2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考點《橢圓、雙曲線、拋物線（選填）》含答案解析

高中PAGE1高中清單05橢圓、雙曲線、拋物線（選填）（個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】橢圓的定義1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點（,）叫橢圓的焦點，兩焦點的距離（）叫作橢圓的焦距.說明：若，的軌跡為線段；若，的軌跡無圖形2、定義的集合語言表述集合.【清單02】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點坐標(biāo)，，的關(guān)系【清單03】雙曲線的定義1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.2、集合語言表達(dá)式雙曲線就是下列點的集合:.3、說明若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.(1)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;(2)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.【清單04】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點坐標(biāo)，，的關(guān)系兩種雙曲線，（）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點坐標(biāo)也不同.【清單05】拋物線的定義1、拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（其中定點不在定直線上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．2、拋物線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：(為點到準(zhǔn)線的距離).【清單06】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：方程（）（）（）（）圖形焦點準(zhǔn)線【考點題型一】橢圓,雙曲線，拋物線定義辨析【例1】（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）下列說法正確的個數(shù)是（

）①動點滿足，則P的軌跡是橢圓②動點滿足，則P的軌跡是雙曲線③動點滿足到y(tǒng)軸的距離比到的距離小1，則P的軌跡是拋物線④動點滿足，則P的軌跡是圓和一條直線（

）A．0 B．1 C．2 D．3【變式1-1】（24-25高二上·江蘇連云港·期中）一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則該動圓圓心的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【變式1-2】（24-25高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）設(shè)定點，，動點滿足條件，則點的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．射線 D．橢圓或線段【考點題型二】利用圓錐曲線定義求軌跡方程【例2】（24-25高二上·重慶渝中·階段練習(xí)）平面內(nèi)，動點的坐標(biāo)滿足方程，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式2-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點，若動點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式2-2】（22-23高三·全國·課后作業(yè)）已知點F（1，0），直線，若動點P到點F和到直線l的距離相等，則點P的軌跡方程是.【考點題型三】圓錐曲線上點到焦點距離及最值【例3】（2023·河南鄭州·一模）設(shè)，為雙曲線C：的左、右焦點，Q為雙曲線右支上一點，點P（0，2）．當(dāng)取最小值時，的值為（

）A． B． C． D．【變式3-1】（24-25高二上·吉林·期中）已知動點在橢圓上，若點，點滿足，且，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．【變式3-2】（23-24高二上·上海·期末）設(shè)，為雙曲線的左右焦點，為雙曲線右支上一點，點，當(dāng)取最小值時，的值為.【考點題型四】橢圓，雙曲線中焦點三角形問題（周長問題）核心方法：圓錐曲線定義+余弦定理【例4-1】（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）經(jīng)過橢圓的右焦點的直線交橢圓于，兩點，是橢圓的左焦點，則的周長是（

）A．8 B．9 C．10 D．20【例4-2】（24-25高二上·廣東江門）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，是雙曲線上一點，且．若的面積為，則的周長為（

）A． B． C． D．23+26【變式4-1】（23-24高二上·河南周口·期中）設(shè)橢圓：的左、右焦點分別為，.若點在上，則的周長為.【變式4-2】（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè)圓C與兩圓，中的一個內(nèi)切，另一個外切.(1)求圓心C的軌跡E的方程；(2)過曲線E上一點M（2，3）作斜率為的直線l，與曲線E交于另外一點N.試求的周長.【考點題型五】橢圓，雙曲線中焦點三角形問題（面積問題）核心方法：圓錐曲線定義+正、余弦定理+面積公式+基本不等式【例5-1】（23-24高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）設(shè)是雙曲線C:的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點P在C上且，則面積為.【例5-2】（24-25高二上·安徽·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且直線與軸垂直.(1)證明：；(2)若的角平分線恰好過點，求的面積.【變式5-1】（23-24高二上·江西·階段練習(xí)）已知點在橢圓上，是橢圓的左?右焦點，若，且的面積為，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式5-2】（23-24高二上·四川達(dá)州·期中）已知雙曲線的左、右焦點分別是，點為雙曲線上一點，若到原點的距離，則的面積是.【考點題型六】橢圓，雙曲線中焦點三角形問題（其他問題）【例6】（多選）（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知橢圓上有一點P，分別為左?右焦點，，的面積為S，則下列選項正確的是（

）A．若，則B．使得為直角三角形的點共6個C．若為鈍角三角形，則D．的最大值是9【變式6-1】（多選）（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，的面積為，則（

）A．點的橫坐標(biāo)為 B．的周長為16C．的內(nèi)切圓的半徑為 D．的外接圓的半徑為【變式6-2】（多選）（24-25高二上·山東·期中）已知橢圓：（）與雙曲線：有相同的焦點，，且它們的離心率之積為，點是與的一個公共點，則（

）A．橢圓的方程為 B．C．為等腰三角形 D．對于上的任意一點，【考點題型七】圓錐曲線中線段和差最值問題【例7】（24-25高二上·吉林·期中）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，點是上一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式7-1】（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，為上任意一點，為圓上任意一點，則的最小值為.【變式7-2】（24-25高二上·重慶北碚·階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點分別為?，為雙曲線右支上一點，點的坐標(biāo)為，則的最小值為.【考點題型八】求圓錐曲線方程【例8】（24-25高二上·廣西玉林·期中）一動圓與圓和都外切，則動圓的圓心的軌跡方程為.【變式8-1】（24-25高二上·江蘇常州）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，若，則點所在曲線的方程為.【變式8-2】（24-25高二上·云南大理·期中）分別求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點分別是，，并且橢圓經(jīng)過點；(2)經(jīng)過兩點、.【考點題型九】判斷方程為橢圓、雙曲線的條件【例9】（23-24高二下·廣西柳州·階段練習(xí)）已知曲線.下列正確的是（

）A．若，則是橢圓，其焦點在軸上B．若，則是圓，其半徑為C．若，則是雙曲線，其漸近線方程為D．若，則是兩條直線【變式9-1】（多選）（23-24高二上·陜西寶雞·期末）若方程所表示的曲線為C，則（

