初中生數(shù)學模型觀念的培養(yǎng)

【摘要】數(shù)學模型思想的培養(yǎng)是新一輪課程改革的熱點問題，初中數(shù)學教師要全面精準把握新課標精神，進一步提升模型觀念培養(yǎng)能力。文章在解讀數(shù)學模型概念的基礎(chǔ)上，提出了深入解讀課標，把握教學任務(wù)；積極挖掘教學資源，創(chuàng)設(shè)真實情境；注重建構(gòu)過程，強化模型觀念；突出項目學習，促進模型應(yīng)用等培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和解決實際問題能力的方法。【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學；模型觀念；提升途徑；培養(yǎng)策略數(shù)學模型是對現(xiàn)實世界中的某種特定對象或現(xiàn)象，用數(shù)學的語言和符號描述和表達而形成的數(shù)學結(jié)構(gòu)。數(shù)學模型思想是“能夠有意識地用數(shù)學的概念、原理和方法，理解、描述以及解決現(xiàn)實世界中一類問題的思想”[1]。數(shù)學教學中應(yīng)該注重模型思想的滲透和應(yīng)用，促使學生深刻領(lǐng)悟抽象難懂的數(shù)學概念，全面提升學生的數(shù)學素養(yǎng)、邏輯思維能力、創(chuàng)新精神和解決實際問題的能力，最終使學生數(shù)學素養(yǎng)得以全面提升。具體而言，初中階段模型觀念的主要表現(xiàn)包含如下幾個方面：通過數(shù)學模型，感悟數(shù)學與現(xiàn)實世界交流的基本方式；能運用方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計量、分布概率等工具構(gòu)建模型，解決簡單的實際問題；體驗從現(xiàn)實情境中提出問題，構(gòu)建模型解決問題的過程，感悟數(shù)學建模的思想方法[2]。一、深入解讀課標，把握教學任務(wù)初中數(shù)學教師應(yīng)通過多種途徑不斷提升自己對數(shù)學模型觀念培養(yǎng)的理解和教學能力，努力將數(shù)學模型思想滲透到日常教學中，為學生的全面發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。數(shù)學課程標準是教學的指南針，教師應(yīng)細致研讀其中關(guān)于模型觀念培養(yǎng)的過程和具體要求，理解其背后的教育理念和目標，如何通過數(shù)學建模活動培養(yǎng)學生的抽象思維、邏輯推理、創(chuàng)新能力和問題解決能力[3]。模型觀念培養(yǎng)的過程不僅僅是構(gòu)建數(shù)學模型的過程，更包括識別問題、選擇模型、應(yīng)用模型、驗證模型及優(yōu)化模型等完整流程。教師應(yīng)深刻理解這一過程的每個環(huán)節(jié)及其教育價值。通過閱讀國內(nèi)外數(shù)學教育領(lǐng)域的專業(yè)文獻，尤其是關(guān)于數(shù)學模型觀念培養(yǎng)的研究論文和教學案例，教師可以了解到最新的教育理念和教學方法，以及不同文化背景下模型教學的實踐探索，借鑒成功案例中的教學策略和技巧，結(jié)合自己學生的實際情況，設(shè)計符合他們認知水平的數(shù)學模型教學活動。雖然各學段對模型思想的教學要求和目標是不同的，但是它們是相輔相成、層層遞進，呈螺旋式上升的。比如，在小學，人教版從學生身邊熟悉的情境——學科競賽引入，讓學生體驗了韋恩圖（模型）的構(gòu)建過程，感悟其中蘊含的集合思想方法，用邏輯推理解決生活中較為簡單的問題。