2024-2025學(xué)年河北省邯鄲市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年河北省邯鄲市高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上．3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效．4．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.2 D.3或或【正確答案】D【分析】根據(jù)得出，然后利用子集關(guān)系，分類討論，即可求出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以或．?dāng)時(shí)，解得，則，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，解得或．當(dāng)時(shí)，，滿足題意；時(shí)，，滿足題意；綜上，或或，故選：D．2.已知復(fù)數(shù)(其中i是虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.(1，1) B.(1，-1) C.(-1，1) D.(-1，-1)【正確答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求得復(fù)數(shù)，然后利用幾何意義求得z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，-1)，故選：B.3.已知n個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，方差為c．若將這n個(gè)數(shù)據(jù)均增加2得到一組新數(shù)據(jù)，則下列關(guān)于這組新數(shù)據(jù)與原來(lái)的數(shù)據(jù)不變的是（）A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.第80百分位數(shù) D.方差【正確答案】D【分析】分別應(yīng)用平均數(shù)及中位數(shù)，百分位數(shù)方差定義判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)這n個(gè)數(shù)據(jù)為．若將這n個(gè)數(shù)據(jù)均增加2得到一組新數(shù)據(jù)，則由于平均數(shù)為所有數(shù)據(jù)之和除以n，故平均數(shù)變?yōu)?，A錯(cuò)誤；中位數(shù)為這組數(shù)據(jù)從小到大排列后中間的那個(gè)數(shù)或中間兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，由于每個(gè)數(shù)都增加2，所以中位數(shù)也增加2，即，B錯(cuò)誤；設(shè)原來(lái)n個(gè)數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為d，則這組新數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為，C錯(cuò)誤；方差描述的是一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度，因?yàn)樵瓉?lái)數(shù)據(jù)的方差為c，所以新數(shù)據(jù)的方差為c，D正確．故選:D．4.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，角終邊上有一點(diǎn)，為銳角，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由三角函數(shù)定義結(jié)合兩角差正切公式即可求解.【詳解】因?yàn)榻墙K邊上有一點(diǎn)，所以．又因?yàn)闉殇J角，且，所以，所以，故選：C5.記，設(shè)，為平面內(nèi)的非零向量，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.C.D.【正確答案】B【分析】根據(jù)向量加法減法的幾何意義和向量數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合排除法解題.【詳解】若，則，故A錯(cuò)誤；根據(jù)平面向量數(shù)量積可知：不能保證恒成立，又，所以它們的較大者一定大于等于，故B正確，D錯(cuò)誤；若，則，故C錯(cuò)誤．故選：B.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，垂直l于點(diǎn)Q，直線與C相交于M、N兩點(diǎn)．若M為靠近點(diǎn)F的的三等分點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為K，結(jié)合拋物線定義可得，可得為等邊三角形，即，求出直線的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，求得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為，可得垂直x軸，在中，利用運(yùn)算得解.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為K，因?yàn)镸為靠近點(diǎn)F的的三等分點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，由拋物線定義知，，所以，在中，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由拋物線定義知，，所以為等邊三角形，所以，可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，設(shè)與x軸的交點(diǎn)為G，由及，因?yàn)橹本€的斜率為，點(diǎn)，所以直線的方程為，聯(lián)立，消去y化簡(jiǎn)并整理得，，解得或，則點(diǎn)N橫坐標(biāo)為，又點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，可得垂直x軸，且垂足為G，在中，由，所以．故選：D．7.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，，點(diǎn)在線段上，且，則當(dāng)三棱錐的體積最小時(shí)，線段的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用線面垂直證明線線垂直，再證明線面垂直，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)，則．因?yàn)槠矫妫矫?，所以．又，平面，所以平面，由題意知，．在中，，即，化簡(jiǎn)得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)．故選：C8.如圖，在所在平面內(nèi)，分別以為邊向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，的面積，，則（）A. B. C.4 D.【正確答案】A【分析】利用正弦定理和余弦定理推得①和②式，根據(jù)題中條件化簡(jiǎn)整理求得，利用即可求得.【詳解】由和正弦定理得：①，在中，由余弦定理，②，因都是等腰直角三角形，故③，將①，③兩式代入②式，可得（*），又，所以，代入（*），解得，即．故選：A.思路點(diǎn)睛：對(duì)于含三角形邊角的方程，一般考慮利用定理邊角互化，結(jié)合題設(shè)條件，找到彼此的切入點(diǎn)和聯(lián)系，有時(shí)還需基本不等式或三角恒等變換等內(nèi)容才能解決.