2024-2025學年新教材高中數(shù)學第6章導數(shù)及其應用6.1導數(shù)6.1.1函數(shù)的平均變化率教案新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE1-6.1導數(shù)6.學習目標核心素養(yǎng)1.理解函數(shù)平均變更率的概念．(重點)2．會求函數(shù)的平均變更率．(難點、易混點)3．會利用平均變更率解決或說明生活中的一些實際問題．(難點)1.通過函數(shù)平均變更率的學習，培育數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．借助函數(shù)平均變更率的計算，提升數(shù)學運算素養(yǎng).某人走路的第1秒和第45秒的位移如圖所示：問題1：從A到B的位移是多少？從B到C的位移是多少？問題2：AB段與BC段哪一段的速度較快？1．函數(shù)的平均變更率一般地，若函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，則(1)自變量的變更量Δx＝x2－x1；(2)因變量的變更量Δy＝y(tǒng)2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))；思索：在平均變更率中，Δx，Δy，eq\f(Δy,Δx)是否可以為0？當平均變更率為0時，是否說明函數(shù)在該區(qū)間上肯定為常函數(shù)？[提示]在平均變更率中，Δx可正可負但Δx不行以為0；Δy可以為0；eq\f(Δy,Δx)可以為0.當eq\f(Δy,Δx)＝0時，并不能說明函數(shù)在該區(qū)間上肯定為常函數(shù)，如f(x)＝x2在區(qū)間[－2,2]上的平均變更率是0，但它不是常函數(shù)．拓展：函數(shù)平均變更率的幾何意義如圖所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變更率，就是直線AB的斜率，其中A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，事實上kAB＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(Δy,Δx).2．平均速度與平均變更率假如物體運動的位移xm與時間ts的關系為x＝h(t)，則物體在[t1，t2](t1<t2時)或[t2，t1](t2<t1時)這段時間內(nèi)的平均速度為eq\f(ht2－h(huán)t1,t2－t1)(m/s)．即物體在某段時間內(nèi)的平均速度等于x＝h(t)在該段時間內(nèi)的平均變更率．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)Δx表示x2－x1，是相對于x1的一個增量，Δx的值可正可負，但不行為零． ()(2)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可負，也可以為零． ()(3)eq\f(Δy,Δx)表示曲線y＝f(x)上兩點(x1，f(x1))，(x2，f(x2))連線的斜率． ()(4)物體在某段時間內(nèi)的平均速度為0，則物體始終處于靜止狀態(tài)． ()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×2.如圖，函數(shù)y＝f(x)在[1,3]上的平均變更率為()A．1 B．－1C．2 D．－2B[eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f3－f1,3－1)＝－1.]3．已知函數(shù)y＝f(x)＝x2＋1，則在x＝2，Δx＝0.1時，Δy的值為()A．0.40 B．0.41C．0.43 D．0.44B[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.]4．汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖像如圖所示．在時間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為eq\x\to(v)1，eq\x\to(v)2，eq\x\to(v)3，其三者的大小關系是________．eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1[∵eq\x\to(v)1＝eq\f(st1－st0,t1－t0)＝kMA，eq\x\to(v)2＝eq\f(st2－st1,t2－t1)＝kAB，eq\x\to(v)3＝eq\f(st3－st2,t3－t2)＝kBC，由圖像可知：kMA<kAB<kBC，∴eq\x\to(v)3>eq\x\to(v)2>eq\x\to(v)1.]求函數(shù)的平均變更率【例1】求y＝f(x)＝2x2＋1在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變更率，并求當x0＝1，Δx＝eq\f(1,2)時平均變更率的值．[解]∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－(2xeq\o\al(2,0)＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴函數(shù)f(x)＝2x2＋1在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變更率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4x0·Δx＋2Δx2,Δx)＝4x0＋2Δx，當x0＝1，Δx＝eq\f(1,2)時，平均變更率為4×1＋2×eq\f(1,2)＝5.