山東省東營市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．第I卷（選擇題共58分）一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置．）1.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足，則等于（）A.84 B.72 C.75 D.562.一個圓錐的母線長為8，母線與軸的夾角為，則圓錐的側(cè)面積為（）A B. C. D.3.已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的最小值為（）A.1 B. C.2 D.4.已知變量x和y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表，若由表中數(shù)據(jù)得到回歸直線方程為，則時的殘差為（）x44.555.56y76421A.0.2 B. C.0.4 D.5.已知一批產(chǎn)品的次品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取50次，假設(shè)抽出的產(chǎn)品需要專門檢測，檢測費用Y元與抽到的次品數(shù)X有關(guān)，且，則（）A.97 B.98 C.99 D.1006.已知二面角的大小為，其棱上有兩點，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都與垂直，已知，則（）A.2 B. C. D.7.記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（）．A.120 B.85 C. D.8.已知函數(shù)，若方程有三個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.已知盒中有大小相同的2個紅球和2個藍球，從中隨機摸球，下列說法正確的是（）A.每次摸出1個球并放回，則第1次摸到紅球與第2次摸到藍球是相互獨立B.每次摸出1個球并放回，連續(xù)摸n次后，摸到紅球的次數(shù)X的方差為C.每次摸出1個球不放回，則第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率為D.每次摸出1個球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第2次摸到紅球的概率為10.已知數(shù)列滿足，則（）A.存在等差數(shù)列滿足上述遞推公式B.存在等比數(shù)列滿足上述遞推公式C.存在周期數(shù)列滿足上述遞推公式D.存在擺動數(shù)列滿足上述遞推公式11.已知正方體的棱長為2，點分別是棱的中點，點是側(cè)面內(nèi)一點（含邊界），若平面，則下列說法正確的是（）A.點的軌跡為一條線段B.三棱錐體積為定值C.取值范圍是D.平面截該正方體的外接球所得截面的面積為第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題6分，共15分．請把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．）12.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則___________.13.已知正四棱臺上底面邊長為，側(cè)棱和下底面邊長都是，則體積為_______．14.已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_______四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.如圖，在三棱錐中，，，設(shè)分別為棱的中點，且．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值．16.已知等比數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由．17.某興趣小組調(diào)查并統(tǒng)計了某班級學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績和建立個性化錯題本的情況，用來研究這兩者是否有關(guān)．若從該班級中隨機抽取1名學(xué)生，設(shè)“抽取的學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績不及格”，“抽取的學(xué)生建立了個性化錯題本”，且．（1）求和；（2）若該班級共有36名學(xué)生，請完成列聯(lián)表，并分析能否有的把握認(rèn)為學(xué)生期末統(tǒng)考中數(shù)學(xué)成績是否及格與建立個性化錯題本有關(guān)；個性化錯題本期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績合計及價不及格A建處B未建立合計（3）現(xiàn)從該班不及格的學(xué)生中按照分層抽樣的方法抽取6人座談，再從這6人中隨機抽取3人了解建立錯題本情況，記建立個性化錯題本的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望．0050.010.001k3.8416.63510.828（附：，．）18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有兩個零點，求的取值范圍．19.在數(shù)列中，若存在常數(shù)，使得恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．（1）若，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，請說明理由；（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，且，數(shù)列為等比數(shù)列，且，求數(shù)列的通項公式；（3）若正項數(shù)列為“數(shù)列”，且，，證明：．2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測高二數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．第I卷（選擇題共58分）一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置．）1.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足，則等于（）A.84 B.72 C.75 D.56【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，得，所以.故選：C.2.一個圓錐的母線長為8，母線與軸的夾角為，則圓錐的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先依次算出底面圓的半徑長度以及周長，再結(jié)合圓錐側(cè)面積的計算公式即可求解.【詳解】設(shè)母線長、底面圓半徑長分別為，由題意，所以底面圓周長為，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：B.3.