2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題13函數(shù)與方程

專題13函數(shù)與方程【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】一、函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).二、方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).三、零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法對(duì)于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點(diǎn)的近似值.五、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點(diǎn).（3）計(jì)算.若則就是函數(shù)的零點(diǎn)；若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）.若，則令（此時(shí)零點(diǎn)）（4）判斷是否達(dá)到精確度，即若，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為（或）；否則重復(fù)第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的計(jì)算量較大，因此往往借助計(jì)算完成.【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)的零點(diǎn)相關(guān)技巧:①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個(gè)零點(diǎn).②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號(hào).③連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號(hào).④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點(diǎn)，不一定能推出.【典例例題】例1．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)f（x）＝2x＋x－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】解析：f′（x）＝2xln2＋1＞0，所以f（x）在R上單調(diào)遞增，f（0）＝－1，f（1）＝1，故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選B.例2．（2024·江蘇·一模）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】令，得，則；故，，所以在共有4個(gè)零點(diǎn)，故選：C.例3．（2024·高三·北京海淀·階段練習(xí)）已知符號(hào)函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】令，則，當(dāng)時(shí)，若，得，符合；當(dāng)時(shí)，若，得，符合；當(dāng)時(shí)，若，得，符合；故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.例4．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．的零點(diǎn)為3C．在上為增函數(shù) D．的定義域?yàn)椤敬鸢浮緾【解析】,可知函數(shù)的零點(diǎn)為3，可知A,B正確；中，由，解得：，故函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：C例5．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，則t的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)，可得函數(shù)在，上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，只需，解得或，所以t的取值范圍為.故選：B．例6．（2024·高三·全國·競(jìng)賽）方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】依題意，原方程等價(jià)于即，顯然只有一個(gè)正實(shí)根.故選：B.例7．（2024·高三·陜西西安·期末）已知函數(shù)若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，作出的大致圖象，如圖所示，要使得，即函數(shù)與的圖象有4個(gè)不同交點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A.例8．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】的定義域?yàn)?，又與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為，故選：B.例9．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象與直線y＝x恰有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【解析】令x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，所以三個(gè)解必須為－1，－2和2，所以有－1≤m＜2.例10．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝則使得方程x＋f（x）＝m有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，即有解，則；當(dāng)時(shí)，，即有解，則，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：例11．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)時(shí)，，則的值為．【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng),時(shí)，，，，，，，．故答案為：．例12．（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.【答案】2【解析】令，則，由題意知，即；，令，則，即，則有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn).故答案為：2.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】設(shè)，．在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出與的大致圖象，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．根據(jù)圖象可得兩個(gè)函數(shù)共有11個(gè)交點(diǎn)．故選：C．2．（2024·高三·浙江紹興·期末）已知命題：函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則命題成立的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，得，解得，即命題成立的充要條件是，顯然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，當(dāng)時(shí)，不一定成立，所以命題成立的一個(gè)必要不充分條件是.故選：D3．（2024·高三·重慶·開學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)有（

）A．4個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】B【解析】令，即，可知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖像，可知與的函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)有2個(gè).故選：C.4．（2024·高三·浙江寧波·期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知，可知為增函數(shù)，且，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在有零點(diǎn)，且零點(diǎn)是唯一的.故選：B5．（2024·高三·山東煙臺(tái)·期末）已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，綜上，當(dāng)時(shí)，令無解；當(dāng)時(shí)，令解得；當(dāng)時(shí)，令無解；當(dāng)時(shí)，令解得；當(dāng)時(shí)，令，解得，綜上實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選：C6．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】依題意，作出函數(shù)與的圖象，如圖，可知兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；又函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，故當(dāng)時(shí)，也有兩個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即也是函數(shù)的1個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，共有5個(gè)零點(diǎn)．故選：D．7．（2024·高三·浙江寧波·期末）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象.若在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，由題意得，故當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)，即為的一個(gè)零點(diǎn)，要想在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，若，解得，若，無解，若，無解.故選：A8．（2024·高三·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）已知函數(shù)，若方程在區(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，由，即，在區(qū)間上恰有3個(gè)實(shí)根，則，解得.故選：D9．（2024·高二·河南焦作·期末）設(shè)分別是方程，，的實(shí)根，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，可得在上單調(diào)遞增，又由，所以；再令，可得在上單調(diào)遞增，且，所以；對(duì)于，即，則方程的根為與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)圖象，如圖所示，由圖可知，或，綜上，.故選：B.10．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，其定理陳述如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點(diǎn)，若關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為m，函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為n，則有（

）（參考數(shù)據(jù)：.）A．1 B．2 C．0 D．【答案】B【解析】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”為，由，得，則由拉格朗日中值定理得，，即，而，則，即函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1，因此，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”為，由，求導(dǎo)得，由拉格朗日中值定理得，，即，令函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上有1個(gè)解，因此函數(shù)在區(qū)間上的“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為1，即，所以.故選：B11．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）已知為偶函數(shù)，對(duì)任意有，當(dāng)時(shí)，，則方程的所有實(shí)根之和為（