）A．曲線C可能是圓B．若，則C不一定是橢圓C．若C為橢圓，且焦點在x軸上，則D．若C為雙曲線，且焦點在y軸上，則【變式9-2】.（多選）（23-24高二上·湖北武漢·期中）若方程所表示的曲線為，則下列說法錯誤的是（

）A．若為橢圓，則B．若為雙曲線，則或C．若為橢圓，則焦距為定值D．若為雙曲線，則焦距為定值【考點題型十】圓錐曲線中的離心率（定值）【例10】（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，直線過點，若點關(guān)于的對稱點恰好在雙曲線右支上，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．2【變式10-1】（24-25高二上·廣東佛山·期中）已知A，B分別為橢圓的左、右頂點，，直線與軸交于點，與直線交于點，且平分，則此橢圓的離心率為.【變式10-2】（24-25高二上·湖南·期中）已知雙曲線的左焦點為，過的直線交圓于，兩點，交的右支于點，若，則的離心率為.【考點題型十一】圓錐曲線中的離心率（最值+范圍）【例11】（24-25高二上·安徽·期中）已知為坐標(biāo)原點，是橢圓的左焦點．若橢圓上存在兩點滿足，且關(guān)于原點對稱，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式11-1】（24-25高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，且，若在直線上存在P，使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式11-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點為，若雙曲線右支上存在點滿足（為坐標(biāo)原點），則雙曲線的離心率的取值范圍是．【考點題型十二】拋物線中的和差最值問題【例12】（24-25高二上·湖南·期中）已知拋物線的焦點為點，P是C上一個動點，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【變式12-1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知點，拋物線的焦點為為拋物線上一動點，當(dāng)運(yùn)動到時，，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【變式12-2】（23-24高二下·河南安陽·階段練習(xí)）已知拋物線：的準(zhǔn)線為，點的坐標(biāo)為，點在拋物線上，點到直線的距離為，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【考點題型十三】拋物線中焦半徑問題【例13】（24-25高二上·河南·期中）已知為拋物線的焦點，點，，在拋物線上，為的重心，則（

）A． B． C． D．【變式13-1】（2024·北京西城·三模）點F拋物線的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【考點題型十四】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例14】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）以為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【變式14-1】（23-24高三下·湖北·開學(xué)考試）已知拋物線的頂點在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，點關(guān)于其準(zhǔn)線的對稱點為，則的方程為（

）A． B． C． D．【變式14-2】（24-25高三上·云南昆明·開學(xué)考試）已知點到點的距離比它到直線的距離小，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式14-3】（2024高二·全國·專題練習(xí)）到點的距離比到直線的距離小的動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【考點題型十五】圓錐曲線中新定義題（小題）【例15】（24-25高二上·上海·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點，的“切比雪夫距離”，又設(shè)點與直線上任意一點，稱的最小值為點與直線間的“切比雪夫距離”，記作，給定下列兩個命題：①已知點，直線，則；②定點、，動點滿足，則點的軌跡與直線（k為常數(shù)）有且僅有2個公共點；下列說法正確的選項是（

）A．命題①成立，命題②不成立 B．命題①不成立，命題②成立C．命題①②都成立 D．命題①②都不成立【變式15-1】（24-25高二上·吉林·期中）如圖，已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中.“果圓”與軸的交點分別為，與軸的交點分別為，點為半橢圓上一點（不與重合），若存在.，則半橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式15-2】（24-25高二上·浙江臺州·期中）數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）．給出下列三個結(jié)論：①曲線C關(guān)于直線對稱；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過2；③存在一個以原點為中心、邊長為的正方形，使曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）．其中，正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·山東濟(jì)寧·期中）設(shè)分別為橢圓的兩個焦點，過且不與坐標(biāo)軸重合的直線橢圓于兩點，則的周長為（

）A． B． C． D．2．（福建省龍巖市非一級達(dá)標(biāo)校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷）已知是雙曲線的右焦點，則點到的漸近線的距離為（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·廣東佛山·期中）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．3 B． C．4 D．4．（2024·陜西商洛·一模）已知直線與拋物線交兩點，為坐標(biāo)原點，若，則（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·黑龍江雞西·期中）已知雙曲線C：分別為雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上一點.連接交雙曲線C左支于點，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率是（

）A． B．2 C． D．56．（24-25高二上·廣西南寧·期中）已知拋物線，直線過拋物線的焦點，直線與拋物線交于A，B兩點，弦AB長為12，則直線的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或7．（24-25高二上·河北石家莊·期中）如圖所示，點是拋物線的焦點，點分別在拋物線及圓的實線部分上運(yùn)動，且AB總是平行于軸，則的周長的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（24-25高二上·安徽·階段練習(xí)）已知曲線，過上任意一點向軸引垂線，垂足為，則線段的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．9．（24-25高二上·浙江·期中）已知雙曲線：，過點的直線與雙曲線交于，兩點.若點為線段的中點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．10．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為、，若上存在一點，使得，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題11．（24-25高二上·重慶·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點為橢圓上一點，則（

）A．的周長為B．存在點，使得C．若，則的面積為D．使得為等腰三角形的點共有4個12．（24-25高二上·河北石家莊·期中）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為2，，分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于點，兩點，和的內(nèi)心分別為，，則（

