山東省淄博市2025屆高三上學(xué)期摸底質(zhì)量檢測(cè)（1月）數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁山東省淄博市2025屆高三上學(xué)期摸底質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（1月）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若z+1i=z，則復(fù)數(shù)z的虛部是(

)A.?12 B.12 C.?2.已知向量a=?6,2，b=m,m+2，若a⊥A.10 B.3 C.4 D.3.已知集合A=e,log0.20.3,20.2，集合B=A.1 B.2 C.4 D.84.已知sinα?β=?23，tanαtanA.?23 B.?13 C.5.若圓柱、圓錐的底面半徑和高都與球的半徑相等，則圓柱、圓錐、球的體積之比為(

)A.1:2:3 B.2:1:3 C.3:1:2 D.3:1:46.已知函數(shù)fx=x2?ax+1,x≥1logaA.1,2 B.1,32 C.1,2 7.把函數(shù)y=fx的圖象向右平移23π個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可以得到函數(shù)y=sin12A.0 B.1 C.2 D.38.設(shè)函數(shù)fx=ex+ax+b.若A.?1e B.1e C.e二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.某校舉行了交通安全知識(shí)主題演講比賽，甲、乙兩位同學(xué)演講后，6位評(píng)委對(duì)甲、乙的演講分別進(jìn)行打分(滿分10分)，得到如圖所示的折線統(tǒng)計(jì)圖，則(

)A.若去掉最高分和最低分，則甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)

B.甲得分的極差大于乙得分的極差

C.甲得分的上四分位數(shù)小于乙得分的上四分位數(shù)

D.甲得分的方差大于乙得分的方差10.設(shè)公比為q的等比數(shù)列an前n項(xiàng)的積為Tn，則(

)A.若T8=81，則a3?a6=3

B.若T9>0，則必有a1>0

C.若a111.萊洛三角形，也稱圓弧三角形，是由德國(guó)機(jī)械學(xué)家萊洛研究發(fā)現(xiàn)的一種曲邊三角形，在建筑、工業(yè)上應(yīng)用廣泛．如圖所示，分別以正三角形ABC的頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)2為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形，則(

)

A.萊洛三角形的周長(zhǎng)為2π

B.以此萊洛三角形為底面做一個(gè)側(cè)面與底面垂直且高為10的柱形幾何體，則該幾何體的體積為20π?203

C.點(diǎn)P為弧AB?上的一點(diǎn)，則PA?PB+PC的最小值為12?4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.x3?213.已知數(shù)列an中，a1=1，a2=13，214.已知三棱錐S?ABC的底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)A在側(cè)面SBC上的射影H是?SBC的垂心，三棱錐S?ABC的體積為3，則三棱錐S?ABC的外接球半徑等于

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在?ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a2，b2，c2(1)求證：?ABC為等邊三角形；(2)如圖，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，且BC=2CD，AD=7，求sin16.(本小題12分)某地為弘揚(yáng)我國(guó)傳統(tǒng)文化，舉辦知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，每位參賽者從以下兩種方式中選擇一種參賽：①活動(dòng)共設(shè)有3個(gè)問題，能正確回答問題者才能進(jìn)入下一個(gè)問題，否則即被淘汰，3個(gè)問題都回答正確即獲得“智慧星”稱號(hào)；②活動(dòng)需參賽者回答5個(gè)問題，至少正確回答4個(gè)即能獲得“智慧星”稱號(hào)；甲乙兩人參加此次競(jìng)賽活動(dòng)，甲選擇第一種方式，他能正確回答第一、二、三個(gè)問題的概率分別為34,2(1)求甲沒有獲得“智慧星”稱號(hào)的概率；(2)求乙獲得“智慧星”稱號(hào)的概率．(3)記事件M=“乙正確回答問題的個(gè)數(shù)比甲正確回答問題的個(gè)數(shù)多3個(gè)”，求事件M發(fā)生的概率．17.(本小題12分)如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=BC=2，AC=22，BB1=4，點(diǎn)M(1)證明：B1M⊥平面(2)求平面ACC1A118.(本小題12分)已知函數(shù)fx=alnx?xa<2，曲線y=f(1)求a；(2)若函數(shù)gx=f4x(i)求m和n的值；(ii)證明：gx>419.(本小題12分)已知數(shù)列an，從中選取第j1項(xiàng)、第j2項(xiàng)、…第jt項(xiàng)j1<j2<?<jt，若aj1<aj2<?<a(1)寫出數(shù)列2，8，4，7，5，9一個(gè)長(zhǎng)度為3的遞增子列和一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列；(2)已知數(shù)列an的長(zhǎng)度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為x，長(zhǎng)度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為y.若p<q，證明：x<y(3)設(shè)無窮數(shù)列an的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等．若an長(zhǎng)度為s的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2s?1，且長(zhǎng)度為s末項(xiàng)為2s?1的遞增子列恰有2s?1(i)證明：1，2，3，4，5，6，7這7個(gè)數(shù)都在數(shù)列an(ii)寫出數(shù)列an通項(xiàng)公式(不證明)．

