高考數(shù)學一輪復習單元質檢7立體幾何（B）（含解析）新人教A版

單元質檢七立體幾何（向

（時間：45分鐘滿分；100分）

、選擇題（本大題共6小題,每小題7分，共42分）

1.若圓錐的表面積是底面積的3倍,則該圓錐的側面展開圖扇形的圓心角為（

D.二

2.如圖,在三棱錐A-BQ）中,DA,DB,加兩兩垂直,且DB二DC,E為回的中點,則—k?—繕于（）

3.在空間四邊形中，Et/分別為AB,力〃上的點,且AE：EB=AF：FDA：4.又H,G分別為BC,CD

的中點，則（）

A.8〃〃平面EFG,且四邊形仞%7/是平行四邊形

B.哥'〃平面BCD,且四邊形班組是梯形

C.濟〃平面ABD,且四邊形砰陽是平行四邊形

D."〃平面ADC,且四邊形EFGH是梯形

4.如圖，已知直平行六面體ABCDTBC業(yè)的各條棱長均為3,/物加60°,長為2的線段的一個端

點時在如上運動,另一個端點N在底面力質上運動，則，螂的中點P的軌跡（曲面）與共頂點。的三

個面所圍成的幾何體的體積為（）

D.=

5.（2018上海，15）《九章算術》中，稱底面為矩形而有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬.設是

正六棱柱的一條側棱,如圖.若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點，以為底面矩形的一邊,則這樣的

陽馬的個數(shù)是（）

A.4B.8

C.120.16

6.已知正方體ABCD-ABCd平面a過直線BD,a_L平面ABC,an平面ABxC=m,平面B過直線

4G,8〃平面￡門平面力加4氣，則卬,〃所成角的余弦值為（）

A.OB*C.*及日

二、填空題（本大題共2小題,每小題7分，共14分）

7.在菱形ABCD中，AB/砥%60°,現(xiàn)將其沿對角線曲折成直二面角力物-。（如圖），則異面直線

仍與必所成的角的余弦值為.

8.已知球。的球面上有四點S,1,B,C其中Q1,比。四點共面,△力宏是邊長為2的正三角形,平面

$1①L平面ABC,則三棱錐ST應?的體積的最大值為.

三、解答題（本大題共3小題，共44分）

9.（14分）如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面力時為矩形,QLL平面ABCDtE為陽的中點.

⑴證明：陽〃平面力微

⑵設二面角D-AE-C為60°,AP=1,后,求三棱錐￡-力切的體積.

10.（15分）如圖,在幾何體ABCDE中,四邊形力融第是矩形,力員L平面BEC,BELEC,AB=BE=EC=2,GyF

分別是線段比;〃。的中點.

⑴求證：夕'〃平面力施';

⑵求平面4%與平面做。所成銳二面角的余弦值.

11.（15分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，刈_1_平面ABCD,AD"BC,力。_1_磔且AD=CD^[2,8。2費,陽=2.

⑴取尸。的中點式求證:"V〃平面PAB\

⑵求直線力。與陽所成角的余弦值;

⑶在線段依上是否存在一點M,使得二面角.WTC-〃的大小為45。？如果存在,求方獷與平面.明C所

成的角；如果不存在,請說明理由.

單元質檢七立體幾何(而

1.C解析設圓錐的底面半徑為r,母線長為/,側面展開圖扇形的圓心角為0,

根據(jù)條件得冗rl-f-Ji/4nr,即J=2r,

2

根據(jù)扇形面積公式得寸rl,

即21二小三五，故選C.

2.D解析,?>=('+*)?k=>?'+*?>=k?(k+

-k)-~J?---->+----?----,4).

3.B解析如圖，由題意，得反'〃"且加

5

HG//BD,且HG.,

故EF//HGt且EF^HG.

因此，四邊形加第是梯形.

由題可得牙〃平面BCD,而〃與平面4%不平行,故選B.

4.A解析MN2則DPG,則點尸的軌跡為以〃為球心,半徑r=\的球面的一部分，則球的體積為

《…當

:'/胡〃與0°,

,：4心120。，120。為360。的，，只取半球的提

rzi.l4式112兀

則夕=x§X5=丁.

5.D解析設正六棱柱為力比陽F山G〃石凡

以側面力/I由8,力力出產(chǎn)為底面矩形的陽馬有

E-AABB,Ei-AAWW,D-AAMB,從-AA\B出,C-AAiRF,GT4"夕。-4A、RF,倒-AA/F,

共8個；

以對角面AA^C,44EE為底面矩形的陽馬有廣乂4GC4G6；。-44CC4T4GCB-AAEE,8-

AA\E\EtD-AA\E\E,D\~AA\E\E,

共8個.