）A．始終垂直于軸 B．C． D．三、填空題13．（2024高二·全國·專題練習(xí)）設(shè)橢圓的右焦點為，動點在橢圓上，點是直線上的動點，則的最小值為14．（24-25高二上·山西·期中）已知橢圓與雙曲線有公共焦點與在第一象限的交點為，且，記的離心率分別為，則.15．（24-25高二上·安徽·期中）已知定直線，點分別是上的動點，且，則的中點的軌跡方程為.16．（24-25高二上·江蘇常州·期中）已知點，，點滿足直線的斜率之積為，則的最小值為．17．（24-25高二上·福建福州·期中）如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分.過對稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點上，片門位于另一個焦點上.由橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點.已知，.若透明窗DE所在的直線與截口所在的橢圓交于一點，且，則的面積為.18．（24-25高二上·山東德州·期中）已知直線與拋物線交于、兩點，且（為坐標(biāo)原點），則；的面積為.清單05橢圓、雙曲線、拋物線（選填）（個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】橢圓的定義1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點（,）叫橢圓的焦點，兩焦點的距離（）叫作橢圓的焦距.說明：若，的軌跡為線段；若，的軌跡無圖形2、定義的集合語言表述集合.【清單02】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點坐標(biāo)，，的關(guān)系【清單03】雙曲線的定義1、定義:一般地,我們把平面內(nèi)與兩個定點,的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.2、集合語言表達(dá)式雙曲線就是下列點的集合:.3、說明若將定義中差的絕對值中的絕對值符號去掉,則點的軌跡為雙曲線的一支,具體是哪一支,取決于與的大小.(1)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;(2)若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.【清單04】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點坐標(biāo)，，的關(guān)系兩種雙曲線，（）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種雙曲線的位置不同,它們的焦點坐標(biāo)也不同.【清單05】拋物線的定義1、拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（其中定點不在定直線上）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．2、拋物線的數(shù)學(xué)表達(dá)式：(為點到準(zhǔn)線的距離).【清單06】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：方程（）（）（）（）圖形焦點準(zhǔn)線【考點題型一】橢圓,雙曲線，拋物線定義辨析【例1】（24-25高二上·北京·階段練習(xí)）下列說法正確的個數(shù)是（

）①動點滿足，則P的軌跡是橢圓②動點滿足，則P的軌跡是雙曲線③動點滿足到y(tǒng)軸的距離比到的距離小1，則P的軌跡是拋物線④動點滿足，則P的軌跡是圓和一條直線（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【知識點】軌跡問題——圓、軌跡問題——橢圓、雙曲線定義的理解、拋物線定義的理解【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線、拋物線、直線和圓的知識對四個說法進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】①，表示點與點的距離和為，而兩點的距離為，所以點軌跡是兩點間的線段，①錯誤.②，表示點與點的距離和為，而兩點的距離為，，所以點的軌跡是橢圓，②錯誤.③，動點滿足到y(tǒng)軸的距離比到的距離小1，當(dāng)點在y軸左側(cè)或在y軸上時則動點滿足到直線的距離和到的距離相等，則P的軌跡是拋物線；當(dāng)點在y軸右側(cè)時，此時P的軌跡是射線，③不正確.④，動點滿足，則或，表示的是直線在圓外和圓上的部分；表示一個圓，所以P的軌跡是圓和兩條射線，④錯誤.所以正確的有0個.故選：A【變式1-1】（24-25高二上·江蘇連云港·期中）一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則該動圓圓心的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】B【知識點】橢圓定義及辨析、軌跡問題——橢圓【分析】先把兩圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心和半徑，設(shè)出動圓圓心坐標(biāo)，根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)推導(dǎo)出滿足的關(guān)系式后即可求解.【詳解】由可得，，圓心為，半徑；由可得，圓心為，半徑.設(shè)動圓的圓心為，半徑為，由于動圓和外切，根據(jù)兩圓外切的性質(zhì)，，由于動圓和內(nèi)切，根據(jù)兩圓內(nèi)切的性質(zhì)，，于是，即動點到的距離之和是，且大于兩定點間距離，根據(jù)橢圓的定義，動圓圓心的軌跡是橢圓.故選：B【變式1-2】（24-25高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）設(shè)定點，，動點滿足條件，則點的軌跡是（

）A．橢圓 B．線段 C．射線 D．橢圓或線段【答案】D【知識點】橢圓定義及辨析【分析】利用基本不等式求出的范圍，根據(jù)橢圓的定義可得答案.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，當(dāng)時，，而，此時點的軌跡是線段；當(dāng)時，，此時點的軌跡是以、為焦點的橢圓．綜上所述，點的軌跡是以、為焦點的橢圓或線段.故選：D.【考點題型二】利用圓錐曲線定義求軌跡方程【例2】（24-25高二上·重慶渝中·階段練習(xí)）平面內(nèi)，動點的坐標(biāo)滿足方程，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】利用橢圓定義求方程、軌跡問題——橢圓【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可.【詳解】由題意，點到兩個定點，的距離之和等于常數(shù)，故根據(jù)橢圓的定義可知：此點的軌跡為焦點在軸上的橢圓，且，，故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B【變式2-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點，若動點滿足，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】利用雙曲線定義求方程、根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】根據(jù)中為定值，故先化簡再分析滿足的距離關(guān)系即可.【詳解】設(shè)Mx,y，因為，故，即.故點Mx,y的軌跡是以為焦點的雙曲線的下支，且，故.所以點的軌跡方程為.故選：B.【變式2-2】（22-23高三·全國·課后作業(yè)）已知點F（1，0），直線，若動點P到點F和到直線l的距離相等，則點P的軌跡方程是.【答案】【知識點】利用拋物線定義求動點軌跡【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合焦點坐標(biāo)，直接求軌跡方程.【詳解】根據(jù)拋物線定義可知，點在以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線上，所以，，拋物線方程為.故答案為：.【考點題型三】圓錐曲線上點到焦點距離及最值【例3】（2023·河南鄭州·一模）設(shè)，為雙曲線C：的左、右焦點，Q為雙曲線右支上一點，點P（0，2）．當(dāng)取最小值時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】利用雙曲線定義求點到焦點的距離及最值、利用定義求雙曲線中線段和、差的最值【分析】結(jié)合雙曲線定義數(shù)形結(jié)合判斷取最小值時，三點共線，聯(lián)立直線及雙曲線方程解出Q的坐標(biāo)為，即可求解的值.【詳解】由雙曲線定義得,故如圖示，當(dāng)三點共線，即Q在M位置時，取最小值，，故方程為，聯(lián)立，解得點Q的坐標(biāo)為(Q為第一象限上的一點)，故故選：A【變式3-1】（24-25高二上·吉林·期中）已知動點在橢圓上，若點，點滿足，且，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【知識點】橢圓上點到焦點的距離及最值【分析】由得，，問題轉(zhuǎn)化為求，結(jié)合圖象可知當(dāng)點為橢圓的右頂點時，有最小值，計算，得到.【詳解】橢圓中，.

