2024-2025學年上海南洋模范中學高三上學期數(shù)學月考試卷及答案（2024.11）（含答案）

參考答案一、填空題1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；11.已知，且是復數(shù)，當?shù)淖畲笾禐?，則________．【答案】【解析】設是實數(shù),則，,綜上,勺最大值為,即有.故答案為:.12．已知平面向量，，滿足與的夾角為銳角，，，，且的最小值為，向量的取值范圍是________．【答案】【解析】設與的夾角為,則，

當,上式有最小值為,的最小值為的最小值為3,,解得.

又,此時，，與的夾角為,且不妨設,向量的取值范圍是故答案為:二、選擇題13.C；14.D；15.A；16.A15．如圖，已知正三棱柱，，，分別是棱，上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A． B． C． D．【答案】【解析】正三棱柱中,正三棱柱的所有棱長相等,設棱長為1,如圖，過作,垂足點為,連接,則,與所成的角為,且,又,與平面所成的角為,且①再過點作,垂足點為,連接,又易知底面底面,,又平面二面角的平面角為,且,②,又,③

由①②③得,又在單調遞增,故選:.16.已知數(shù)列滿足（為正整數(shù)），，設集合．有以下兩個猜想：①不論取何值，總有；②若，且數(shù)列中恰好存在連續(xù)的7項構成等比數(shù)列，則的可能取值有6個．其中（）．A．①正確，②正確 B．①正確，②錯誤C．①錯誤，②正確 D．①錯誤，②錯誤【答案】【解析】不妨設出數(shù)列中的一項,

①若被3除余1，則由已知可得，,

若被3除余2,則由已知可得,,若被3除余0,則由已知可得,,

所以對對任意的,則,

所以對數(shù)列中的任一項,若,則,因為，所以，所以數(shù)列中必存在某一項(否則與上述結論矛盾),若,結論得證,若,則,,結論得證,若,則,得證,

所以，不論取何值，總有；故①正確;

②若是3的倍數(shù),則,

若被3除余1,則由已知可得,，

若被3除余2，則由已知可得，,

所以連續(xù)的7項構成等比數(shù)列的公比為,因為，所以這7項中前6項一定都量3的倍數(shù)，而第七項一定不是3的倍數(shù)（否則構成等比數(shù)列的連接項數(shù)會多于7項)，設第7項為,則是被3除余1或余2的正整數(shù)，則可推得,因為,所以,或,由遞推關系式可知，在該數(shù)列的前項中，滿足小于等于2022的項只有;,或，或，

所以首項的有可能取值的集合為,,故的可能取值有6個.故②正確.故選:.三、解答題17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）；3.1秒（2）20米/秒；72千米/小時20．如圖所示，由橢圓和橢圓組合而成的曲線，由圖形特點，這里稱曲線為“貓眼曲線”，特別地，若兩個橢圓的離心率相等，則稱其為“優(yōu)美貓眼曲線”．（1）已知貓眼曲線滿足，，成等比數(shù)列，試判斷該曲線是否為“優(yōu)美貓眼曲線”；（2）在曲線中，若，，，斜率為的直線不經(jīng)過坐標原點，且與橢圓相交所得弦的中點為，與橢圓相交所得弦的中點為，證明：直線，的斜率之比為定值；（3）在（2）的條件下，若直線的斜率，且與橢圓相切，與橢圓相交于，兩點，為橢圓上異于，的任意一點，求面積的最大值．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】（1）因為成等比數(shù)列,所以,此時橢圓的離心率,所以橢圓的離心率,因為,所以,

則該曲線是"優(yōu)美貓眼曲線";

(2)證明：設直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得此時,

所以,則,

所以,同理得,所以為定值;

(3)設直線的方程為,聯(lián)立,消去并整理得因為直線與橢圓相切,所以,解得,不妨取,此時直線的方程,聯(lián)立,消去并整理得

設,由韋達定理得,

所以，設,

設點到直線的距離為,則當,即時，取得最大值，最大值為.

則面積最大值21．對于函數(shù)的導函數(shù)，若在其定義域內存在實數(shù)和，使得成立，稱是“青峰”函數(shù)，并稱是的“青峰值”．（1）試分別判斷函數(shù)，和，是不是“青峰”函數(shù)？并說明理由；（2）若是“青峰”函數(shù)，且“青峰值”為2，求實數(shù)的取值范圍；（3）證明：是“青峰”函數(shù)，并求出該函數(shù)“青峰值”的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）（3）見解析【解析】（1）函數(shù)是"卓然"函數(shù),因為,

當時,則有,,滿足;

因為,,當時,,而,

所以不可能成立,即不存在實數(shù)和，使得成立，

所以不是"卓然"函數(shù)；

(2)由題意可得,所以有解，

即有解，對于函數(shù)，

因為

所以,)

令,則,解得,,單調遞減區(qū)間:,故值域為：。

所以實數(shù)的取值范圍是.

(3)證明:因為,

設,,,

當時，恒成立，此時不存在使得成立，不合題意;

當時,因為與在上均單調遞減,

所以在上單調遞減，所以在上單調遞增，

因為，,

所以存在使,,當時,單調遞減,當時,單調遞增,所以由,所以,所以

此時不存在使得成立，不合題意；

當時,若,則,從而，所以在上單調遞增,

當時,設,則，

設,當時，在上單調遞增，且,所以,從而,所以,從而,所以在上單調遞增,所以，

從而,所以在上單調遞增,又,

由零點存在性定理可知，存在使得,

即成立，符合題意；當時,,顯然存在零點符合題意;

當時，在上單調遞減，

且,所以,