已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的最小值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)性可得導(dǎo)函數(shù)在上恒成立即可求解.【詳解】由上單調(diào)遞減，可得在上恒成立，故，所以，故選：A4.已知變量x和y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表，若由表中數(shù)據(jù)得到回歸直線方程為，則時的殘差為（）x44.555.56y76421A.0.2 B. C.0.4 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得樣本中心點的坐標(biāo)，即可得到，得到線性回歸方程，然后求得時的預(yù)測值，再由殘差定義即可求解.【詳解】因為，，則樣本中心點為，代入可得，所以回歸直線方程為，當(dāng)時，，所以時的殘差為.故選：D5.已知一批產(chǎn)品的次品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取50次，假設(shè)抽出的產(chǎn)品需要專門檢測，檢測費用Y元與抽到的次品數(shù)X有關(guān)，且，則（）A.97 B.98 C.99 D.100【答案】B【解析】【分析】先由二項分布的方差公式求出，再根據(jù)方差的性質(zhì)即可求出.【詳解】由題意抽到的次品數(shù)X服從二項分布，方差，而，所以.故選：B.6.已知二面角的大小為，其棱上有兩點，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都與垂直，已知，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以、為鄰邊作平行四邊形，連接，計算出、的長，證明出，利用勾股定理可求得的長.【詳解】如下圖所示，以、為鄰邊作平行四邊形，連接，因為，，則，又因為，，，故二面角的平面角為，因為四邊形為平行四邊形，則，，因為，故為直角三角形，則，，則，，，故平面，因為平面，則，故.故選：D7.記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（）．A.120 B.85 C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時，，即為，易知，，即；當(dāng)時，，與矛盾，舍去．故選：C．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運算．8.已知函數(shù)，若方程有三個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)刻畫的圖像，再根據(jù)直線與的圖像有3個不同的交點可得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故的極大值為，的極小值為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的圖像如圖所示：故，故選：A.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9.已知盒中有大小相同的2個紅球和2個藍球，從中隨機摸球，下列說法正確的是（）A.每次摸出1個球并放回，則第1次摸到紅球與第2次摸到藍球是相互獨立的B.每次摸出1個球并放回，連續(xù)摸n次后，摸到紅球的次數(shù)X的方差為C.每次摸出1個球不放回，則第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率為D.每次摸出1個球，摸出的球觀察顏色后不放回，則第2次摸到紅球的概率為【答案】AC【解析】【分析】由獨立事件定義判斷A，由二項分布方差判斷B，由條件概率判斷C，由全概率公式判斷D.【詳解】對于A，每次摸出1個球并放回，則第1次摸到紅球與第2次摸到藍球是互不影響的，即它們是相互獨立的，故A正確；對于B，摸到紅球的次數(shù)X服從二項分布，所以，故B錯誤；對于C，第1次摸到紅球的條件下，此時袋子中只有：1個紅球，兩個藍球，所以第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率為，故C正確；對于D，第一次可能摸到紅球或者藍球，結(jié)合全概率公式可知，所求概率為，故D錯誤.故選：AC.10.已知數(shù)列滿足，則（）A.存在等差數(shù)列滿足上述遞推公式B.存在等比數(shù)列滿足上述遞推公式C.存在周期數(shù)列滿足上述遞推公式D.存在擺動數(shù)列滿足上述遞推公式【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù),可得到或，進而進行判斷選項.【詳解】根據(jù),可得到或,當(dāng)時，則為當(dāng)時，則為對于A，當(dāng)時，為首項為，公差為的等差數(shù)列，故A正確；對于B,設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，因為，所以，若，則，此時，，矛盾，當(dāng)時，，此時，若為大于的奇數(shù)，，矛盾，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，則為故為周期數(shù)列，故C正確；對于C，當(dāng)時，則為故為擺動數(shù)列，故D正確.故選：ACD.11.已知正方體的棱長為2，點分別是棱的中點，點是側(cè)面內(nèi)一點（含邊界），若平面，則下列說法正確的是（）A.點的軌跡為一條線段B.三棱錐的體積為定值C.的取值范圍是D.平面截該正方體的外接球所得截面的面積為【答案】ABD【解析】【分析】對于A：通過證明平面平面可得點的軌跡；對于B：根據(jù)到平面的距離為定值來判斷；對于C：求出點到的距離；對于D：建立空間直角坐標(biāo)系，求出球心到平面的距離，從而求出截面圓的半徑.【詳解】對于A：取的中點分別為，連接、、，由正方體的性質(zhì)易得，又面，面，面，面，所以面，面，又，面，所以面面，又平面，點是側(cè)面內(nèi)一點（含邊界），所以點的軌跡為線段，A正確；對于B：的面積為定值，因為平面，所以點到平面的距離為定值，則點到平面的距離為定值，所以為定值，B正確；對于C：，，所以點到的距離，故C錯誤；對于D：連接、，則，，所以，所以、、、四點共面，正方體外接球的球心在體對角線的中點，設(shè)球心為，外接球的半徑，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則點到平面的距離，所以平面截該正方體的外接球所得截面圓的半徑，所以截面面積，故D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題D選項關(guān)鍵是利用向量法求出球心到平面的距離，從而求出截面圓的半徑.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題6分，共15分．請把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．）12.