）A．3 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】由得，又為偶函數(shù)，所以，故，，因此為周期為2的周期函數(shù)且為偶函數(shù)，由時(shí)，，作出和的圖象，又，由于和均關(guān)于對(duì)稱，由圖象可知和的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱可知：方程所有實(shí)根之和為6.故選：B12．（2024·高一·貴州·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，所以的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：C13．（2024·高一·全國·課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于二分法的敘述中，正確的是（

）A．用二分法可求所有函數(shù)零點(diǎn)的近似值B．用二分法可求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，可精確到小數(shù)點(diǎn)后任一位C．二分法無規(guī)律可循，無法在計(jì)算機(jī)上完成D．只能用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)【答案】B【解析】A選項(xiàng)，由二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值需要函數(shù)圖象在零點(diǎn)附近連續(xù)且區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，二分法，反復(fù)求區(qū)間中點(diǎn)，確定函數(shù)值符號(hào)，故可求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，可精確到小數(shù)點(diǎn)后任一位，B正確；C選項(xiàng)，二分法是一種程序化的運(yùn)算過程，反復(fù)求區(qū)間中點(diǎn)，確定函數(shù)值符號(hào)，因而可以通過編程，在計(jì)算機(jī)上完成，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，求零點(diǎn)的方法有解方程法、作圖法等，D錯(cuò)誤．故選：B．二、多選題14．（2024·高三·云南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù) B．在定義域內(nèi)單調(diào)遞增C．有2個(gè)零點(diǎn) D．的最小值為【答案】AC【解析】對(duì)于A中，由函數(shù)，可得定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以A正確；對(duì)于B中，由，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在，單調(diào)遞增，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，令，即，解得，所以C正確；對(duì)于D中，例如：當(dāng)時(shí)，，所以D不正確.故選：AC.15．（2024·高一·云南玉溪·期末）已知函數(shù)的所有零點(diǎn)從小到大依次記為，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令，在同一直角坐標(biāo)系，畫出兩個(gè)函數(shù)圖象如下圖所示：由圖可知共有20個(gè)交點(diǎn)，故，則A正確，B錯(cuò)誤；又函數(shù)的圖象都關(guān)于對(duì)稱，則，故，則C正確，錯(cuò)誤，故選：AC16．（2024·高一·山西呂梁·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的解，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由函數(shù)，作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因?yàn)殛P(guān)于x的方程有四個(gè)不同的解，且，結(jié)合圖象，可得，且，則，其中，所以，所以A不正確.根據(jù)圖象，要使得方程有四個(gè)不同的解，可得，所以B正確；因?yàn)?，且，可得，所以，可得，又由，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，顯然，所以，所以C正確；令，可得，結(jié)合圖象，可得，所以D不正確.故選：BC.17．（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論，其中結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．是偶函數(shù) B．在區(qū)間單調(diào)遞增C．在有4個(gè)零點(diǎn) D．的最大值為2【答案】BC【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又，為偶函?shù)，故A正確．當(dāng)時(shí)，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，它有兩個(gè)零點(diǎn)：；當(dāng)時(shí)，，它有一個(gè)零點(diǎn)：，故在有個(gè)零點(diǎn)：，故C錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故D正確．故選：BC．18．（2024·高三·廣東揭陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)的值域?yàn)?D．若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，，A正確；B選項(xiàng)，，由于，故函數(shù)圖像不關(guān)于直線對(duì)稱，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，畫出的圖象，如下：數(shù)形結(jié)合可知函數(shù)的值域?yàn)?，C正確；D選項(xiàng)，若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則與有4個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，D正確.故選：ACD三、填空題19．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)在所有零點(diǎn)之和為【答案】【解析】由，令，即，解得或，因?yàn)椋曰蚧?，所以零點(diǎn)之和為.故答案為：.20．（2024·高三·內(nèi)蒙古赤峰·期中）設(shè)函數(shù)，為常數(shù).若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)榇嬖?，使得，所以函?shù)在上有零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，不存在零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為一次函數(shù)形式，具有單調(diào)性，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知，即，解得或.故答案為：.21．（2024·高三·廣東中山·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【答案】6【解析】，故，畫出和，兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖象可得，共6個(gè)交點(diǎn)，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.故答案為：622．（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，關(guān)于x的方程有三個(gè)不等實(shí)根，則的取值范圍是．【答案】【解析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖形可知，僅當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不等實(shí)根，分別對(duì)應(yīng)直線與圖象三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中兩個(gè)交點(diǎn)位于二次函數(shù)圖象上，不妨設(shè)，顯然關(guān)于對(duì)稱，故，另一個(gè)交點(diǎn)位于一次函數(shù)圖象上，令??2x+