2024學年吉林市蛟河實驗高二數(shù)學（上）期末考試卷附答案解析

學年吉林市蛟河實驗高二數(shù)學（上）期末考試卷2025.01一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（5分）已知等差數(shù)列{an}滿足a6+a7+a8＝6，則a7等于（）A．1 B．2 C．4 D．82．（5分）直線5x+2y﹣1＝0的一個方向向量是（）A．（2，﹣5） B．（2，5） C．（﹣5，2） D．（5，2）3．（5分）若構(gòu)成空間的一個基底，則空間的另一個基底可能是（）A． B． C． D．4．（5分）拋物線的準線方程為（）A． B． C． D．5．（5分）已知x，y∈R，向量，，，且，（）A．﹣1 B．1 C．2 D．36．（5分）若圓C的圓心為（1，2），且被x軸截得弦長為4，則圓C的方程為（）A．x2+y2﹣2x﹣4y﹣3＝0 B．x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0 C．x2+y2﹣2x+4y﹣3＝0 D．x2+y2﹣2x+4y+1＝07．（5分）已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，則此數(shù)列的公比等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．28．（5分）雙曲線的上焦點F2到雙曲線一條漸近線的距離為，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個符合題意的選項，每選對一個得3分；若只有3個符合題意的選項，每選對一個得2分.）（多選）9．（6分）下列命題中錯誤的是（）A．若直線的傾斜角為鈍角，則其斜率一定為負數(shù) B．任何直線都存在斜率和傾斜角 C．直線的一般式方程為Ax+By+C＝0 D．任何一條直線至少要經(jīng)過兩個象限（多選）10．（6分）在同一平面直角坐標系中，直線mx﹣y+1＝0與圓x2+y2＝2的位置可能為（）A．B． C．D．（多選）11．（6分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點，則（）A．直線B1C與直線AF垂直 B．平面AEF截正方體所得的截面面積為 C．三棱錐F﹣ACE的體積為2 D．點A1與點G到平面AEF的距離相等三、填空題：（本大題共3小題，每小題10分，共15分.）12．（10分）已知雙曲線（其中a＞0）的右焦點為F（2，0），則a＝，W的離心率為．13．（5分）若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1+a2＝1，a3+a4＝4，則a9+a10＝．14．（5分）已知直線l與橢圓交于A，B兩點（2，1），則直線l的方程為．四、解答題：（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.）15．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足．（1）求a2，a3的值；（2）求數(shù)列{an}的通項公式．16．已知圓M：x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0．（1）求圓M的標準方程，并寫出圓M的圓心坐標和半徑；（2）若直線x+3y+C＝0與圓M交于A，B兩點，且，求C的值．17．如圖，正直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AB＝AA1，∠ABC＝90°，M是B1C1的中點，N是AC的中點．（1）證明：直線MN⊥直線BC：（2）求直線A1B與平面BCC1B1所成的角的大?。?8．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的一個頂點為A（2，0）．直線y＝x﹣1與橢圓C交于不同的兩點M，N．（1）求橢圓C的標準方程；（2）求線段MN的長度．19．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an+1（n∈N*）．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn；（3）若bn＝3n﹣1，令cn＝anbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．

2024-2025學年吉林省吉林市蛟河實驗中學高二（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析題號12345678答案BACCAADA一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．（5分）已知等差數(shù)列{an}滿足a6+a7+a8＝6，則a7等于（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解．【解答】解：等差數(shù)列{an}滿足a6+a7+a2＝6，∵a6+a6+a8＝3a6＝6，∴a7＝3．故選：B．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（5分）直線5x+2y﹣1＝0的一個方向向量是（）A．（2，﹣5） B．（2，5） C．（﹣5，2） D．（5，2）【分析】求出直線的斜率，結(jié)合選項，即可作答．