人教A版（2019）高一數(shù)學(xué)必修第二冊-直線與平面垂直性質(zhì)及應(yīng)用-1教案

教案教學(xué)基本信息課題直線與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：高中年級(jí)高一教材書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月姓名單位設(shè)計(jì)者馬旭北京市順義牛欄山第一中學(xué)實(shí)施者馬旭北京市順義牛欄山第一中學(xué)指導(dǎo)者李淑敬、孫楓、趙賀北京市順義區(qū)教育研究和教師研修中心北京市順義牛欄山第一中學(xué)課件制作者馬旭北京市順義牛欄山第一中學(xué)其他參與者教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)本節(jié)課主要了解直線到平面的距離及兩個(gè)平行平面間的距離等概念；掌握線面垂直的性質(zhì)定理，能夠應(yīng)用性質(zhì)定理證明直線與直線平行；通過研究空間直線與平面的垂直關(guān)系，發(fā)展直觀想象、邏輯推理數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)置意圖引入平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行嗎？在空間中呢？在平面內(nèi)是平行的.在空間中不一定，可能是相交、平行或者異面的位置關(guān)系.那么空間中，垂直于同一平面的兩條直線平行嗎？類比平面內(nèi)垂直的性質(zhì)，探究空間垂直問題，引出本課主題.新課請同學(xué)們觀察下面兩個(gè)圖形：如圖，在長方體中，棱，，，所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間具有什么位置關(guān)系呢？是否平行呢？如圖，已知直線a，b和平面α.如果a⊥α，b⊥α，那么直線a與b一定平行嗎？直觀觀察，這兩個(gè)問題中的直線都是相互平行.不失一般性，我們以問題（2）為例加以證明.由于無法把兩條直線a，b歸入到一個(gè)平面內(nèi)，所以無法應(yīng)用平行直線的判定知識(shí)，也無法應(yīng)用基本事實(shí)4（即平行于同一條直線的兩條直線平行），在這種情況下我們采用一種特殊的證明方法，叫做“反證法”.證明：如圖，假設(shè)b與a不平行，且b∩α于點(diǎn)O.顯然點(diǎn)O不在直線a上，所以點(diǎn)O與直線a可以確定一個(gè)平面，在該平面內(nèi)過點(diǎn)O做直線，則直線與是相交于點(diǎn)O的兩條不同直線，所以直線與可以確定一個(gè)平面β.設(shè)αβ=c，則點(diǎn)O在直線c上.因?yàn)閍⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.又因?yàn)?，所?這樣在平面β內(nèi)，經(jīng)過直線c上同一點(diǎn)O就有兩條直線，與c垂直，這顯然不可能.所以假設(shè)不成立，因此b//a.證明完畢.上述證明過程就是反證法，它的基本證明流程是：首先假設(shè)命題不成立，然后推導(dǎo)出矛盾，說明假設(shè)不成立，進(jìn)而得出命題成立.反證法是間接論證的方法之一，也稱為“逆證”.它是一種有效的解釋方法，特別是在進(jìn)行正面的直接論證比較困難時(shí)，用反證法會(huì)收到更好的效果.同學(xué)們，你們還有不同的證明方法嗎？讓我們看一看，從另一個(gè)角度如何證明：方法2如圖，假設(shè)b與a不平行，且b∩α于點(diǎn)O，顯然點(diǎn)O不在直線a上，所以點(diǎn)O與直線a可以確定一個(gè)平面β，在β內(nèi)過點(diǎn)O做直線，則，因?yàn)閎⊥α，且直線與b相交于點(diǎn)O，這與過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條矛盾.所以假設(shè)不成立，因此b//a.證明完畢.通過問題（2）的證明，同學(xué)們，你能否總結(jié)一下，垂直于同一個(gè)平面的兩條直線，具有怎樣的位置關(guān)系呢？直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.同學(xué)們，你能用圖形語言和符號(hào)語言，表示定理的內(nèi)容嗎？圖形表示和符號(hào)表示：直線與平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們，可以由兩條直線與一個(gè)平面垂直，判定這兩條直線互相平行.它揭示了“平行”與“垂直”之間的內(nèi)在聯(lián)系.