2024-2025學年高中數(shù)學第三章圓錐曲線與方程3.4.2-3.4.3圓錐曲線的共同特征直線與圓錐曲線的交點課時作業(yè)含解析北師大版選修2-1

PAGEPAGE1課時作業(yè)19圓錐曲線的共同特征直線與圓錐曲線的交點時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．下列命題是真命題的是(D)A．到兩定點距離之和為常數(shù)的點的軌跡是橢圓B．到定直線x＝eq\f(a2,c)和定點F(c,0)的距離之比為eq\f(c,a)(a>c>0)的點的軌跡是橢圓C．到定點F(－c,0)和定直線x＝－eq\f(a2,c)的距離之比為eq\f(c,a)(a>c>0)的點的軌跡是左半個橢圓D．到定直線x＝eq\f(a2,c)和定點F(c,0)的距離之比為eq\f(a,c)(a>c>0)的點的軌跡是橢圓解析：平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)(大于|F1F22．到定點(eq\r(7)，0)和定直線x＝eq\f(16\r(7),7)的距離之比為eq\f(\r(7),4)的動點的軌跡方程是(B)A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,8)－y2＝1 D．x2＋eq\f(y2,8)＝1解析：設(shè)P(x，y)是軌跡上的隨意一點，由題意，得eq\f(\r(x－\r(7)2＋y2),|x－\f(16\r(7),7)|)＝eq\f(\r(7),4)，化簡得eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1.3．已知雙曲線eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1的準線過橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的焦點，則b＝(C)A．3 B.eq\r(5)C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：雙曲線eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1的準線方程為x＝±1.又橢圓的焦點坐標為(±eq\r(4－b2)，0)，故eq\r(4－b2)＝1，則b＝eq\r(3).4．已知橢圓x2＋2y2＝4，則以(1,1)為中點的弦的長度為(C)A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C.eq\f(\r(30),3) D.eq\f(3,2)eq\r(6)解析：依題設(shè)弦端點A(x1，y1)、B(x2，y2)，則xeq\o\al(2,1)＋2yeq\o\al(2,1)＝4，xeq\o\al(2,2)＋2yeq\o\al(2,2)＝4，∴xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝－2(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))，∴此弦斜率k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,2y1＋y2)＝－eq\f(1,2)，∴此弦直線方程y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)，代入x2＋2y2＝4，整理得3x2－6x＋1＝0，∴x1·x2＝eq\f(1,3)，x1＋x2＝2.∴|AB|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)·eq\r(1＋k2)＝eq\r(4－4×\f(1,3))·eq\r(1＋\f(1,4))＝eq\f(\r(30),3).5．過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦點F作弦AB，若|AF|＝d1，|FB|＝d2，則eq\f(1,d1)＋eq\f(1,d2)的值為(B)A.eq\f(2b,a2) B.eq\f(2a,b2)C.eq\f(a＋b,b2) D．與AB的斜率有關(guān)解析：(特例法)弦AB垂直于x軸時，將x＝c代入橢圓方程得y＝±eq\f(b2,a)，此時d1＝d2＝eq\f(b2,a)，則eq\f(1,d1)＋eq\f(1,d2)＝eq\f(2a,b2).弦AB在x軸上時，d1＝a＋c，d2＝a－c，∴eq\f(1,d1)＋eq\f(1,d2)＝eq\f(1,a＋c)＋eq\f(1,a－c)＝eq\f(2a,a2－c2)＝eq\f(2a,b2).6．設(shè)經(jīng)過拋物線y＝ax2(a>0)的焦點F，且傾斜角為eq\f(π,6)的直線與拋物線在第一象限的交點為A，過A作x軸的垂線，垂足為B，若△ABF的面積為eq\f(3\r(3),4)，則實數(shù)a的值為(D)A．4 B．2C．1 D.eq\f(1,2)解析：設(shè)拋物線方程為x2＝2py(p>0)，由題意知∠FAB＝eq\f(π,3)，延長AB交準線于C，故△AFC是正三角形，又點F到準線的距離為p，知|FC|＝2p，△ABF的面積為eq\f(3\r(3),4)，即eq\f(1,2)×2p×eq\f(3,2)p×sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),4)，得p＝1，所以a＝eq\f(1,2).故選D.7．直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A、B兩點，若弦AB中點的橫坐標為2，則k＝(C)A．2或－1 B．－1C．2 D．3解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,y2＝8x))聯(lián)立消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.由韋達定理可得xA＋xB＝eq\f(4k＋2,k2).∵弦AB中點的橫坐標為2，∴2＝eq\f(2k＋2,k2).∴k＝2或k＝－1.∵直線與拋物線相交于A、B兩點，∴Δ＝16(k＋2)2－16k2>0.∴k>－1.∴k＝－1應(yīng)舍去．故選C.8．對于拋物線C：y2＝4x，我們稱滿意yeq\o\al(2,0)＜4x0的點M(x0，y0)在拋物線的內(nèi)部，若點M(x0，y0)在拋物線的內(nèi)部，則直線l：y0y＝2(x＋x0)與C(D)A．恰有一個公共點B．恰有兩個公共點C．可能有一個公點，也可能有兩個公共點D．沒有公共點解析：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0y＝2x＋x0，,y2＝4x，))整理得y2－2y0y＋4x0＝0.∵yeq\o\al(2,0)＜4x0，∴Δ＝4yeq\o\al(2,0)－16x0＜0，∴方程無解，即直線l與拋物線C無交點．二、填空題9．假如過兩點A(a,0)和B(0，a)的直線與拋物線y＝x2－2x－3沒有交點，那么實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(13,4))).