如圖，由得，∴，∴當(dāng)取最小值時，最小.由題意得，點A為橢圓右焦點，當(dāng)點為橢圓的右頂點時，，∴.故選：C.【變式3-2】（23-24高二上·上?！て谀┰O(shè)，為雙曲線的左右焦點，為雙曲線右支上一點，點，當(dāng)取最小值時，的值為.【答案】/【知識點】利用雙曲線定義求點到焦點的距離及最值【分析】結(jié)合雙曲線定義數(shù)形結(jié)合判斷出取最小值時，、、三點共線，且點在點、之間，后續(xù)計算即可得.【詳解】由雙曲線為，則，為雙曲線右支上一點，則，即故，當(dāng)且僅當(dāng)點、、三點共線，且點在點、之間時，等號成立，由題意可得，又，則，即，代入得，，化簡得，故或，由，故舍去，則，即點，則.故答案為：.【考點題型四】橢圓，雙曲線中焦點三角形問題（周長問題）核心方法：圓錐曲線定義+余弦定理【例4-1】（24-25高二上·重慶·階段練習(xí)）經(jīng)過橢圓的右焦點的直線交橢圓于，兩點，是橢圓的左焦點，則的周長是（

）A．8 B．9 C．10 D．20【答案】D【知識點】橢圓定義及辨析、橢圓中焦點三角形的周長問題【分析】為焦點三角形，周長等于兩個長軸長，再根據(jù)橢圓方程，即可求出的周長．【詳解】為橢圓的兩個焦點，，的周長為．故選：D．【例4-2】（24-25高二上·廣東江門）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，是雙曲線上一點，且．若的面積為，則的周長為（

）A． B． C． D．23+26【答案】A【知識點】利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題、三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形【分析】由三角形面積公式可求，結(jié)合余弦定理得，由離心率可求出，同理結(jié)合代入余弦定理可求，進(jìn)而得解.【詳解】由題可知，，求得，對由余弦定理可得，即，即，因為，解得，又，即，解得，，所以的周長為.故選：A【變式4-1】（23-24高二上·河南周口·期中）設(shè)橢圓：的左、右焦點分別為，.若點在上，則的周長為.【答案】6【知識點】橢圓中焦點三角形的周長問題【分析】根據(jù)條件得出，再利用橢圓的定義即可求出結(jié)果.【詳解】因為在橢圓：上，所以，得到，又，所以，又，所以，由橢圓的定義知，，所以的周長為，故答案為：.【變式4-2】（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）設(shè)圓C與兩圓，中的一個內(nèi)切，另一個外切.(1)求圓心C的軌跡E的方程；(2)過曲線E上一點M（2，3）作斜率為的直線l，與曲線E交于另外一點N.試求的周長.【答案】(1)(2)10【知識點】利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題、利用雙曲線定義求方程【分析】（1）根據(jù)幾何意義即可求得軌跡方程；（2）求出直線l的方程，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）圓C與兩圓，中的一個內(nèi)切，另一個外切，則，所以的軌跡是以為焦點，2為實軸長的雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）過曲線E上一點M（2，3）作斜率為的直線l，其方程，恰好經(jīng)過，N在線段上，，，即，所以的周長【考點題型五】橢圓，雙曲線中焦點三角形問題（面積問題）核心方法：圓錐曲線定義+正、余弦定理+面積公式+基本不等式【例5-1】（23-24高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）設(shè)是雙曲線C:的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點P在C上且，則面積為.【答案】3【知識點】求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題【分析】利用雙曲線定理結(jié)合勾股定理求出的長，再利用三角形面積公式即可.【詳解】由題意得雙曲線中，，則其焦點坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線對稱性，不妨假設(shè)點在第一象限，設(shè)，其中，因為，則，根據(jù)勾股定理知，即，解得（負(fù)舍），則，則面積為.故答案為：3.【例5-2】（24-25高二上·安徽·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且直線與軸垂直.(1)證明：；(2)若的角平分線恰好過點，求的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】橢圓中焦點三角形的面積問題、橢圓定義及辨析【分析】（1）利用橢圓定義以及勾股定理計算可得結(jié)論；（2）由角平分線定理可得，，解得，代入可求得面積.【詳解】（1）由橢圓的定義得，因為直線與x軸垂直，所以，即，故.（2）因為平分，所以，即，如下圖所示：由和，解得，，代入得，解得；故的面積為.【變式5-1】（23-24高二上·江西·階段練習(xí)）已知點在橢圓上，是橢圓的左?右焦點，若，且的面積為，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知識點】三角形面積公式及其應(yīng)用、橢圓中焦點三角形的面積問題、基本不等式求和的最小值【分析】根據(jù)題意由向量數(shù)量積和三角形面積公式可得，再利用橢圓定義和基本不等式即可求出.【詳解】如圖所示：

不妨設(shè)，則可知，，兩式相除可得，所以，又，所以，可得，由橢圓的定義，得（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以.故選：B.【變式5-2】（23-24高二上·四川達(dá)州·期中）已知雙曲線的左、右焦點分別是，點為雙曲線上一點，若到原點的距離，則的面積是.【答案】【知識點】軌跡問題——圓、利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題【分析】由可得點在圓上，且，利用雙曲線定義和勾股定理可得，即可知的面積為.【詳解】如下圖所示：不妨取點在雙曲線的右支上，由可得點在圓上，又易知，所以即為圓的直徑，所以，利用雙曲線定義可得，利用勾股定理可得，所以，可得，因此的面積為.故答案為：【考點題型六】橢圓，雙曲線中焦點三角形問題（其他問題）【例6】（多選）（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知橢圓上有一點P，分別為左?右焦點，，的面積為S，則下列選項正確的是（