求平均變更率可依據(jù)定義代入公式干脆求解，解題的關鍵是弄清自變量的增量Δx與函數(shù)值的增量Δy，求平均變更率的主要步驟是：eq\O([跟進訓練])1．假如函數(shù)y＝ax＋b在區(qū)間[1,2]上的平均變更率為3，則a＝()A．－3B．2C．3D．－2C[依據(jù)平均變更率的定義，可知eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2a＋b－a＋b,2－1)＝a＝3.]2．已知函數(shù)f(x)＝2x2－4的圖像上一點(1，－2)及旁邊一點(1＋Δx，－2＋Δy)，則eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2C[∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2(1＋Δx)2－4]－(－2)＝2(Δx)2＋4Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx2＋4Δx,Δx)＝4＋2Δx.]求物體運動的平均變更率【例2】跳水運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.(1)求運動員在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(65,49)))這段時間內(nèi)的平均速度；(2)運動員在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(65,49)))這段時間內(nèi)是靜止的嗎？(3)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題？[解](1)eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(h\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,49)))－h(huán)0,\f(65,49)－0)＝eq\f(－4.9×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,49)))2＋6.5×\f(65,49)＋10－10,\f(65,49)－0)＝0(m/s)，即運動員在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(65,49)))這段時間內(nèi)的平均速度是0m/s.(2)運動員在這段時間里明顯不是靜止的．(3)由上面的計算結(jié)果可以看出，平均速度并不能反映出運動員的運動狀態(tài)，特殊是當運動的方向變更時．1．平均速度反映運動物體的位移隨時間變更而變更的狀況．平均速度是運動物體在一個時間段里位移的變更量與這段時間的比值．2．運動物體在t0到t1這段時間內(nèi)運動的平均速度就是物體運動的位移函數(shù)s(t)在區(qū)間[t0，t1]上的平均變更率，因此求平均速度的實質(zhì)就是求函數(shù)的平均變更率．eq\O([跟進訓練])3．一個物體做直線運動，位移s(單位：m)與時間t(單位：s)之間的函數(shù)關系為s(t)＝5t2＋mt，且這一物體在2≤t≤3這段時間內(nèi)的平均速度為26m/s，則實數(shù)m的值為()A．2B．1C．－1D．6B[由已知，得eq\f(s3－s2,3－2)＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1，選B.]平均變更率的應用【例3】(1)A，B兩機關單位開展節(jié)能活動，活動起先后兩機關的用電量W1(t)，W2(t)與時間t(天)的關系如圖所示，則肯定有()A．兩機關單位節(jié)能效果一樣好B．A機關單位比B機關單位節(jié)能效果好C．A機關單位的用電量在[0，t0]上的平均變更率比B機關單位的用電量在[0，t0]上的平均變更率大D．A機關單位與B機關單位自節(jié)能以來用電量總是一樣大(2)巍巍泰山為我國的五岳之首，有“天下第一山”之美譽，登泰山在當?shù)赜小熬o十八，慢十八，不緊不慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受，下面是一段登山路途圖．同樣是登山，但是從A處到B處會感覺比較輕松，而從B處到C處會感覺比較吃力．想想看，為什么？你能用數(shù)學語言來量化AB段、BC段曲線的陡峭程度嗎？(1)B[(1)由題可知，A機關單位所對應的圖像比較陡峭，B機關單位所對應的圖像比較平緩，且用電量在[0，t0]上的平均變更率都小于0，故肯定有A機關單位比B機關單位節(jié)能效果好．故選B.](2)[解]山路從A到B高度的平均變更率為kAB＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(10－0,50－0)＝eq\f(1,5)，山路從B到C高度的平均變更率為kBC＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(20－10,70－50)＝eq\f(1,2)，∴kBC>kAB，∴山路從B到C比從A到B陡峭．函數(shù)的平均變更率eq\f(fx1－fx0,x1－x0)表示點x0，fx0與點x1，fx1連線的斜率，是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，其值可粗略地表示函數(shù)的變更趨勢.1當比較函數(shù)平均變更率的大小時，可以先將函數(shù)在每個自變量旁邊的平均變更率求出，然后進行大小的比較.2當識圖時，肯定要結(jié)合題意弄清圖形所反映的量之間的關系，圖像在點x0旁邊的圖像越“陡峭”，函數(shù)值變更就越快.eq\O([跟進訓練])4．