四川省涼山州2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

涼山州2023——2024學(xué)年度下期期末檢測試卷高一數(shù)學(xué)全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號、準(zhǔn)考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.2.選擇題使用2B鉛筆涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡收回.第I卷（選擇題共60分）一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.1.若復(fù)數(shù)是實數(shù)，則（）A1 B. C. D.2.一電線桿位于某人的正東方向上，某人在點A測得電線桿頂端的仰角為45°，此人往電線桿方向走了10米到達點，測得電線桿頂端的仰角為60°，則電線桿的高度約為（）米（，忽略人的身高）A.22.66 B.23.66 C.24.66 D.25.663.某中學(xué)高中一年級有800人，高中二年級有640人，高中三年級有560人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為400的樣本，則高中二年級被抽取的人數(shù)為（）A.64 B.96 C.112 D.1284.在中，角，，對邊分別為，，.若，，，則為（）A.1 B.2 C.3 D.1或25.已知某平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為的正方形，則原圖形的面積為（）A.2 B. C.1 D.6.在中，邊上的中線為，點滿足，則（）A. B. C. D.7.若一個圓臺兩個底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.8.現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由五個數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1，方差為3，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為1.若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為（）A.1.5 B.2 C.2.5 D.3二、多項選擇題（共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.的虛部為4 B. C. D.10.下列關(guān)于平面向量的說法正確的是（）A.若，是相反向量，則 B.若，是共線的單位向量，則C.若，則向量，共線 D.若，則點，，，必在同一條直線上11.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（）A.圖（1）的平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù) B.圖（2）的眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù)C.圖（2）的眾數(shù)<平均數(shù)<中位數(shù) D.圖（3）的平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)12.如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且四個頂點，，，在同一個平面內(nèi)，若四邊形是邊長為2的正方形，則（）A.該八面體的表面積是B.該八面體的體積是C.直線與平面所成角為D.動點在該八面體的外接球面上，且，則點的軌跡的周長為第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若，則__________.14.樣本數(shù)據(jù)5，9，6，7，11，8，10，5的40%分位數(shù)為__________.15.在正方體中，點，分別是，上的點，，，，則點到直線的距離為__________.16.已知為非零向量，若向量在上的投影向量為，則的最小值是__________.四、解答題（共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.為提高中小學(xué)生對交通安全的認(rèn)識，某市的全體中小學(xué)生參加了“小手拉大手”交通文明知識答題比賽，從所有答卷中隨機抽取1000份成績作為樣本，將樣本數(shù)據(jù)分成6組，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）請通過頻率分布直方圖估計這1000份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）該市決定表彰知識競賽成績排名前40%的學(xué)生，某學(xué)生知識競賽的成績是75，請估計該學(xué)生能否得到表彰？18.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點，，.（1）若，求值；（2）記在方向上的投影向量為，求的坐標(biāo).19.如圖，四棱錐中，，，在底面中，，，且，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成的角的余弦值.20.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，.（1）求；（2）若，，，求的面積.21.某地區(qū)近幾年的生豬收購價格每四個月會重復(fù)出現(xiàn)，但生豬養(yǎng)殖成本逐月遞增.下表是2024年前四個月的統(tǒng)計情況：月份1月份2月份3月份4月份收購價格（元/斤）8987養(yǎng)殖成本（元/斤）55.5866.32現(xiàn)打算從以下兩個函數(shù)模型：①，（，，）；②中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別來擬合今年生豬收購價格（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系、養(yǎng)殖成本（元/斤）與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系.（1）請你選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別求出這兩個函數(shù)模型解析式；（2）按照你選定的函數(shù)模型，分析今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在5，6，7，8月份分別是盈利還是虧損？22.如圖，四棱錐的底面是邊長為3的菱形，，.（1）證明：平面平面；（2）若，，求二面角正切值.