）A．若，則B．使得為直角三角形的點共6個C．若為鈍角三角形，則D．的最大值是9【答案】AC【知識點】余弦定理解三角形、基本不等式求積的最大值、橢圓中焦點三角形的面積問題、橢圓中焦點三角形的其他問題【分析】對于A，利用橢圓的定義結(jié)合余弦定理和三角形的面積公式可求得結(jié)果，對于B，利用余弦定理求出，結(jié)合橢圓的性質(zhì)進(jìn)行判斷，對于C，當(dāng)時，為鈍角三角形，從而可求出三角形面積的范圍，對于D，利用基本不等式結(jié)合橢圓的定義求解.【詳解】對于A，由，得，則，設(shè)，則由橢圓的定義，在中，，則余弦定理得，，所以，，得，所以的面積為，所以A正確，對于B，當(dāng)時，為直角三角形的點有2個，當(dāng)時，為直角三角形的點有2個，設(shè)橢圓的上頂點為，則，在中，，所以為銳角，所以在中不可能為是直角，綜上，使得為直角三角形的點共4個，所以B錯誤，對于C，設(shè)，由選項B可知，當(dāng)時，為鈍角三角形，當(dāng)時，，得，所以時，，所以，即，所以C正確，對于D，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為16，所以D錯誤，故選：AC【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義結(jié)合其性質(zhì)求解，考查計算能力，屬于較難題.【變式6-1】（多選）（23-24高二上·江蘇常州·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，的面積為，則（

）A．點的橫坐標(biāo)為 B．的周長為16C．的內(nèi)切圓的半徑為 D．的外接圓的半徑為【答案】BCD【知識點】橢圓中焦點三角形的周長問題、橢圓中焦點三角形的面積問題、橢圓中焦點三角形的其他問題【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的定義式，三角形的周長，以及三角形的周長與三角形的內(nèi)切圓半徑的關(guān)系，正余弦定理，即可依次得出答案.【詳解】由題意知，，，則，.對于A選項，因為，解得，又，則，，故A錯誤；對于B選項，的周長為，故B正確；對于C選項，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑，則，又，，解得，故C正確；對于D選項，在中，由，解得，又，即，整理得：，即，即，又，解得，設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理知：，即，解得，故D正確.故選：BCD.【變式6-2】（多選）（24-25高二上·山東·期中）已知橢圓：（）與雙曲線：有相同的焦點，，且它們的離心率之積為，點是與的一個公共點，則（

）A．橢圓的方程為 B．C．為等腰三角形 D．對于上的任意一點，【答案】ABC【知識點】橢圓定義及辨析、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線定義的理解、利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題【分析】根據(jù)橢圓的關(guān)系可求解選項A；利用橢圓和雙曲線的定義求解選項B、C；利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解選項D.【詳解】由雙曲線：的方程可知，雙曲線的焦點，，離心率為，所以橢圓的焦點為，，離心率為，所以橢圓中，，所以橢圓的方程為，A正確；因為點是與的一個公共點，所以點在雙曲線上，所以根據(jù)雙曲線的定義可知，，且，所以，B正確；根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，則，又根據(jù)橢圓的定義可知，，所以聯(lián)立，解得，所以，所以為等腰三角形，C正確；設(shè)，則，，所以，解得，此時，所以存在點的坐標(biāo)為或或或，使得，D錯誤；故選：ABC.【考點題型七】圓錐曲線中線段和差最值問題【例7】（24-25高二上·吉林·期中）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，點是上一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】橢圓定義及辨析、橢圓上點到焦點和定點距離的和、差最值、求橢圓中的最值問題【分析】運(yùn)用橢圓定義對長度進(jìn)行轉(zhuǎn)化計算即可.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，則由橢圓的定義知，所以.當(dāng)三點共線時，，所以的最小值為.故選：C.【變式7-1】（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為，，為上任意一點，為圓上任意一點，則的最小值為.【答案】【知識點】定點到圓上點的最值（范圍）、橢圓上點到焦點和定點距離的和、差最值【分析】根據(jù)圓上的點到定點的距離范圍可知，即，結(jié)合橢圓的定義可轉(zhuǎn)化為，即可得解.【詳解】由橢圓可知橢圓的實軸長，F(xiàn)1?1,0，F(xiàn)2圓的圓心，半徑，由已知圓上任意一點到得距離，所以，又根據(jù)橢圓定義，則，當(dāng)且僅當(dāng)，都在線段上時，等號成立，故答案為：.【變式7-2】（24-25高二上·重慶北碚·階段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點分別為?，為雙曲線右支上一點，點的坐標(biāo)為，則的最小值為.【答案】/【知識點】利用定義求雙曲線中線段和、差的最值【分析】利用雙曲線定義可將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合三角形三邊關(guān)系可確定最小值為三點共線時的取值，由此可計算得到結(jié)果.【詳解】

由雙曲線方程知：，，，則，，由雙曲線定義知：，（當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時取等號），又，.故答案為：.【考點題型八】求圓錐曲線方程【例8】（24-25高二上·廣西玉林·期中）一動圓與圓和都外切，則動圓的圓心的軌跡方程為.【答案】【知識點】利用雙曲線定義求方程、求雙曲線的軌跡方程【分析】求出已知圓的圓心和半徑，再利用兩圓外切建立等式求出軌跡方程.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設(shè)動圓的圓心，半徑為，依題意，，則，因此動圓的圓心的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線下支，實半軸長，半焦距，虛半軸長，方程為.故答案為：【變式8-1】（24-25高二上·江蘇常州）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，若，則點所在曲線的方程為.【答案】【知識點】求平面軌跡方程、雙曲線定義的理解、利用雙曲線定義求方程【分析】由題意判斷滿足雙曲線的定義，通過雙曲線的定義求出所求的方程即可．【詳解】因為在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，，所以點滿足雙曲線的定義，到與到的距離的差是常數(shù)2，軌跡是雙曲線的一支．由題意可知，，所以，所求的點所在曲線的方程為：，即．故答案為：．【變式8-2】（24-25高二上·云南大理·期中）分別求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個焦點分別是，，并且橢圓經(jīng)過點；(2)經(jīng)過兩點、.【答案】(1)(2)【知識點】利用橢圓定義求方程、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)橢圓過的點求標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】（1）法：根據(jù)焦點坐標(biāo)以及點在橢圓上得到關(guān)于的方程組，由此可求的值，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知；法：根據(jù)橢圓定義求解出的值，根據(jù)求出的值，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可知；（2）設(shè)出橢圓方程，代入點的坐標(biāo)可求，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可求.【詳解】（1）法：由題意可知橢圓的焦點在軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，又因為，所以，因為點在橢圓上，所以，即，從而有，解得或（舍去），因此，從而所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.法：由題意可知橢圓的焦點在軸上，且，所以，故，從而所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)橢圓的方程為，因為橢圓經(jīng)過兩點、，所以，解得，，即橢圓方程為，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【考點題型九】判斷方程為橢圓、雙曲線的條件【例9】（23-24高二下·廣西柳州·階段練習(xí)）已知曲線.下列正確的是（