所以共有8用刁6(個)，故選I).

6.D解析如圖所示，：?能_1_平面451C平面。過直線能a_L平面451C

?：平面a即為平面DB%\.

設ACC\BD=O.

.：aG平面ABiC=OB\=m.

:,平面4G。過直線4G,與平面力8。平行,而平面￡過直線4G,￡〃平面力8c

?：平面4G〃即為平面C平面ADDxAx=A\D=ny

又A\D〃B\C,

,:小，〃所成角為N必C

由△9C為正三角形,則cosNOBCs]=當.故選D.

bL

74.；解析如圖,取助的中點0,連接AO,CO,建立如圖所示的空間直角坐標系，

,?'AB24BCD儂：

?"(0,0,?8(1,0,0),M-1,0,0),。0,V3,0),

?:-(1,0,M),--(-1,-73,0),

?,----------—?一■t-I?

,?cos<；>1—11—=痂=7

.：異面直線力8與切所成的角的余弦值為;.

4

8.當解析記球。的半徑為R,由△力或是邊長為2的正三角形,且O,A,B,C四點共面，易求

?5

作刃_L46于〃連接山,無

易知S9_L平面ABC,

注意到SDZ一二―2=2,因此要使S〃最大,則需必最小，而切的最小值為gx及2=

瓜

因此高功的最大值為

因為三棱錐ST%的體積為［Sx^X2~XSD^SD,

V

所以三棱錐ST%的體積的最大值為

9.(1)證明如圖,連接BD交力。于點0,連接E0.

D

因為底面力時為矩形,

所以0為即的中點.

又因為/為如的中點,

所以EO//PB.

因為平面AEC,陶平面AEC,

所以加〃平面AEC.

⑵解因為陽，平面ABCD,底面ABCD為矩形,所以AB,49,力。兩兩垂直.

如圖，以力為坐標原點，分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐

標系Axyz,

則尸(o,0,1),〃(o,V5,0),40,m

設夙刃0,0)(加0),

則Ckm,V3,0),一=UV3,0).

設ni=(x,y,z)為平面D的法向量,

則］一或即+V3=o,

+l=。，

可取遺

由題意得ih-d,0,0）為平面的￡的一個法向量.

由題設/cos<hi,n2>/^,

即岳=/解得吟

因為E為功的中點,所以三棱錐ETCO的高為g.

三棱錐"T切的體積^x1xV3x；x1=^.

JZZ4o

10.⑴證法一如圖，取四的中點〃連接隔做

因為G是跖的中點，

所以GH〃AB,且GH^AB.

又因為分是由的中點，

所以DF^CD.

由四邊形力濟?〃是矩形，得AR//CD,AR=CD,

所以GH〃DF,&GH=DF,

從而四邊形/力叨是平行四邊形，

所以GF//DH.

又因為DHa平面ADE,別平面ADE,

所以67W平面ADE.

證法二如圖，取月8中點時,連接MG,MF.

因為G是比'的中點,所以GM//AE.

又因為AEc平面ADE,&應平面ADE,

所以醐〃平面ADE.

在矩形力空9中，由他尸分別是AB,⑦的中點,得MF//AD.

又因為JZt平面ADE,.颯平面ADE,

所以，監(jiān)〃平面ADE.

又因為GVCMF飄平面GMF,對Fu平面GMF,

所以平面6必〃平面ADE.

因為GFu平面GMFy

所以67H平面ADE.

⑵解如圖,在平面龐'C內(nèi)，過8點作BQ//EC.

因為BE1CE,所以皿BE.

又因為/18_L平面BEC,

所以AB上BE,ABLBQ.

以〃為原點,分別以一■；一；-W方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，則

4(0,0,2),夙0,0,0),￡(2,0,0)，戶(2,2,1).

因為力反L平面跖C

所以--(0,o,2)為平面龐r的一個法向量.

設n=(x,y,z)為平面力勿的法向量,

由題意,得--(2,0,-2),--(2,2,-1).

由［.=°，得［2-2=0,

叫?--->=0,將12+2-=0,

取z2得n=(2,-1,2).

從而cos<h,-"二=^=?

所以平面力牙'與平面⑸葉所成銳二面角的余弦值為g.

11.解建立如圖所示的空間直角坐標系，則

^(0,-1,0),M2,-1,0),<7(0,1,0),/?(-1,0,0),A0,-1,2).

⑴證明:用中點”(0,0,1),?：—=(1,0,1).