已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則___________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：正態(tài)分布均值為，，故.考點：正態(tài)分布．13.已知正四棱臺上底面邊長為，側(cè)棱和下底面邊長都是，則體積為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，求出高，再求體積即可.【詳解】如圖所示，連接，，取他們中點分別為，.連接，過作于．根據(jù)題意可求得，.則，則.則.故答案為：.14.已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a取值范圍為_______【答案】【解析】【分析】等價于，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性，可得等價于，進而可得，令，只需，利用導(dǎo)數(shù)求解最值即可得出答案．【詳解】等價于，令，則，所以是增函數(shù)，所以等價于，所以，所以，令，則，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以，故，所以實數(shù)的取值范圍為．故答案為：【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍：(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到不等式的解．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.如圖，在三棱錐中，，，設(shè)分別為棱的中點，且．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成角正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先分別證明，，再結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，結(jié)合向量夾角的坐標(biāo)公式即可進一步求解.【小問1詳解】由分別為棱的中點，得，分別為棱的中點，且，，平面平面，平面，因為平面，所以平面平面．【小問2詳解】由（1）知平面，又是等腰直角三角形，E是中點，，以E為原點，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，，記平面與平面所成角為，，平面與平面所成角的正弦值為.16.已知等比數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列定義，根據(jù)將，代入構(gòu)造方程組解得，，可得數(shù)列的通項公式；（2）假設(shè)存在，，成等比數(shù)列，由，，成等差數(shù)列可得，且，解得，與已知矛盾，因此不存在這樣的3項.【小問1詳解】由題意知當(dāng)時，①當(dāng)時，②聯(lián)立①②，解得，；所以數(shù)列的通項公式．【小問2詳解】由（1）知，，所以，可得；設(shè)數(shù)列中存在3項，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，所以，即；又因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，化簡得，即；又，所以與已知矛盾；所以在數(shù)列中不存在3項，，成等比數(shù)列．17.某興趣小組調(diào)查并統(tǒng)計了某班級學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績和建立個性化錯題本的情況，用來研究這兩者是否有關(guān)．若從該班級中隨機抽取1名學(xué)生，設(shè)“抽取的學(xué)生期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績不及格”，“抽取的學(xué)生建立了個性化錯題本”，且．（1）求和；（2）若該班級共有36名學(xué)生，請完成列聯(lián)表，并分析能否有的把握認(rèn)為學(xué)生期末統(tǒng)考中數(shù)學(xué)成績是否及格與建立個性化錯題本有關(guān)；個性化錯題本期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績合計及價不及格A建處B未建立合計（3）現(xiàn)從該班不及格的學(xué)生中按照分層抽樣的方法抽取6人座談，再從這6人中隨機抽取3人了解建立錯題本情況，記建立個性化錯題本的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望．0.050.010.001k3.8416.63510.828（附：，．）【答案】（1），（2）表格見解析，有的把握認(rèn)為期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績是否及格與建立個性化錯題本有關(guān)（3）分布列見解析，1【解析】【分析】（1）根據(jù)對立事件的概率可得，即可根據(jù)條件概率以及全概率公式即可求解，（2）計算卡方，即可與臨界值比較求解，（3）利用超幾何概率的計算得分布列，即可求解期望.【小問1詳解】因為，所以，所以由，解得，所以，則，解得．【小問2詳解】個性化錯題本期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績合計及價不及格A

建處B20424未建立4812合計241236根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到．所以有的把握認(rèn)為期末統(tǒng)考中的數(shù)學(xué)成績是否及格與建立個性化錯題本有關(guān)．【小問3詳解】從該班不及格學(xué)生中按照分層抽樣的方法隨機抽取6人進行座談，其中建立個性化錯題本的學(xué)生人數(shù)為2人，不建立個性化錯題本的學(xué)生人數(shù)為4人．故X的取值范圍是X的分布列為X012P故X的期望為18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）若有兩個零點，求的取值范圍．【答案】（1）（2）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（3）【解析】【分析】（1）先求出，在利用導(dǎo)函數(shù)求出，即為曲線在點處的切線斜率，再利用點斜式即可求出切線方程.（2）先對求導(dǎo)，化簡，再分兩個方面來討論的正負(fù)，進而得到的單調(diào)性.（3）由（2）的結(jié)論，通過單調(diào)性以及零點存在性定理來分析函數(shù)的零點.【小問1詳解】當(dāng)時，，則所以曲線在點處的切線方程為：即．故答案為：【小問2詳解】的定義域為，（?。┤簦瑒t，所以在上單調(diào)遞減（ⅱ）若，則由得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故當(dāng)時，在上單調(diào)遞減當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．【小問3詳解】（?。┤?/p>