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.已知是定義在R上的奇函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是以4為周期的周期函數(shù)B.C.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，【正確答案】ABD【分析】對(duì)于A，根據(jù)已知條件得即可判斷；對(duì)于B，由周期性即可驗(yàn)算；對(duì)于C，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象即可判斷；對(duì)于D，根據(jù)周期性和奇函數(shù)即可求解.【詳解】由已知條件可得，．所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，A正確；，則，B正確；作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示．當(dāng)時(shí)，．結(jié)合圖象可知，x∈R時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)與函數(shù)在上的圖象無(wú)交點(diǎn)．由圖可知，函數(shù)與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，所以，D正確．故選：ABD．10.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的最小正周期為BC.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)D.函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn)【正確答案】ACD【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍，再由余弦型函數(shù)的對(duì)稱性求出的值，利用余弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項(xiàng)；代值計(jì)算可判斷B選項(xiàng)；利用三角函數(shù)圖象變換結(jié)合余弦型函數(shù)的奇偶性可判斷C選項(xiàng)；求出函數(shù)再上的值域，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，由得，所以，解得.顯然，解得，因?yàn)椋?，?因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，且，所以，，則，所以，則的最小正周期為，A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，B錯(cuò)誤：對(duì)于C，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)的函數(shù)為為偶函數(shù)，C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，得，令，由，得，則，且，則函數(shù)與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，D正確.故選：ACD.11.已知數(shù)列滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.，…是公差為2的等差數(shù)列B.，…是常數(shù)數(shù)列C.D.若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前101項(xiàng)和為【正確答案】BD【分析】根據(jù)遞推關(guān)系得出，利用等差數(shù)列的定義可判定A，B；利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可判定C；利用分組求和計(jì)算可判定D.【詳解】由，得，兩式相減得．當(dāng)時(shí)，，兩式相加得，則是公差為4的等差數(shù)列，A錯(cuò)誤；上面兩式相減得，則為常數(shù)數(shù)列，B正確；因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，即，C錯(cuò)誤；數(shù)列的前101項(xiàng)和，由B可知，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，，所以，D正確．故選：BD．思路點(diǎn)睛：結(jié)合選項(xiàng)可利用條件給出的遞推關(guān)系去判定數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、分組求和法判定幾個(gè)選項(xiàng)即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______．【正確答案】##【分析】設(shè)，利用橢圓定義和題設(shè)條件推得，再借助于，利用勾股定理計(jì)算即可求得離心率.【詳解】如圖，設(shè)，因?yàn)椋裕蓹E圓定義可知，，由，可得，所以．在中，由，可得，即得，故得．故答案為.13.在三棱錐中，，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且與垂直，當(dāng)截此三棱錐所得的截面面積最大時(shí)，此時(shí)三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)________．【正確答案】【分析】先根據(jù)截面面積最大，確定平面平面，再確定外接球球心的位置，求出外接球半徑，可求球的表面積.【詳解】如圖：如圖所示，取中點(diǎn)，連接．由，可知．同理可知，．又，平面，所以平面，所以平面即為平面．又易知，所以截此三棱錐所得的截面面積為．當(dāng)時(shí)，取得最大值．設(shè)為外接球球心，，分別為、外接圓圓心．球心滿足平面，平面，所以四邊形為正方形，且，三棱錐外接球的半徑，所以.故14.已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則y____x．（在“>”、“<”中選一個(gè)填在橫線處）【正確答案】<【分析】根據(jù)條件可得，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明，由此可得，即得，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，得解.【詳解】由，可得，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，一定有，所以，則，可得．又因?yàn)?，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，，則，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋?故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，證明，將條件式轉(zhuǎn)化為，再由單調(diào)性得解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15.已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若在內(nèi)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)取值范圍．