）A．若，則是橢圓，其焦點在軸上B．若，則是圓，其半徑為C．若，則是雙曲線，其漸近線方程為D．若，則是兩條直線【答案】A【知識點】判斷方程是否表示雙曲線、判斷方程是否表示橢圓、二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓、圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程逐一判斷各個選項即可得解.【詳解】對于A，若，則化為，由，得，因此曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，A正確；對于B，若，則化為，此時曲線C表示圓心在原點，半徑為的圓，B錯誤；對于C，若，則化為，此時曲線C表示雙曲線，由得漸近線方程為，C錯誤；對于D，，方程，若，方程不表示任何曲線，D錯誤．故選：A【變式9-1】（多選）（23-24高二上·陜西寶雞·期末）若方程所表示的曲線為C，則（

）A．曲線C可能是圓B．若，則C不一定是橢圓C．若C為橢圓，且焦點在x軸上，則D．若C為雙曲線，且焦點在y軸上，則【答案】ABC【知識點】根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)的范圍、判斷方程是否表示雙曲線、根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)的范圍、判斷方程是否表示橢圓【分析】令即可判斷AB；由方程表示橢圓、雙曲線的條件即可判斷CD.【詳解】對于AB，當(dāng)時，曲線C的方程為，所以曲線C可能是圓，不一定是橢圓故AB正確；對于C，若C為橢圓，且焦點在x軸上，則，解得，故C正確；對于D，若C為雙曲線，且焦點在y軸上，則，解得，故D錯誤.故選：ABC.【變式9-2】.（多選）（23-24高二上·湖北武漢·期中）若方程所表示的曲線為，則下列說法錯誤的是（

）A．若為橢圓，則B．若為雙曲線，則或C．若為橢圓，則焦距為定值D．若為雙曲線，則焦距為定值【答案】ACD【知識點】根據(jù)方程表示橢圓求參數(shù)的范圍、判斷方程是否表示雙曲線、根據(jù)方程表示雙曲線求參數(shù)的范圍、求雙曲線的焦距【分析】根據(jù)橢圓以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】方程，由，解得,,，此時曲線是橢圓，所以A不正確．

由得或，此時表示的曲線是雙曲線，所以B正確，當(dāng)，解得，此時曲線表示焦點在軸上的橢圓，故焦距為，不為定值，故C錯誤，當(dāng)，解得時，此時曲線表示焦點在軸上的雙曲線，則焦距為，不為定值，故D錯誤，故選：ACD．【考點題型十】圓錐曲線中的離心率（定值）【例10】（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，直線過點，若點關(guān)于的對稱點恰好在雙曲線右支上，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】B【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】根據(jù)已知結(jié)合雙曲線的定義可推得，.然后根據(jù)，可推得.最后根據(jù)余弦定理，即可得到關(guān)于的齊次方程，即可得出離心率.【詳解】設(shè)，由已知可得，，根據(jù)雙曲線的定義有.又，所以.在中，由余弦定理可得，，即，整理可得，等式兩邊同時除以可得，，解得或（舍去），所以.故選：B.【變式10-1】（24-25高二上·廣東佛山·期中）已知A，B分別為橢圓的左、右頂點，，直線與軸交于點，與直線交于點，且平分，則此橢圓的離心率為.【答案】【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】由題意可得，求得，由角平分線定理，結(jié)合離心率公式計算即可得到所求值.【詳解】如圖，由題意可知，所以，所以，因為平分，所以，解得，所以，所以離心率，故答案為：.【變式10-2】（24-25高二上·湖南·期中）已知雙曲線的左焦點為，過的直線交圓于，兩點，交的右支于點，若，則的離心率為.【答案】【知識點】求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】作出輔助線，結(jié)合題目條件得到方程組，求出，結(jié)合雙曲線定義得到方程，求出離心率.【詳解】設(shè)的半焦距為cc>0，如圖，設(shè)為坐標(biāo)原點，的中點為的右焦點為，連接，.

因為，所以也是的中點.設(shè)，由雙曲線的定義得，所以，在中，由，得，所以，在中，由，得.故答案為：.【點睛】方法點睛：求解離心率的常用方法：（1）直接法：直接求出，求解；（2）變用公式，整體求出；（3）利用題目中所給的幾何關(guān)系或者條件得出的關(guān)系；（4）構(gòu)造的齊次式，解出.【考點題型十一】圓錐曲線中的離心率（最值+范圍）【例11】（24-25高二上·安徽·期中）已知為坐標(biāo)原點，是橢圓的左焦點．若橢圓上存在兩點滿足，且關(guān)于原點對稱，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】設(shè)橢圓C的右焦點為，連接．由橢圓的性質(zhì)分析出以為直徑的圓與橢圓有公共點，得到，消去，即可求出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓C的右焦點為，連接．由橢圓的性質(zhì)得，，，即橢圓上存在點A，滿足，即以為直徑的圓與橢圓有公共點．設(shè)橢圓C的半焦距為cc>0，所以只需，所以，即，所以橢圓C的離心率的取值范圍為．故選：C【變式11-1】（24-25高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，且，若在直線上存在P，使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】先由題意得，設(shè)直線與x軸交于點D，從而得，再結(jié)合離心率公式和范圍解該不等式即可得解.【詳解】由題意可得，設(shè)直線與x軸交于點D，則，所以即，即，故，又，所以.，所以橢圓離心率的取值范圍是.故選：D.【變式11-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左焦點為，若雙曲線右支上存在點滿足（為坐標(biāo)原點），則雙曲線的離心率的取值范圍是．【答案】【知識點】數(shù)量積的坐標(biāo)表示、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍【分析】設(shè)，則，然后由函數(shù)單調(diào)性及題意可得，即可得答案.【詳解】設(shè)，則，則，令，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，要使雙曲線右支上存在點滿足，則.故，即，又因為，所以雙曲線的離心率的取值范圍是．故答案為：【考點題型十二】拋物線中的和差最值問題【例12】（24-25高二上·湖南·期中）已知拋物線的焦點為點，P是C上一個動點，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【知識點】拋物線定義的理解、拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值【分析】利用拋物線的定義可求的最小值.【詳解】由題意得，準(zhǔn)線為，點A在拋物線C的內(nèi)部，過點A作AB垂直于準(zhǔn)線，垂足為B，過點P作PD垂直于準(zhǔn)線，垂足為D，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，P為AB與拋物線的交點時，等號成立，所以的最小值為故選：C.【變式12-1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知點，拋物線的焦點為為拋物線上一動點，當(dāng)運(yùn)動到時，，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【知識點】拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值【分析】利用拋物線的定義結(jié)合三點共線即可解決.【詳解】由拋物線的定義可知，，所以，所以拋物線的方程為，過點作垂直拋物線的準(zhǔn)線，垂足為，則，當(dāng)且僅當(dāng)和三點共線時等號成立.故選：A.