涼山州2023——2024學(xué)年度下期期末檢測試卷高一數(shù)學(xué)全卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號、準(zhǔn)考證號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確.2.選擇題使用2B鉛筆涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡收回.第I卷（選擇題共60分）一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）.1.若復(fù)數(shù)是實數(shù)，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)分類可得其虛部為0，可得.【詳解】根據(jù)題意可得其虛部為，解得.故選：C2.一電線桿位于某人的正東方向上，某人在點A測得電線桿頂端的仰角為45°，此人往電線桿方向走了10米到達點，測得電線桿頂端的仰角為60°，則電線桿的高度約為（）米（，忽略人的身高）A.22.66 B.23.66 C.24.66 D.25.66【答案】B【解析】【分析】利用表示出，由，即可求得長．【詳解】設(shè)，在中，，所以，在中，，所以，因為，所以，即米故選：B．3.某中學(xué)高中一年級有800人，高中二年級有640人，高中三年級有560人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學(xué)生中抽取容量為400的樣本，則高中二年級被抽取的人數(shù)為（）A.64 B.96 C.112 D.128【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合題意求解即可.【詳解】由題意得高中二年級被抽取的人數(shù)為人.故選：D4.在中，角，，的對邊分別為，，.若，，，則為（）A.1 B.2 C.3 D.1或2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)余弦定理，求解.【詳解】根據(jù)余弦定理，，得，解得或（舍）.故選：B5.已知某平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖是邊長為的正方形，則原圖形的面積為（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由斜二測畫法的規(guī)則得到平面圖形，即可得到原圖形的面積.【詳解】依題意不妨令直觀圖如下所示：則還原直觀圖為原圖形，如圖所示，因為，所以，還原回原圖形后，，，所以原圖形面積為.故選：B6.在中，邊上的中線為，點滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理，由向量的加減法則可得結(jié)果.【詳解】如圖所示：由可得，所以,即故選：C7.若一個圓臺的兩個底面半徑分別為1和2，側(cè)面積為，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓臺底面半徑和側(cè)面積可得母線長度，求得圓臺的高即可得其體積.【詳解】設(shè)圓臺母線長為，其高為，易知，解得，又因為，解得；因此該圓臺的體積為.故選：C8.現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由五個數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1，方差為3，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為1.若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為（）A.1.5 B.2 C.2.5 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用分層抽樣中數(shù)據(jù)方差的計算公式求解即可.【詳解】因為甲組5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1，方差為3，乙組5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為1，所以兩組數(shù)據(jù)混合后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以新數(shù)據(jù)的方差為.故選：D二、多項選擇題（共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.的虛部為4 B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】令，代入化簡可求出，然后逐個分析判斷即可.【詳解】令，則由，得，所以，解得，所以，對于A，的虛部為4，所以A正確，對于B，，所以B錯誤，對于C，，所以C正確，對于D，，所以D錯誤.故選：AC10.下列關(guān)于平面向量的說法正確的是（）A.若，是相反向量，則 B.若，是共線的單位向量，則C.若，則向量，共線 D.若，則點，，，必在同一條直線上【答案】AC【解析】【分析】利用相反向量、共線向量的概念分析判斷各選項得解.【詳解】對于A，若，是相反向量，則，A正確；對于B，，是共線的單位向量，則或，B錯誤；對于C，，即，則向量，共線，C正確對于D，，點，，，可以不在同一直線上，D錯誤.故選：AC11.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（）A.圖（1）的平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù) B.圖（2）的眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù)C.圖（2）的眾數(shù)<平均數(shù)<中位數(shù) D.圖（3）的平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念結(jié)合圖形分析判斷.【詳解】圖（1）分布直方圖是對稱的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A正確；圖（2）眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B正確，C錯誤；圖（3）左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.故選：ABD.12.如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且四個頂點，，，在同一個平面內(nèi)，若四邊形是邊長為2的正方形，則（）A.該八面體的表面積是B.該八面體的體積是C.直線與平面所成角為D.