證：設三角形的三邊長分別為x,y,z,則其面積S=其中,同時取對數(shù)得令f(t)=ln(p?t),f''當且僅當p?x=p?y=p?z，即x=y=z此時， 有最大值所以,此時三角形為正三角形。A【例10】證明：圓的所有外切三角形中，正三角形的面積最小值。A2γ

2γBBC2βC2β2α圖圖3證：如圖3，設圓的半徑為r,該圓的任一外接?ABC三切點處的半徑兩兩相夾的圓心角分別為2α，2β，2γ，其中α+β+γ=π，0<α,β,γ<πS由于y=tanx在（0，π2tanα+tanβ+tanγ≥3tan當且僅當α=β=γ=π即當?ABC為正三角形時，S?ABC面積最小，最小面積為3【例11】設任意n多邊形的內角分別為A1，A2，…，An,n∈N解：設fx=1xm,根據琴生不等式，有1=nm+1即所求最小值為n1.3三角應用【例12】在?ABC中，求證：8cosA+cosB+cosC≤9+≤csc2證：令f(x)=cscx,則f(x)是（0，π3=（ 從上式，有csc≥9+cosA?B（利用余弦函數(shù)的絕對值小于1）下面證明前一個不等式cos=2cos=2cos=4利用上式，有9+=8+利用不等式(14),有8cosA+cosB+cosC=要證明前一個不等式成立，只需證明8sin不等式兩端同時乘以正實數(shù),即等價證明sinAsinBsinC≤而cos12A?B=1==完全類似的，有coscos將上述三個不等式相乘，可得sinAsinBsinC≤所以，原不等式成立。1.4信息論應用設f(x)是∪型凸函數(shù)，隨機矢量x的數(shù)學期望ExE在信息論中，利用琴生不等式證明了離散源的最大離散熵定理、連續(xù)源的最大差分熵定理、平均互信息的凸性等幾個重要定理。最大離散熵定理是一個非常重要的結論。它告訴我們，在離散信源中，當信源符號具有等概率分布時，信源的熵最大。差分熵在連續(xù)源中也有一個最大值。在這兩種情況下，一種是源的輸出值有限，另一種是源的輸出平均功率有限，并利用琴生不等式證明了相應的最大差分熵定理[17]。下面我們來證明最大離散熵定理【例13】證明最大離散熵定理：H證：設概率矢量p=(p1,p2,…，pq)已知logY在正實數(shù)集上是∩型函數(shù)，所以根據琴生不等式，有E即又yi所以得H只有當pi1.5熱力學應用Tykodi導出琴生不等式的例子，用的是物理方法，這種處理方法的先驅者是Landsberg,他在熱力學的基礎上給出了不等式的推導，在一個由不同初溫的N個物體構成的系統(tǒng)進行熱接觸達到溫度相等的過程中可以使Landsberg結果更普遍化[18]。Tykodi還可以從其他物理現(xiàn)象，如液體高度相等、濃度相等和球形微滴在一組相互關聯(lián)的關系中聚集的過程，推導出琴生不等式。雖然這些研究沒有建立通常的數(shù)學證據，但這種推導建立了數(shù)學和物理現(xiàn)象之間的簡單關系。下面給出琴生不等式的一個簡單的物理推導。考慮由N個組成完全相同但質量不相等、初溫不同的物體構成的系統(tǒng)。設S=f(u)是單位質量的熵，u是單位質量的內能，對于這樣一個擁有固定質量m的熱力學系統(tǒng)，熱容量CvC其中T是系統(tǒng)的熱力學溫度，從定義很容易證明?因為T2和Cv都為正量，所以f''<0，因此系統(tǒng)的總內能和總熵分別為其