初中數(shù)學中，有數(shù)的集合、多項式的集合、方程（組）解的集合、平面圖形的集合，以及符合特定條件的點的集合（軌跡）的直觀理解；也有利用韋恩圖的特點解決數(shù)學或生活中的問題，如，表示特殊四邊形的相互關(guān)系，以及“取公共部分”求不等式（組）解集的應(yīng)用過程，都為高中系統(tǒng)學習集合思想和利用相關(guān)模型解決問題奠定扎實的基礎(chǔ)。初中數(shù)學培養(yǎng)模型觀念需要注意提高模型構(gòu)建的深度與廣度，注重模型應(yīng)用的實踐性，以便培養(yǎng)學生的模型意識與觀念。課程標準對模型觀念的培養(yǎng)，每個年級的要求有所不同，七年級的學生主要是經(jīng)歷知識生成的過程，初步感受模型觀念；八年級學生要求會用方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學模型解決一些實際生活問題；九年級學生則要求能夠比較完整地體驗數(shù)學建模的全過程。因此，我們要梳理統(tǒng)整初中三年的數(shù)學教學內(nèi)容，有意識系統(tǒng)地以數(shù)學模型思想為主線，根據(jù)教學目標和學習內(nèi)容的具體要求，設(shè)計出有針對性、有實踐性的教學方案，然后有系統(tǒng)地組織教學。比如，n個點可以連幾條線段、從同一個點引出的n條射線能形成幾個角、正多邊形的邊與對角線條數(shù)、某個集合的子集個數(shù)，到現(xiàn)實生活中的n個人的互相握手次數(shù)、單循環(huán)比賽場數(shù)、車票種類數(shù)等，都是排列組合模型中的特殊情況，且貫穿于教材的多個章節(jié)中。因此，教師要注意根據(jù)學情，適時適度地學習與總結(jié)，并讓學生能熟練應(yīng)用，為今后高中的繼續(xù)學習打好基礎(chǔ)。二、積極挖掘教學資源，創(chuàng)設(shè)真實情境教師既要深入研讀數(shù)學教材，又要開發(fā)和利用課外資源，挖掘其中蘊含的數(shù)學模型元素，引導(dǎo)學生理解模型思想的應(yīng)用?；ヂ?lián)網(wǎng)蘊藏著極其豐富的優(yōu)質(zhì)教學資源，無論是專業(yè)的教育平臺、權(quán)威的數(shù)學建模網(wǎng)站，還是教師社群分享，都能快速獲取到適合不同能力水平學生的模型觀念培養(yǎng)教學素材。學生們可以在教師的引導(dǎo)下，利用網(wǎng)絡(luò)資源深入學習和探究，接觸到更多元化的數(shù)學應(yīng)用場景，進一步拓寬知識視野和思維空間，鍛煉思維能力和創(chuàng)新精神。教具的應(yīng)用在教學中有重要的實際意義，教師可以利用簡易的耗材及身邊的廢舊物品自制教具和學具，如幾何圖形、概率實驗裝置等，讓數(shù)學模型看得見、摸得著，讓學生在擺一擺、拼一拼、說一說的過程中觸類旁通，培養(yǎng)學生的動手能力和創(chuàng)新思維。新課標中重點提出了“三會”，都是要建立數(shù)學和現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系。教師要將數(shù)學模型觀念的培養(yǎng)與學生的生活實際相結(jié)合，設(shè)計貼近學生生活的問題情境，讓學生在解決實際問題的過程中感受數(shù)學的魅力和價值，增強學生的直觀感受和實踐能力。一是從學生的日常生活出發(fā)，選取與數(shù)學模型緊密相關(guān)的實例，如購物打折、測量距離、計算利息等，通過這些實例讓學生感受到數(shù)學模型的實際應(yīng)用價值。還可以利用多媒體教學工具，展示數(shù)學模型在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用場景，增強學生的直觀感受。比如，在學習相似三角形的概念時，學生可以利用幾何畫板等可視化工具，動態(tài)地探索和構(gòu)建相似三角形的模型。二是讓學生在模擬情境中體驗。教師在課堂中設(shè)計模擬情境，如超市購物、旅行規(guī)劃、工程問題等，讓學生扮演不同角色，加深數(shù)學知識的理解與掌握，體驗數(shù)學模型的應(yīng)用過程。