參考答案1.B

2.A

3.B

4.C

5.D

6.B

7.B

8.A

9.ABD

10.BC

11.ABD

12.?32

13.1404914.311815.解：(1)因?yàn)閍2，b2，c2又因?yàn)锽=π3，由余弦定理可得即a2+c所以?ABC為等邊三角形．(2)設(shè)BC=2CD=2x>0，則AB=2x,BD=3x，在?ABD中，由余弦定理可得AD即7=4x2+9x2由正弦定理ADsin∠B=

16.解：(1)設(shè)甲獲得“智慧星”稱號(hào)的事件為A，根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式，P(A)=3于是P(A即甲沒有獲得“智慧星”稱號(hào)的概率是34(2)設(shè)乙答對(duì)的問題數(shù)為X，則X～B(5,1由題意，乙獲得智慧星的概率為P(X=4)+P(X=5)=(3)由于乙最多5題，甲最多3題，當(dāng)乙比甲多對(duì)3題時(shí)，甲可能答對(duì)0,1,2題當(dāng)甲對(duì)0題，乙對(duì)3題時(shí)，P1當(dāng)甲對(duì)1題，乙對(duì)4題時(shí)，P1當(dāng)甲對(duì)2題，乙對(duì)5題時(shí)，P1故P(M)=

17.解：(1)連接BM，因?yàn)锳B=BC=2，AC=22，則AB且點(diǎn)M，N分別為AC，AB的中點(diǎn)，則BN=MN=1,BM=2，則BM2+又因?yàn)锳B⊥B1N可得B1M2且BM∩MN=M，BM,MN?平面ABC，所以B1M⊥平面(2)因?yàn)锽1M⊥平面ABC，AB?平面ABC，則又因?yàn)锳B⊥BC，MN//BC，則AB⊥MN，且B1M∩MN=M，B1M,MN?平面B1以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,BA分別為x,y軸，平行于B1M的直線為則A0,2,0可得AC=設(shè)平面ACC1A1令x=7，則y=由AB⊥平面B1MN可知：平面B1則cosm所以平面ACC1A1與平面

18.解：(1)因?yàn)閒x所以f′x=a所以f′1所以曲線y=f(x)在點(diǎn)1,?1處的切線方程為y+1=a?1設(shè)直線y+1=a?1x?1與曲線y=x因?yàn)楹瘮?shù)y=x2+2x的導(dǎo)函數(shù)為所以2x0+2=a?1，y解得，x0=3，a=9，或x0又a<2，故a=1；(2)(i)因?yàn)間x=f所以gx所以函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)?∞,?4∪因?yàn)榍€y=g(x)關(guān)于直線x=n對(duì)稱，所以n=?2，所以函數(shù)y=gx?2關(guān)于y軸對(duì)稱，故函數(shù)y=g所以g?2?x=g所以t+mln所以t+mln所以4?2mln故m=2，(ii)由(i)，gx函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)?∞,?4∪曲線y=g(x)關(guān)于直線x=?2對(duì)稱，要證明gx只需證明當(dāng)x>0時(shí)，x+2ln只需證明當(dāng)x>0時(shí)，ln1+令t=4x，則只需證明當(dāng)t>0時(shí)，ln1+t設(shè)?t=ln則?′t所以函數(shù)?t=ln所以?t所以當(dāng)t>0時(shí)，ln1+t所以gx

19.解：(1)長(zhǎng)度為3的遞增子列2,8,9或2,4,7或2,4,5或2,4,9或2,7,9或2,5,9或4,7,9或4,5,9(寫出一個(gè)即可)；長(zhǎng)度為4的遞增子列2,4,7,9或2,4,5,9．(2)法一：設(shè)an的長(zhǎng)度為q的一個(gè)遞增子列為aj1其中前p項(xiàng)恰好構(gòu)成長(zhǎng)度為p的遞增子列，由p<q，得aj因?yàn)閍n的長(zhǎng)度為p的遞增子列的末項(xiàng)最小值為x所以x≤ajp所以x<y．法二：設(shè)an的長(zhǎng)度為q的一個(gè)遞增子列為aj1長(zhǎng)度為p的一個(gè)遞增子列為aii假設(shè)x≥y，因?yàn)閍j所以aj1,又ajp<這與x是子列末項(xiàng)的最小值矛盾，所以假設(shè)不成立，即x<y．(3)(i)當(dāng)s=1時(shí)顯然成立．當(dāng)s=2時(shí)，長(zhǎng)度為2的遞增子列，末項(xiàng)最小值為3，且恰有2個(gè)這樣的子列，所以an中必含有子列1，3和2，3所以an中必含有子列2，1，3當(dāng)s=3時(shí)，長(zhǎng)度為3的遞增子列，末項(xiàng)最小值為5，且恰有4個(gè)這樣的子列，所以an中必含有子列2，1，4，3，5當(dāng)s=4時(shí)，長(zhǎng)度為4的遞增子列，末項(xiàng)最小值為7，且恰