九年級數(shù)學(xué)核心知識點(diǎn)與常見題型通關(guān)講解練（滬科版）-重難點(diǎn)專項(xiàng)突破09相似三角形中的“手拉手”旋轉(zhuǎn)模型（原卷版）

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破09相似三角形中的“手拉手”旋轉(zhuǎn)模型【知識梳理】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型模型展示：如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來.Com]【考點(diǎn)剖析】例1、如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，E為△ABC外一點(diǎn)，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求證：(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.例2.把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D 與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB 相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q．（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時，易證∽，則 此時______；（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時間方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．其 中，問的值是否改變？請說明理由．FFAB(Q)CD(O)EPPABCD(O)ABCD(O)QPQEFEF圖1圖2圖3例3.如圖，已知和是兩個全等的等腰直角三角形，且 ，的頂點(diǎn)E與的斜邊BC的中點(diǎn)重合．將繞 點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于 點(diǎn)Q．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：≌；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長線上時，求證：∽；并求當(dāng)BP=a， 時，P、Q兩點(diǎn)間的距離（用含a的代數(shù)式表示）．AABCDEFABCDEFPPQ圖1圖2Q例4.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)．連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)α＝60°時，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是．（2）類比探究如圖2，當(dāng)α＝90°時，請寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題當(dāng)α＝90°時，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請直接寫出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時的值．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共4小題）1．（2020秋?霍邱縣期末）如圖，△ABC≌△ADE且BC、DE交于點(diǎn)O，連接BD、CE，則下列四個結(jié)論：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE，其中一定成立的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023?合肥一模）已知：△ABC中，AD是中線，點(diǎn)E在AD上，且CE＝CD，∠BAD＝∠ACE．則的值為（）A． B． C． D．3．（2022?瑤海區(qū)三模）如圖，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，且△ABC∽△AB'C'，連接CC'，將CC′沿C′B′方向平移至EB'，連接BE，若CC'＝，則BE的長為（）A．1 B． C． D．24．（2021秋?鳳陽縣期末）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，若要判定△ABP∽△ACB，則下列添加的條件不正確的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝二．填空題（共2小題）5．（2020秋?蚌埠月考）如圖，△ABC≌△ADE且BC、DE交于點(diǎn)O，連接BD、CE，則下列四個結(jié)論①BC＝DE；②∠ABC＝∠ADE；③∠BAD＝∠CAE；④BD＝CE，其中一定成立的有．6．（2022?安徽模擬）在數(shù)學(xué)探究活動中，小明進(jìn)行了如下操作：如圖，將兩張等腰直角三角形紙片ABC和CDE如圖放置（其中∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC，CE＝DE）．CD、CE分別與AB邊相交于M、N兩點(diǎn)．請完成下列探究：（1）若AC＝2，則AN?BM的值為；（2）過M作MF⊥AC于F，若＝，則的值為．三．解答題（共6小題）7．（2021?瑤海區(qū)校級開學(xué)）已知：如圖，△ABD∽△ACE．求證：△DAE∽△BAC．8．如圖，已知：，求證：AB?CE＝AC?BD．9．（2017秋?禹會區(qū)校級期中）如圖，已知△ABD∽△ACE，求證：△ABC∽△ADE．10．（2023?亳州二模）如圖1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．（1）①求證：△ABC∽△ADE；②若AB＝AC，試判斷△ADE的形狀，并說明理由；（2）如圖2，旋轉(zhuǎn)△ADE，使點(diǎn)D落在邊BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求證：CE⊥BC．11．（2021秋?當(dāng)涂縣校級期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求證：△PAB∽△PBC；（2）求證：AC＝PC．12．（2020?蕪湖三模）（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一條直線上．填空：①線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為；②∠BEC＝°．（2）（類比探究）如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，點(diǎn)B，D，E在同一條直線上，請判斷線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系及∠BEC