三是鼓勵學生走出課堂，深入校園乃至社區(qū)，進行實地調(diào)查和研究，如測量校園面積、調(diào)查同學身高體重與生活習慣關(guān)系、繪制社區(qū)地圖等。讓學生在解決問題的過程中，掌握科學研究的基本方法，培養(yǎng)創(chuàng)新思維和批判性思維，為未來的學術(shù)研究和職業(yè)發(fā)展打下堅實的基礎(chǔ)。教師可通過搭建有效的學習支架，明確學習目標，逐步引導(dǎo)與示范；提供學習資源和工具、設(shè)置挑戰(zhàn)性問題等策略來促進學生模型觀念的全面發(fā)展。比如，從小明騎自行車的簡單“行程問題”，可以拓展到“規(guī)劃出行路線”：小明要到某地參加一項活動，他需要確保在活動開始前到達目的地。層次一：假如規(guī)劃小明是從家出發(fā)，先騎自行車到火車站，然后乘坐火車前往另一個城市，再乘坐出租車到活動地點。如果限定小明乘坐的火車發(fā)車時間是上午10點出發(fā)，他最晚應(yīng)該在什么時間出發(fā)騎自行車，以確保他能按時參加活動。層次二：限定小明在下午2點前到達活動地點，鼓勵學生探索不同的出行組合方式。教師要指導(dǎo)學生使用手機中的App軟件，方便便捷的規(guī)劃出行路線。如，利用百度地圖查詢各種交通工具的路線、時長和費用，包括騎行、公交、出租車、地鐵、火車等。利用鐵路12306查詢火車班次、余票情況、發(fā)車時間、到達時間等。層次三：引導(dǎo)學生比較不同方案的時間成本、經(jīng)濟成本及舒適度，選擇最適合的方案。教師要引導(dǎo)學生思考如何在時間、費用和舒適度之間找到最佳平衡點，教會學生根據(jù)天氣、個人體力狀況、活動緊急程度等因素靈活調(diào)整出行方案，同時，鼓勵學生創(chuàng)新思維。比如，考慮拼車、使用共享單車解決短途接駁等新型出行方式。通過這樣的層次遞進教學，不僅幫助學生掌握了實用的出行規(guī)劃技能，還培養(yǎng)了他們管理時間、控制成本和綜合分析的能力。三、注重建構(gòu)過程，強化模型觀念用整體、聯(lián)系、發(fā)展的眼光注重建構(gòu)過程至關(guān)重要，因為在這個過程中體現(xiàn)了從理解數(shù)學知識到建立數(shù)學模型的思維變化，引發(fā)學生深刻思考，強化模型觀念。在概念、定理及法則的教學活動中，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學生親身體驗這些數(shù)學構(gòu)件從具體到抽象的演變過程，促使學生深入理解其內(nèi)在邏輯與核心要義，深刻把握其本質(zhì)特征。比如，講解平方差公式時，先用多項式相乘的法則計算，再引導(dǎo)觀察、分析、歸納相乘的兩個多項式有什么特點？積又有什么特點？積與原式之間有什么聯(lián)系？讓學生聚焦平方差公式模型的本質(zhì)，能充分喚醒并激發(fā)學生的模型意識，進而在實踐中不斷深化對模型觀念的理解與應(yīng)用，實現(xiàn)模型觀念培養(yǎng)的有效落地。在課堂練習時，通過同類演練、變式拓展等形式，引導(dǎo)學生從特殊到一般逐步去體會模型中的整體思想，理解模型中“不變”與“變”的本質(zhì)，體會模型的共性實質(zhì)，強化學生模型觀念，提升學生建模能力。學習完平方差公式后，師生可以共同完成練習：（a+b）（a-b）=a2-b2（-a-b）（a-b）=b2-a2（3x+2y）（3x-2y）=（3x）2-（2y）2=9x2-4y2（a+b+c）（a+b-c）=（a+b）2-c2=a2+2ab+b2-c2（a-b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）=a8-b8學生就會理解，這里的a和b，不管是具體的某個數(shù)，還是一個代數(shù)式，重點是是否符合公式特征，只有符合公式的特征才能用這個公式進行相關(guān)計算。