2024秋高中數(shù)學(xué)第三講柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課課堂演練含解析新人教A版選修4-5

PAGE3-復(fù)習(xí)課[整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建][警示·易錯提示]1．柯西不等式的易錯點．在應(yīng)用柯西不等式求最值時，易忽視等號成立的條件．2．排序不等式的易錯點．不等式具有傳遞性，但并不是隨意兩個不等式比較大小都可以用傳遞性來解決的，由a＞m，b＞m，推出a＞b是錯誤的．專題一柯西不等式的應(yīng)用柯西不等式主要有二維形式的柯西不等式(包括向量形式、三角形式)和一般形式的柯西不等式，不僅可以用來求最值，還可以用來證明不等式．[例?]已知實數(shù)x，y，z滿意x2＋2y2＋3z2＝3，求u＝x＋2y＋3z的最小值和最大值．解：因為(x＋2y＋3z)2＝(x·1＋eq\r(2)y·eq\r(2)＋eq\r(3)z·eq\r(3))2≤[x2＋(eq\r(2)y)2＋(eq\r(3)z)2]·[12＋(eq\r(2))2＋(eq\r(3))2]＝(x2＋2y2＋3z2)(1＋2＋3)＝18.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(x,1)＝eq\f(\r(2)y,\r(2))＝eq\f(\r(3)z,\r(3))，即x＝y(tǒng)＝z時，等號成立．所以－3eq\r(2)≤x＋2y＋3z≤3eq\r(2)，即u的最小值為－3eq\r(2)，最大值為3eq\r(2).歸納升華柯西不等式可以用來求最值和證明不等式，應(yīng)用柯西不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造兩個適當(dāng)?shù)臄?shù)組，并且要留意等號成立的條件．[變式訓(xùn)練]設(shè)a，b，c，d為不全相等的正數(shù)．求證：eq\f(1,a＋b＋c)＋eq\f(1,b＋c＋d)＋eq\f(1,c＋d＋a)＋eq\f(1,d＋a＋b)>eq\f(16,3（a＋b＋c＋d）).解：記s＝a＋b＋c＋d，則原不等式等價于eq\f(s,s－d)＋eq\f(s,s－a)＋eq\f(s,s－b)＋eq\f(s,s－c)>eq\f(16,3).構(gòu)造兩組數(shù)eq\r(s－d)，eq\r(s－a)，eq\r(s－b)，eq\r(s－c)；eq\f(1,\r(s－d))，eq\f(1,\r(s－a))，eq\f(1,\r(s－b))，eq\f(1,\r(s－c))，由柯西不等式得[(eq\r(s－d))2＋(eq\r(s－a))2＋(eq\r(s－b))2＋(eq\r(s－c))2]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,（\r(s－d)）2)＋\f(1,（\r(s－a)）2)＋\f(1,（\r(s－b)）2)＋\f(1,（\r(s－c)）2)))≥(1＋1＋1＋1)2.即[4s－(a＋b＋c＋d)]·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,s－d)＋\f(1,s－a)＋\f(1,s－b)＋\f(1,s－c)))≥16，于是eq\f(s,s－d)＋eq\f(s,s－a)＋eq\f(s,s－b)＋eq\f(s,s－c)≥eq\f(16,3)，等號成立?s－d＝s－a＝s－b＝s－c?a＝b＝c＝d.因題設(shè)a，b，c，d不全相等，故取不到等號，即eq\f(1,a＋b＋c)＋eq\f(1,b＋c＋d)＋eq\f(1,c＋d＋a)＋eq\f(1,d＋a＋b)>eq\f(16,3（a＋b＋c＋d）).專題二排序不等式的應(yīng)用1．用排序不等式證明不等式的關(guān)鍵是依據(jù)問題的條件和結(jié)論構(gòu)造恰當(dāng)?shù)男蛄?，如何排好這個序列是難點所在．2．留意等號成立的條件．[例?]在△ABC中，試證：eq\f(π,3)≤eq\f(aA＋bB＋cC,a＋b＋c)＜eq\f(π,2).證明：不妨設(shè)a≤b≤c，于是A≤B≤C.