鞏固練習(xí)（一）：1、直線l1，l2互相平行的一個(gè)充分條件是（）（A）l1，l2都平行于同一個(gè)平面；（B）l1，l2與同一個(gè)平面所成的角相等；（C）l1，l2都垂直于同一個(gè)平面；（D）l1平行于l2所在的平面.2、兩條異面直線與同一平面所成的角，不可能是（）（A）兩個(gè)角均為銳角（B）一個(gè)角為0°，一個(gè)角為90°（C）兩個(gè)角均為0°（D）兩個(gè)角均為90°3、如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，且EF=PD，G，H分別為PC，DC中點(diǎn).求證：FG//平面ABCD.請同學(xué)們回憶一下，空間中直線與平面的位置關(guān)系有哪些呢？三種位置關(guān)系：直線在平面內(nèi)，直線與平面相交，直線與平面平行.思考：在的條件下，如果平面外的直線b與直線a垂直，你能得到什么結(jié)論呢？證明：因?yàn)橹本€b在平面α外，所以假設(shè)b與α相交.若b⊥α，因a⊥α，由線面垂直性質(zhì)定理，則有a//b，這與已知a⊥b矛盾；若b與α不垂直，設(shè)取直線b上一點(diǎn)P，作PO⊥α，垂足為O．連接AO，則有PO//a，且PO⊥AO．又因?yàn)閍⊥b，所以PO垂直b，顯然不成立.綜上，假設(shè)不成立，所以b//α.我們可以把結(jié)論這樣描述：已知a⊥α，若bα，且b⊥a，則b//α.這樣我們又得到一個(gè)判斷直線與平面平行的方法.如果平面與平面平行，你又能得到什么結(jié)論呢？證明：在平面α內(nèi)任取兩條相交直線m，n.∵α//β，∴m//β，n//β.由線面平行性質(zhì)，∴在平面β內(nèi)存在兩條相交直線，分別與m，n平行.∵a⊥α，∴a⊥m且a⊥n.∴.又是平面β內(nèi)兩條相交直線，∴a⊥β.我們可以把結(jié)論這樣描述：已知a⊥α，若β//α，則a⊥β.這樣我們又得到一個(gè)判斷直線與平面垂直的方法.上述兩個(gè)問題，不僅呈現(xiàn)出線面垂直的性質(zhì)，而且還體現(xiàn)了，“平行”與“垂直”之間可以進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，同學(xué)們要認(rèn)真思考，可以嘗試著提出更多的問題，發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論.借助簡單圖形直觀觀察，初步獲得“垂直于同一平面的兩條直線平行”的結(jié)論.證明直線與平面垂直性質(zhì)定理，同時(shí)引入“反證法”.不同角度證明性質(zhì)定理，發(fā)展學(xué)生直觀想象和推理論證能力.三種語言呈現(xiàn)性質(zhì)定理內(nèi)容，加深對定理的理解.通過練習(xí)掌握性質(zhì)定理，并應(yīng)用定理解決數(shù)學(xué)問題.復(fù)習(xí)直線與平面位置關(guān)系，為下面“思考”做鋪墊.探究在線面垂直條件下，可得到哪些結(jié)論.例題例題：如圖，直線l平行于平面α，求證：直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等.分析：要證明直線l上各點(diǎn)到平面的距離都相等，只需證明直線l上任意兩個(gè)點(diǎn)，到平面的距離相等，具體證明如下：證明：過直線l上任意兩點(diǎn)A，B分別作平面的垂線AA1，BB1，垂足分別為A1，B1.，，于是直線AA1，BB1確定一個(gè)平面.設(shè)直線AA1，BB1確定的平面為，所以四邊形AA1B1B是矩形.由A，B是直線l上任取的兩點(diǎn)，可知直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等.當(dāng)一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，直線上所有點(diǎn)到平面的距離都相等，此時(shí)，我們把這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離.當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.隨堂檢測：如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1.直線A1B1到平面ABCD的距離為多少？直線A1A到平面BCC1B1的距離為多少？直線CC1到平面BDD1B1的距離為多少？若E為A1B1中點(diǎn)，判斷直線A1C與平面BEC1是否平行，若平行，求出直線A1C到平面BEC1的距離；若不平行，請說明理由.