如，當學生遇到10.2×9.8時，能夠根據(jù)數(shù)據(jù)特點聯(lián)想到平方差公式的模型，主動選擇更簡便的方法來解決問題。可以從簡單的例子開始，逐漸增加難度和復(fù)雜性，直到學生能夠獨立建構(gòu)和應(yīng)用數(shù)學模型。比如，在研究“游船的最短航行距離”中，研究從“兩點之間，線段最短”“垂線段最短”到“將軍飲馬”，再到“一定兩動點”下三段距離之和的最短問題，進而再解決“兩定點兩動點”情況下三段距離之和最短問題，等等，這樣“溫水煮青蛙”式的“進位”，巧妙地引導(dǎo)學生從兩條線段和最小的問題中體會思想、提煉方法、舉一反三，不知不覺中提高了學生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。教師要鼓勵學生積極參與實踐操作，通過親自動手來構(gòu)建數(shù)學模型解決問題。比如，學習全等三角形的證明時，全等三角形的幾何模型卻是多種多樣的，它們都有什么樣的相同點和不同點呢？如何分類整理出來呢？這就需要學生在操作的基礎(chǔ)上，分析思考、整理內(nèi)化，讓圖形有序、分門別類地呈現(xiàn)出來。教師可以讓同學們通過平移、翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)、平移加翻轉(zhuǎn)、平移加旋轉(zhuǎn)等得出全等三角形的不同組合形態(tài)，再根據(jù)不同的組合形態(tài)抽象出不同的全等三角形幾何模型。四、基于項目學習，促進模型應(yīng)用課堂上教師通過巧妙的設(shè)計完成“建?！边^程，而課后更要引導(dǎo)學生主動自覺地“用模”，來解決現(xiàn)實生活中的問題，真正內(nèi)化模型觀念。教師可以將與學生生活密切相關(guān)的問題引入課堂，如購物、旅行規(guī)劃、家庭預(yù)算等，讓學生在解決這些問題的過程中感受到數(shù)學模型的實際應(yīng)用價值。教師也可講解數(shù)學模型在物理學、經(jīng)濟學、生物學等領(lǐng)域的應(yīng)用實例，讓學生認識到數(shù)學模型的普適性和重要性。課后作業(yè)要精心設(shè)計，使學生在完成作業(yè)的過程中，運用數(shù)學模型去數(shù)學地思考與表達，將學習的模型納入認知系統(tǒng)，讓模型觀念生根，從而加強學生的應(yīng)用意識。比如，學習了“一次函數(shù)的應(yīng)用——分段收費問題”后，教師可以布置學習任務(wù)——分段計費問題的調(diào)查，讓學生們走進生活，去探索分段計費在生活中的廣泛應(yīng)用：（1）調(diào)查走訪，尋找生活中的分段計費問題；（2）任選其中一種問題進行重點調(diào)查（查閱資料或?qū)嵉乜疾欤?，弄清具體收費要求；（3）構(gòu)建函數(shù)模型，結(jié)合數(shù)學題并解決。在學習過程中，學生加深了對“分段計費”模型的理解，學會了在實際背景的問題中收集信息并分析問題，建立需要的數(shù)學模型，選擇合適的方法求解，分析這個解的意義，并與實際問題進行比較。如果解不合理則調(diào)整模型，直到實際問題得到解決?？鐚W科和項目式學習是新教材的特色和亮點。教師要鼓勵學生參與項目式學習，通過小組合作、調(diào)查研究、數(shù)據(jù)收集與分析等方式，自主構(gòu)建數(shù)學模型并解決實際問題，從而培養(yǎng)他們的探究精神和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)跨學科學習的綜合素養(yǎng)。如，學習完“軸對稱”和“中心對稱”后，教師可以布置“制作美麗的對稱圖形”的項目化學習任務(wù)，讓學生經(jīng)歷觀察、折疊、思考、抽象、裁剪或繪制等一系列實踐活動，綜合應(yīng)用數(shù)學和其他學科知識，自主分析問題、解決問