解析：過A、B兩點的直線：x＋y＝a與拋物線y＝x2－2x－3聯(lián)立得：x2－x－a－3＝0.因為直線與拋物線沒有交點，故方程無解．即Δ＝1＋4(a＋3)＜0，解之得：a＜－eq\f(13,4).10．若F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A、B兩點．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為x2＋eq\f(3,2)y2＝1.解析：如圖，由題意，A點橫坐標為c，∴c2＋eq\f(y2,b2)＝1，又b2＋c2＝1，∴y2＝b4，∴|AF2|＝b2，又∵|AF1|＝3|BF1|，∴B點坐標為(－eq\f(5,3)c，－eq\f(1,3)b2)，代入橢圓方程得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)c2＋\f(－\f(1,3)b22,b2)＝1，,b2＝1－c2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c2＝\f(1,3)，,b2＝\f(2,3)，))∴方程為x2＋eq\f(3,2)y2＝1.11．如圖，已知橢圓的中心在原點，F(xiàn)是焦點，A為頂點，左準線l交x軸于點B，點P，Q在橢圓上，且PD⊥l于點D，QF⊥AO，則橢圓的離心率是：①eq\f(|PF|,|PD|)；②eq\f(|QF|,|BF|)；③eq\f(|AO|,|BO|)；④eq\f(|AF|,|AB|)；⑤eq\f(|FO|,|AO|).其中正確的個數(shù)是5.解析：依據(jù)橢圓的其次定義，可知①②④明顯正確；③中，|AO|＝a，|BO|＝eq\f(a2,c)，則eq\f(|AO|,|BO|)＝eq\f(c,a)＝e，③也正確；⑤中，|FO|＝c，|AO|＝a，明顯正確．三、解答題12．已知拋物線y2＝6x的弦AB經(jīng)過點P(4,2)，且OA⊥OB(O為坐標原點)，求弦AB的長．解：由A，B兩點在拋物線y2＝6x上，可設(shè)A(eq\f(y\o\al(2,1),6)，y1)，B(eq\f(y\o\al(2,2),6)，y2)．∵OA⊥OB，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0.由eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,1),6)，y1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,2),6)，y2)，得eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),36)＋y1y2＝0.∵y1y2≠0，∴y1y2＝－36①.∵點A，B與點P(4,2)在一條直線上，∴eq\f(y1－2,\f(y\o\al(2,1),6)－4)＝eq\f(y1－y2,\f(y\o\al(2,1),6)－\f(y\o\al(2,2),6))，化簡得eq\f(y1－2,y\o\al(2,1)－24)＝eq\f(1,y1＋y2)，即y1y2－2(y1＋y2)＝－24.將①代入，得y1＋y2＝－6②.由①和②，得y1＝－3－3eq\r(5)，y2＝－3＋3eq\r(5)，從而點A的坐標為(9＋3eq\r(5)，－3－3eq\r(5))，點B的坐標為(9－3eq\r(5)，－3＋3eq\r(5))．∴|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝6eq\r(10).13．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周長為16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝eq\f(3,5)，求橢圓E的離心率．解：(1)由|AF1|＝3|F1B|及|AB|＝4得|AF1|＝3，|F1B|＝1.又∵△ABF2的周長為16，∴由橢圓定義可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2∴|AF2|＝2a－|AF1(2)設(shè)|F1B|＝k，則k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k，由橢圓定義知：|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－eq\f(6,5)(2a－3k)(2a－k∴(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，∴a＝3k，于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2∴F2A⊥AB，F(xiàn)2A⊥AF∴△AF1F2是等腰直角三角形，從而c＝eq\f(\r(2),2)a，所以橢圓離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).——實力提升類——14．在拋物線y2＝4x上恒有兩點關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，則k的取值范圍為(－1,0)．解析：設(shè)拋物線y2＝4x上的B，C兩點關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，則直線BC的方程為x＝－ky＋m(k≠0)，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m＝0.設(shè)點B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中點M(x0，y0)，則y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝－2k，則x0＝2k2＋m.∵點M(x0，y0)在直線y＝kx＋3上，∴－2k＝k(2k2＋m)＋3.∴m＝－eq\f(2k3＋2k＋3,k).②又∵直線BC與拋物線交于不同的兩點，∴方程①中，Δ＝16k2＋16m把②式代入化簡，得eq\f(k3＋2k＋3,k)<0，即eq\f(k＋1k2－k＋3,k)<0，解得－1<k<0，即k的取值范圍是(－1,0)．15．設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點為F，離心率為eq\f(\r(3),3)，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為eq\f(4\r(3),3).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝8，求k的值．解：(1)設(shè)F(－c,0)，由eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，知a＝eq\r(3)c，過點F且與x軸垂直的直線為x＝－c，代入橢圓方程有eq\f(－c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq\f(\r(6)b,3)，于是eq\f(2\r(6)b,3)