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）求導(dǎo)，得出在x0,fx0處的切線方程，過(guò)可得，根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性以及，即可得出；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由在內(nèi)有兩個(gè)不同極值點(diǎn)x1、x2，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同的解，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，通過(guò)分析二次函數(shù)在給定區(qū)間的值域，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，且定義域?yàn)椋畡t在x0,fx0則，即．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以，又，且在上單調(diào)遞減，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，.令，得有兩個(gè)不同的解．令，所以，即函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．因?yàn)闀r(shí)，最小，且為，且時(shí)，，所以．16.某地元宵節(jié)舉行了燈展活動(dòng)，為了解觀眾對(duì)該活動(dòng)的觀感情況（“一般”或“激動(dòng)”），現(xiàn)從該活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)的觀眾中隨機(jī)抽取100名，得到下表：一般激動(dòng)合計(jì)男性4560女性12合計(jì)100（1）補(bǔ)全上面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為觀眾對(duì)該活動(dòng)的觀感程度與性別有關(guān)？（2）該活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)還舉行了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，凡當(dāng)天消費(fèi)每滿100元，可抽獎(jiǎng)一次．抽獎(jiǎng)方案是：從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球和4個(gè)黑球（形狀、大小、質(zhì)地完全相同）的抽獎(jiǎng)箱里一次性摸出2個(gè)球，若摸出2個(gè)紅球，則可獲得100元現(xiàn)金的返現(xiàn)；若摸出1個(gè)紅球，則可獲得50元現(xiàn)金的返現(xiàn)；若沒(méi)摸出紅球，則不能獲得任何現(xiàn)金返現(xiàn)．若某觀眾當(dāng)天消費(fèi)200元，記該觀眾參加抽獎(jiǎng)獲得的返現(xiàn)金額為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．α0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【正確答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，觀眾對(duì)該活動(dòng)的觀感程度與性別無(wú)關(guān)（2）分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）由題意補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，計(jì)算的值，并與臨界值比較，得出結(jié)論；（2）寫出的所有可能取值及對(duì)應(yīng)取值的概率，寫出的分布列并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】補(bǔ)全的列聯(lián)表如下：

一般激動(dòng)合計(jì)男性154560女性122840合計(jì)2773100零假設(shè)為:觀眾對(duì)該活動(dòng)的觀感程度與性別沒(méi)有關(guān)系．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立．因此我們可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為觀眾對(duì)該活動(dòng)的觀感程度與性別無(wú)關(guān)．【小問(wèn)2詳解】設(shè)一次摸球摸出2個(gè)紅球的事件為，摸出1個(gè)紅球的事件為，沒(méi)摸出紅球的事件為，則．由題意，可取200，150，100，50，0．，，．所以的分布列為：200150100500．17.如圖，三棱柱中，平面，，．過(guò)側(cè)棱的平面交線段于點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），交線段于點(diǎn)．（1）求證：;（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）根據(jù)線面、面面平行的性質(zhì)定理，先證四邊形是平行四邊形，即可得結(jié)論.（2）建立科技直角坐標(biāo)系，利用空間向量求直線與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，平面平面，所以平面．又平面平面平面，所以．而平面平面，平面平面，平面平面，所以．所以四邊形為平行四邊形．所以．【小問(wèn)2詳解】在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，因?yàn)槠矫?，平面，所以，．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，所在直線分別為軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?，所以，．因?yàn)椋?，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，，所以為平面的一個(gè)法向量．而，設(shè)直線與平面所成角為，于是得，所以直線與平面所成角的正弦值為．18.已知雙曲線左、右頂點(diǎn)分別為，離心率為.過(guò)點(diǎn)的直線l與C的右支交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為．（1）若，求：；（2）證明：為定值．【正確答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）依題意，求得雙曲線，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理可解；（2）利用兩點(diǎn)斜率公式，結(jié)合雙曲線方程求得，再結(jié)合（1）中結(jié)論即可得證.【小問(wèn)1詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，由題意得，，所以．因?yàn)椋?，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．直線，由消去y化簡(jiǎn)并整理得，解得或（舍），所以．又直線過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，所以．【小問(wèn)2詳解】設(shè)Mx1,因?yàn)?，所以．設(shè)直線，由消去x化簡(jiǎn)并整理得．