通過這幾個(gè)題目，我們不難看出，在研究直線到平面的距離時(shí)，一般都轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到平面的距離.同學(xué)們在解題時(shí)要有這種轉(zhuǎn)化意識(shí).同學(xué)們請想一想，前面我們學(xué)習(xí)過棱柱、棱臺(tái)，在它們的體積公式中，哪個(gè)量代表著上、下底面間的距離呢？棱柱、棱臺(tái)的高是它們上、下底面間的距離.例題推導(dǎo)棱臺(tái)的體積公式:其中，S分別是棱臺(tái)的上、下底面面積，h是高.棱臺(tái)可看作由某個(gè)棱錐截得，所以我們先計(jì)算“截得棱臺(tái)的棱錐的體積”，再減“去掉的棱錐的體積”，進(jìn)而得到棱臺(tái)的體積.具體過程如下：如圖，延長棱臺(tái)各側(cè)棱交于點(diǎn)P，得到截得棱臺(tái)的棱錐.過點(diǎn)P作棱臺(tái)的下底面的垂線，分別與棱臺(tái)的上、下底面交于點(diǎn)則PO垂直于棱臺(tái)的上底面，從而同學(xué)們想一想，此處的PO與棱臺(tái)的上底面為什么是垂直的呢？由直線與平面垂直的性質(zhì)可知，PO垂直棱臺(tái)下底面，下底面又與上底面平行，所以PO垂直棱臺(tái)上底面.設(shè)截得棱臺(tái)的棱錐的體積為V，去掉的棱錐的體積為，高為，那么，由棱錐的體積公式可得，.所以棱臺(tái)體積為，整理化簡后得，記作①式.由棱臺(tái)的上、下底面平行，可以證明棱臺(tái)的上、下底面相似，并且上、下底面的面積比，等于兩個(gè)棱錐高的平方的比，由此可以整理得到將這一結(jié)果代入①式，并整理化簡，可得棱臺(tái)的體積公式：.公式推導(dǎo)完畢.應(yīng)用公式算一算：已知某棱臺(tái)的體積為14，上底面面積為1，下底面面積為4，則棱臺(tái)兩個(gè)底面間的距離為多少？鞏固練習(xí)（二）：已知直線a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，則b與α的位置關(guān)系是什么？2、已知A，B兩點(diǎn)在平面α的同側(cè)，且它們與α的距離相等，求證：直線AB//α.應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理或判定定理解題時(shí)，要注意前提條件是否完整；直線與直線垂直，直線與平面垂直要有意識(shí)地靈活轉(zhuǎn)化；要善于挖掘平行與垂直之間的內(nèi)在聯(lián)系.3、如圖，已知直線l與平面α，β，l⊥α且l⊥β，l與α、β分別交于點(diǎn)O、，求證：α//β.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：MN//AD1.證明直線與直線平行，常用的幾種方法：平行公理；線面平行性質(zhì)定理；線面垂直性質(zhì)定理；面面平行性質(zhì)定理；5、如圖，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，直線aβ，a⊥AB.求證：a//l.應(yīng)用線面垂直性質(zhì)定理解決數(shù)學(xué)問題，引出直線到平面的距離，平行平面之間的距離.鞏固對“直線到平面的距離”的理解，并能夠計(jì)算某個(gè)直線到某個(gè)平面的距離.以棱臺(tái)為實(shí)例，認(rèn)識(shí)平面間的距離，借助體積公式的推導(dǎo)過程，發(fā)展推理論證能力.加強(qiáng)線面垂直性質(zhì)的理解與應(yīng)用.在具體問題中，求解兩個(gè)平面間的距離.應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)定理解決數(shù)學(xué)問題.體現(xiàn)線面垂直性質(zhì)定理的作用，揭示“垂直”與“平行”之間存在聯(lián)系.總結(jié)小結(jié)：1、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.2、直線到平面的距離及平行平面間的距離兩個(gè)概念.希望同學(xué)們認(rèn)真體會(huì)“平行”與“垂直”之間的內(nèi)在聯(lián)系，靈活應(yīng)用性質(zhì)定理解決數(shù)學(xué)問題.梳理知識(shí)，點(diǎn)明主題作業(yè)作業(yè)1如圖，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=2DC，F(xiàn)是EB的中點(diǎn)，求證：DF//平面ABC.作業(yè)2我們已經(jīng)研究了空間直線與直線、直線與平