【變式12-2】（23-24高二下·河南安陽·階段練習(xí)）已知拋物線：的準(zhǔn)線為，點的坐標(biāo)為，點在拋物線上，點到直線的距離為，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【知識點】拋物線定義的理解、拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值【分析】利用拋物線定義，把問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到點A和焦點F距離差的最大值求解.【詳解】拋物線：的焦點，依題意，，則，當(dāng)且僅當(dāng)點P，F(xiàn)，A共線，即點P為拋物線頂點時取“=”，所以的最大值為.故選：A【考點題型十三】拋物線中焦半徑問題【例13】（24-25高二上·河南·期中）已知為拋物線的焦點，點，，在拋物線上，為的重心，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】拋物線的焦半徑公式【分析】根據(jù)重心坐標(biāo)公式，焦半徑公式求解．【詳解】由題意，，設(shè)，，，是的重心，則，，故選：A．【變式13-1】（2024·北京西城·三模）點F拋物線的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【知識點】拋物線定義的理解、拋物線的焦半徑公式【分析】設(shè)，根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，再由可得為的重心，從而可求出，再根據(jù)拋物線的定義可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由，得，所以，準(zhǔn)線方程為，因為，所以為的重心，所以，所以，所以，故選：C【考點題型十四】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例14】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）以為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】根據(jù)焦點或準(zhǔn)線寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】由題意設(shè)拋物線方程為，結(jié)合焦點坐標(biāo)求得，即可得出答案.【詳解】因為拋物線焦點為，所以可設(shè)拋物線方程為，且，則，所以拋物線方程為．故選：D．【變式14-1】（23-24高三下·湖北·開學(xué)考試）已知拋物線的頂點在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，點關(guān)于其準(zhǔn)線的對稱點為，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】根據(jù)焦點或準(zhǔn)線寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】設(shè)拋物線的方程為，設(shè)焦點關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為，求得，得到，進(jìn)而得拋物線的方程.【詳解】由題意，設(shè)拋物線的方程為，可得焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)焦點關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點為，可得，解得，因為點關(guān)于其準(zhǔn)線的對稱點為，可得，解得，所以拋物線的方程為.故選：A.【變式14-2】（24-25高三上·云南昆明·開學(xué)考試）已知點到點的距離比它到直線的距離小，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】求拋物線的軌跡方程【分析】分析可知點的軌跡是以點為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，進(jìn)而可求得點的軌跡方程.【詳解】由題意，點到點的距離等于它到直線的距離，則點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，則點的軌跡方程為，故選：B.【變式14-3】（2024高二·全國·專題練習(xí)）到點的距離比到直線的距離小的動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】求拋物線的軌跡方程【分析】分析可知點的軌跡是拋物線，確定該拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，即可得出點的軌跡方程.【詳解】由題意可知，動點到點的距離等于到直線的距離，故點的軌跡為以點為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，其軌跡方程為.故選：C.【考點題型十五】圓錐曲線中新定義題（小題）【例15】（24-25高二上·上海·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點，的“切比雪夫距離”，又設(shè)點與直線上任意一點，稱的最小值為點與直線間的“切比雪夫距離”，記作，給定下列兩個命題：①已知點，直線，則；②定點、，動點滿足，則點的軌跡與直線（k為常數(shù)）有且僅有2個公共點；下列說法正確的選項是（