由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，得eq\f(aA＋bB＋cC,a＋b＋c)≥eq\f(π,3)，①又由0＜b＋c－a，0＜a＋b－c，0＜a＋c－b，有0＜A(b＋c－a)＋C(a＋b－c)＋B(a＋c－b)＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．得eq\f(aA＋bB＋cC,a＋b＋c)＜eq\f(π,2).②由①②得原不等式成立．歸納升華利用排序不等式證明不等式的技巧在于細(xì)致視察、分析所要證明的式子的結(jié)構(gòu)，從而正確地構(gòu)造出不等式中所須要的帶有大小依次的兩個數(shù)組．[變式訓(xùn)練]已知正實數(shù)x1，x2，…，xn滿意x1＋x2＋…＋xn＝P，P為定值，求F＝eq\f(xeq\o\al(2,1),x2)＋eq\f(xeq\o\al(2,2),x3)＋…＋eq\f(xeq\o\al(2,n－1),xn)＋eq\f(xeq\o\al(2,n),x1)的最小值．解：不妨設(shè)0<x1≤x2≤…≤xn，則eq\f(1,x1)≥eq\f(1,x2)≥…≥eq\f(1,xn)>0，且0<xeq\o\al(2,1)≤xeq\o\al(2,2)≤…≤xeq\o\al(2,n).因為eq\f(1,x2)，eq\f(1,x3)，…，eq\f(1,xn)，eq\f(1,x1)為序列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xi)))(i＝1，2，3，…，n)的一個排列，依據(jù)排序不等式，得F＝eq\f(xeq\o\al(2,1),x2)＋eq\f(xeq\o\al(2,2),x3)＋…eq\f(xeq\o\al(2,n－1),xn)＋eq\f(xeq\o\al(2,n),x1)≥xeq\o\al(2,1)·eq\f(1,x1)＋xeq\o\al(2,2)·eq\f(1,x2)＋…＋xeq\o\al(2,n)·eq\f(1,xn)＝x1＋x2＋…＋xn＝P(定值)，當(dāng)且僅當(dāng)x1＝x2＝…＝xn時等號成立，所以F＝eq\f(xeq\o\al(2,1),x2)＋eq\f(xeq\o\al(2,2),x3)＋…＋eq\f(xeq\o\al(2,n－1),xn)＋eq\f(xeq\o\al(2,n),x1)的最小值為P.專題三轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想是指在解決問題時，將問題通過變換使之化繁為簡，化難為易的一種解決問題的思想．[例3]求使lg(xy)≤lga·eq\r(lg2x＋lg2y)對大于1的隨意x與y恒成立的a的取值范圍．解：因為eq\r(lg2x＋lg2y)＞0，且x＞1，y＞1，所以原不等式等價于lga≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lgx＋lgy,\r(lg2x＋lg2y))))eq\s\do7(max).令f(x，y)＝eq\f(lgx＋lgy,\r(lg2x＋lg2y))＝eq\r(\f(（lgx＋lgy）2,lg2x＋lg2y))＝eq\r(1＋\f(2lgxlgy,lg2x＋lg2y))(lgx＞0，lgy＞0)．因為lg2x＋lg2y≥2lgxlgy＞0，所以0＜eq\f(2lgxlgy,lg2x＋lg2y)≤1，所以1＜f(x，y)≤eq\r(2)，即lga≥eq\r(2)，所以a≥10eq\r(2).歸納升華解決數(shù)學(xué)問題時，常遇到一些干脆求解較為困難的問題，通過視察、分析、類比、聯(lián)想等，選擇運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題(相對來說自己較熟識的問題)，通過求解新問題，達到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想”．本講常見的化歸與轉(zhuǎn)化的問題是通過換元或恒等變形把命題的表達形式化為柯西不等式或排序不等式的形式．[變式訓(xùn)練]已知|x|≤1，|y|≤1，試求xeq\r(1－y2)＋yeq\r(1－x