已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)在函數(shù)y＝f(x)的圖像上，若函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變更率為eq\r(3)，則下面敘述正確的是()A．曲線y＝f(x)的割線AB的傾斜角為eq\f(π,6)B．曲線y＝f(x)的割線AB的傾斜角為eq\f(π,3)C．曲線y＝f(x)的割線AB的斜率為－eq\r(3)D．曲線y＝f(x)的割線AB的斜率為－eq\f(\r(3),3)B[函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變更率就是割線AB的斜率，所以kAB＝eq\r(3)，割線AB的傾斜角為eq\f(π,3)，選B.]5．已知函數(shù)f(x)＝3－x2，計算當x0＝1,2,3，Δx＝eq\f(1,3)時，平均變更率的值，并比較函數(shù)f(x)＝3－x2在哪一點旁邊的平均變更率最大？[解]函數(shù)f(x)＝3－x2在x0到x0＋Δx之間的平均變更率為eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\f([3－x0＋Δx2]－3－x\o\al(2,0),Δx)＝eq\f(－2x0·Δx－Δx2,Δx)＝－2x0－Δx.當x0＝1，Δx＝eq\f(1,3)時，平均變更率的值為－eq\f(7,3)，當x0＝2，Δx＝eq\f(1,3)時，平均變更率的值為－eq\f(13,3)，當x0＝3，Δx＝eq\f(1,3)時，平均變更率的值為－eq\f(19,3)，∵－eq\f(7,3)>－eq\f(13,3)>－eq\f(19,3)，∴函數(shù)f(x)＝3－x2在x0＝1旁邊的平均變更率最大.1．函數(shù)的平均變更率可正可負可為零，反映函數(shù)y＝f(x)在[x1，x2]上變更的快慢，變更快慢是由平均變更率的肯定值確定的，且肯定值越大，函數(shù)值變更得越快．2．函數(shù)平均變更率的幾何意義和物理意義．(1)幾何意義：平均變更率表示函數(shù)y＝f(x)圖像上割線P1P2的斜率，若P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))，則kP1P2＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(fx1＋Δx－fx1,Δx)；(2)物理意義：把位移s看成時間t的函數(shù)，平均變更率表示s＝s(t)在時間段[t1，t2]上的平均速度，即eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(st2－st1,t2－t1).1．某物體的運動規(guī)律是s＝s(t)，則該物體在t到t＋Δt這段時間內(nèi)的平均速度是()A.eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st＋Δt－st,Δt) B.eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(sΔt,Δt)C.eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(st,t) D.eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(st＋Δt－sΔt,Δt)A[由平均速度的定義可知，物體在t到t＋Δt這段時間內(nèi)的平均速度是其位移變更量與時間變更量的比．所以eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st＋Δt－st,Δt).]2．設函數(shù)y＝f(x)＝x2－1，當自變量x由1變?yōu)?.1時，函數(shù)的平均變更率為()A．2.1B．1.1C．2D．0A[eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1.1－f1,1.1－1)＝eq\f(0.21,0.1)＝2.1.]3.如圖所示，函數(shù)y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]這幾個區(qū)間內(nèi)，平均變更率最大的一個區(qū)間是________．[x3，x4][由平均變更率的定義可知，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均變更率分別為：eq\f(fx2－fx1,x2－x1)，eq\f(fx3－fx2,x3－x2)，eq\f(fx4－fx3,x4－x3)，結(jié)合圖像可以發(fā)覺函數(shù)y＝f(x)的平均變更率最大的一個區(qū)間是[x3，x4]．]4．函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變更率是2，則t＝________.5[因為函數(shù)f(x)＝x2－x在區(qū)間[－2，t]上的平均變更率是2，所以eq\f(ft－f－2,t－－2)＝eq\f(t2－t－[－22－－2],t＋2)＝2，即t2－t－6＝2t＋4，從而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．]5．蜥蜴的體溫與陽光的照耀有關，其關系為