）A．命題①成立，命題②不成立 B．命題①不成立，命題②成立C．命題①②都成立 D．命題①②都不成立【答案】C【知識點】求點到直線的距離、求平面軌跡方程【分析】對于①，設(shè)是直線上一點，且，可得，討論與的大小，可得距離，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；對于②，根據(jù)定義得，再根據(jù)對稱性進(jìn)行討論，求得軌跡方程，即可判斷.【詳解】設(shè)點是直線上一點，且，可得由，解得，即有，由，解得或，，所以故①正確；對于②，定點、，動點滿足，則：，顯然上述方程所表示的曲線關(guān)于原點對稱，故不妨設(shè)，當(dāng)時，有，得：；當(dāng)時，有，此時無解；當(dāng)時，有，；則點的軌跡是如圖所示的以原點為中心的兩支折線.結(jié)合圖像可知，點的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有個公共點，因此②正確.故選：C.【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解，對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求，但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好基礎(chǔ)知識，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶,【變式15-1】（24-25高二上·吉林·期中）如圖，已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中.“果圓”與軸的交點分別為，與軸的交點分別為，點為半橢圓上一點（不與重合），若存在.，則半橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍【分析】解法一：利用參數(shù)方程，代入計算向量數(shù)量積得，再結(jié)合以及和的關(guān)系得到關(guān)于的齊次不等式，解出即可；方法二：利用橢圓上點的坐標(biāo)從而得到向量坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)表示數(shù)量積得到相應(yīng)等量關(guān)系，再由點的變化范圍得到相應(yīng)不等式，進(jìn)而求得取值范圍.【詳解】（解法1）設(shè)，因為，所以.，所以.因為，所以.因為，所以，即，解得.（解法2）設(shè)，因為，所以，所以.因為，所以.因為存在.，所以在上有解.因為，且，所以在上有解，即在上有解.因為，所以，即解得.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是采用設(shè)點法，再代入計算相關(guān)向量數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為在上有解，從而得到不等式組，解出即可.【變式15-2】（24-25高二上·浙江臺州·期中）數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）．給出下列三個結(jié)論：①曲線C關(guān)于直線對稱；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過2；③存在一個以原點為中心、邊長為的正方形，使曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）．其中，正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【知識點】由方程研究曲線的性質(zhì)、求兩曲線的交點、求平面兩點間的距離【分析】對于①，只需任取曲線上一點，證明點也在曲線上即可；對于②，在曲線的第一象限部分上任取點，利用基本不等式，推理得到，即可分析得到，再利用圖形對稱性即可判斷；對于③，聯(lián)立得四個交點，滿足條件的最小正方形是各邊以為中點，邊長為4的正方形，即得③錯誤.【詳解】對于①，設(shè)點是曲線上任一點，則有，易得也成立，即點也在曲線上，故曲線C關(guān)于直線對稱，①正確；對于②，不妨設(shè)點為曲線上的任一點，則，化簡得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，于是即得，故可得曲線C上任意一點到原點的距離都不超過2，故②正確；對于③，聯(lián)立，解得，從而可得四個交點坐標(biāo)分別為，依題意滿足條件的最小正方形是各邊以為中點，邊長為4的正方形（如圖），故不存在一個以原點為中心、邊長為的正方形，使曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界），即③錯誤.故選：A.【點睛】思路點睛：本題主要考查由曲線方程研究曲線的對稱性，考查了不等式知識和求曲線交點坐標(biāo)，屬于較難題.解題思路即是判斷最遠(yuǎn)距離點時，常在曲線上任取一點，計算距離，運(yùn)用基本不等式或函數(shù)的值域求出其最值；對于區(qū)域覆蓋問題，要結(jié)合圖形的對稱性，通過計算關(guān)鍵點，求得其面積再判斷.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·山東濟(jì)寧·期中）設(shè)分別為橢圓的兩個焦點，過且不與坐標(biāo)軸重合的直線橢圓于兩點，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】橢圓定義及辨析、橢圓中焦點三角形的周長問題【分析】根據(jù)條件，利用橢圓的定義，即可求解.【詳解】如圖，的周長為又橢圓，得到，所以的周長為，故選：B.2．（福建省龍巖市非一級達(dá)標(biāo)校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷）已知是雙曲線的右焦點，則點到的漸近線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】求點到直線的距離、求雙曲線的焦點坐標(biāo)、已知方程求雙曲線的漸近線【分析】根據(jù)題設(shè)寫出焦點坐標(biāo)、漸近線方程，應(yīng)用點線距離公式求距離.【詳解】由題設(shè)，漸近線為，則點到的漸近線的距離.故選：A3．（24-25高二上·廣東佛山·期中）已知是橢圓的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．3 B． C．4 D．【答案】C【知識點】求橢圓中的最值問題、橢圓中焦點三角形的其他問題【分析】設(shè)點，用焦半徑公式代入化簡成二次函數(shù)，求其最值即得.【詳解】由，可得，設(shè)點，則，于是，因，故當(dāng)時，取得最大值為4.故選：C.4．（2024·陜西商洛·一模）已知直線與拋物線交兩點，為坐標(biāo)原點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)、垂直關(guān)系的向量表示【分析】聯(lián)立拋物線與直線方程可得，，進(jìn)而可得，由可得，進(jìn)而可得的值.【詳解】如圖所示，設(shè)Ax1,y1，B則，解得且，，，所以，因為，所以，即，解得．故選：C.5．（24-25高二上·黑龍江雞西·期中）已知雙曲線C：分別為雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上一點.連接交雙曲線C左支于點，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率是（

）A． B．2 C． D．5【答案】A【知識點】利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題、求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍、余弦定理解三角形【分析】設(shè)，由雙曲線定義表達(dá)各邊，且，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到答案.【詳解】由題意得，設(shè)，因為是以為直角頂點的等腰直角三角形，故，由雙曲線定義知，，故，，其中，解得，則，，因為，所以，在中，由余弦定理得，解得，故雙曲線C的離心率為.故選：A6．（24-25高二上·廣西南寧·期中）已知拋物線，直線過拋物線的焦點，直線與拋物線交于A，B兩點，弦AB長為12，則直線的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【知識點】根據(jù)拋物線方程求焦點或準(zhǔn)線、與拋物線焦點弦有關(guān)的幾何性質(zhì)、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】設(shè)直線l的方程為，直曲聯(lián)立，由韋達(dá)定理表示弦長求出斜率即可；【詳解】根據(jù)題意可得拋物線的焦點，根據(jù)題意可得直線的斜率存在，（顯然當(dāng)斜率不存在時，不符合題意）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，得，所以，因為，解得，則直線l的方程為或.故選：B.7．（24-25高二上·河北石家莊·期中）如圖所示，點是拋物線的焦點，點分別在拋物線及圓的實線部分上運(yùn)動，且AB總是平行于軸，則的周長的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值【分析】過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的周長為，求出后可得所求的范圍.【詳解】過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的周長為，由可得，故，故的周長的取值范圍為，故選：D.8．（24-25高二上·安徽·階段練習(xí)）已知曲線，過上任意一點向軸引垂線，垂足為，則線段的中點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】軌跡問題——橢圓【分析】設(shè)，，，則，然后利用，得到點，然后代入即可求解.【詳解】設(shè)，，，則，由題意可知，即，將點代入，得，即故選：D.9．（24-25高二上·浙江·期中）已知雙曲線：，過點的直線與雙曲線交于，兩點.若點為線段的中點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】直