動點在該八面體的外接球面上，且，則點的軌跡的周長為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，根據(jù)題意可知該八面體的表面積是一個正三角形面積的8倍，對于B，連接交于，連接，則是正四棱錐的高，求出，從而可求出正四棱錐的體積，進而可求出該八面體的體積，對于C，由題意可知為直線與平面所成角，然后在中求解即可，對于D，由選項B可知該八面體的外接球的球心為，取的中點，連接，可證得平面，從而可求得點的軌跡.【詳解】對于A，根據(jù)題意可知該八面體的表面積是一個正三角形面積的8倍，因為四邊形是邊長為2的正方形，所以每一個正三角形的邊長都為2，所以該八面體的表面積是，所以A錯誤，對于B，連接交于，連接，則平面，因為四邊形是邊長為2的正方形，所以，因為，所以，所以該八面體的體積是，所以B正確，對于C，因為平面，所以為直線與平面所成角，因為，為銳角，所以，即直線與平面所成角為，所以C正確，對于D，連接，則,因為，所以點為該八面體的外接球的球心，取的中點，連接，因為都為等邊三角形，所以，因為，平面，所以平面，因為，所以點平面內(nèi)，因為平面過球心，所以平面與該八面體的外接球的交線為該球的大圓，即點的軌跡為此大圓，所以點的軌跡的周長為，所以D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：選項D解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意和幾何體的和特征找出外接球的球心，由此即可順利得解.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若，則__________.【答案】【解析】【分析】先化簡已知，然后根據(jù)復(fù)數(shù)相等得出實數(shù)的值．【詳解】根據(jù)題意，，即，所以，且，所以.故答案為：14.樣本數(shù)據(jù)5，9，6，7，11，8，10，5的40%分位數(shù)為__________.【答案】7【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義計算即可.【詳解】根據(jù)已知數(shù)據(jù)，從小到大排列，因為，40%分位數(shù)為第4個數(shù)7.故答案為：7.15.在正方體中，點，分別是，上的點，，，，則點到直線的距離為__________.【答案】6【解析】【分析】如圖，利用勾股定理求出，結(jié)合勾股定理的逆定理計算可得，即可求解.【詳解】如圖，連接，則，所以，在中，，所以，即到直線的距離為，長度為6.故答案為：616.已知為非零向量，若向量在上的投影向量為，則的最小值是__________.【答案】##【解析】【分析】由投影向量定義得，即，得出向量夾角表達式，再由基本不等式得出最小值.【詳解】由已知可得，所以.而，易知令，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即最小值為，故答案：四、解答題（共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.為提高中小學(xué)生對交通安全的認(rèn)識，某市的全體中小學(xué)生參加了“小手拉大手”交通文明知識答題比賽，從所有答卷中隨機抽取1000份成績作為樣本，將樣本數(shù)據(jù)分成6組，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）請通過頻率分布直方圖估計這1000份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）該市決定表彰知識競賽成績排名前40%的學(xué)生，某學(xué)生知識競賽的成績是75，請估計該學(xué)生能否得到表彰？【答案】（1）（2）該學(xué)生可以得到表彰【解析】【分析】（1）由頻率分布圖的平均數(shù)公式計算可得；（2）依題意求出競賽成績的第60百分位數(shù)可得結(jié)論.【小問1詳解】由題意知這1000份樣本數(shù)據(jù)的平均值為.則這1000份樣本數(shù)據(jù)的平均值為.【小問2詳解】由題意得表彰的最低分為第60百分位數(shù),設(shè)第60百分位數(shù)為，則解得，而，所以該同學(xué)能得到表彰.18.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點，，.（1）若，求的值；（2）記在方向上的投影向量為，求的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算可得，結(jié)合垂直關(guān)系的向量表示建立方程，解之即可求解；（2）由（1），根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合投影向量的概念計算即可求解.【小問1詳解】由題意知，，因為，所以，即，解得；【小問2詳解】由（1）知，所以，則.19.如圖，四棱錐中，，，在底面中，，，且，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成的角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中點為，易證明四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）作出異面直線與所成角的平面角，再由余弦定理可得結(jié)論.【小問1詳解】取的中點為，連接，如下圖所示：在中，為的中點，的中點為，則，且；由已知，可得且，所以四邊形為平行四邊形，可得，易知平面，平面，所以平面；【小問2詳解】取的中點為，連接，所以，且，可得四邊形為平行四邊形，即，所以（或其補角）即為異面直線與所成的角，由可得，由勾股定理可得，所以；即可得異面直線與所成的角的余弦值為.20.已知內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，.（1）求；（2）若，，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡已知，再利用正弦定理統(tǒng)一成角的形式化簡可得，從而可得，進而可求出角；（2）由，即，可求得，再根據(jù)三角形面積公式求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，，可得，由正弦定理可得，化簡為，即，，，則，因為，故；【小問2詳解】由，即，即，可得或（舍），所以.21.某地區(qū)近幾年的生豬收購價格每四個月會重復(fù)出現(xiàn)，但生豬養(yǎng)殖成本逐月遞增.下表是2024年前四個月的統(tǒng)計情況：月份1月份2月份3月份4月份收購價格（元/斤）8987養(yǎng)殖成本（元/斤）55.5866.32現(xiàn)打算從以下兩個函數(shù)模型：①，（，，）；②中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別來擬合今年生豬收購價格（元/斤）與相