【解答】解：直線的斜率k＝﹣，所以直線的一個方向向量，﹣），且λ，λ≠0都是直線的方向向量，當λ＝8時，方向向量為（2，由選項可得只有A選項正確．故選：A．【點評】本題考查直線的方向向量的求法，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）若構(gòu)成空間的一個基底，則空間的另一個基底可能是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量的基底和共面向量基本定理逐一判斷即可．【解答】解：對于A：因為由于，所以，，，所以不能構(gòu)成空間的另一個基底．對于B：由于，所以，，，所以不是空間的另一個基底．對于C：假設(shè)存在m，n，使得，則，無解是空間的另一個基底．對于D：因為，所以，，，所以不是空間的另一個基底．故選：C．【點評】本題考查的知識要點：向量的基底，共面向量基本定理，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．4．（5分）拋物線的準線方程為（）A． B． C． D．【分析】寫出拋物線的標準方程，求出準線方程．【解答】解：由題可得拋物線的標準方程為，所以拋物線的準線方程為．故選：C．【點評】本題主要考查拋物線的性質(zhì)應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）已知x，y∈R，向量，，，且，（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】由空間向量垂直和平行的坐標表示計算即可．【解答】解：因為，所以2x﹣2+3＝0?x＝0，又，，，所以設(shè)，即，解得y＝﹣1，所以x+y＝﹣1．故選：A．【點評】本題主要考查空間向量共線、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）若圓C的圓心為（1，2），且被x軸截得弦長為4，則圓C的方程為（）A．x2+y2﹣2x﹣4y﹣3＝0 B．x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0 C．x2+y2﹣2x+4y﹣3＝0 D．x2+y2﹣2x+4y+1＝0【分析】根據(jù)直線與圓相交的性質(zhì)，算出圓的半徑，可得圓的標準方程，然后化成標準方程，可得答案．【解答】解：因為點C（1，2）到x軸的距離d＝5，所以圓的半徑r滿足：r＝＝，圓的標準方程為（x﹣1）2+（y﹣3）2＝8，化成一般式，得x6+y2﹣2x﹣2y﹣3＝0．故選：A．【點評】本題主要考查圓的方程及其性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．7．（5分）已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，則此數(shù)列的公比等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【分析】由已知4a1，2a2，a3成等差數(shù)列可得4a2＝4a1+a3，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可求公比q的值．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，∴6a2＝4a3+a3，設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則a2＝a2q，a3＝a1q5，∴4a1q＝2a1+a1q3．∵a1≠0，∴8q﹣q2﹣4＝3，∴q＝2．故選：D．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，以及運算能力．屬基礎(chǔ)題．8．（5分）雙曲線的上焦點F2到雙曲線一條漸近線的距離為，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【分析】由點到直線的距離公式，結(jié)合a，c的關(guān)系，求得a，可得漸近線方程，進而得到所求之積．【解答】解：雙曲線的上焦點F6（0，c）（c＞0）到雙曲線一條漸近線y＝ax的距離為，可得＝，又1+a2＝c8，可得a＝2，即有漸近線方程為y＝±2x，則雙曲線兩條漸近線的斜率之積為﹣2．故選：A．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個符合題意的選項，每選對一個得3分；若只有3個符合題意的選項，每選對一個得2分.）（多選）9．（6分）下列命題中錯誤的是（）A．若直線的傾斜角為鈍角，則其斜率一定為負數(shù) B．任何直線都存在斜率和傾斜角 C．直線的一般式方程為Ax+By+C＝0 D．任何一條直線至少要經(jīng)過兩個象限【分析】利用直線傾斜角、斜率的意義判斷出AB的真假；利用直線一般式方程的條件判斷出C的真假；舉例說明判斷出D的真假．【解答】解：對于A，直線的傾斜角，A正確；對于B，傾斜角為，B錯誤；對于C，直線的一般式方程為Ax+By+C＝3，A2+B2≠8，C錯誤；對于D，當直線與x軸或y軸重合時，D錯誤．故選：BCD．【點評】本題考查直線的傾斜角與向量的關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（6分）在同一平面直角坐標系中，直線mx﹣y+1＝0與圓x2+y2＝2的位置可能為（）A．B． C．D．【分析】求出直線過的定點坐標，判斷定點在圓內(nèi)，可得結(jié)論．【解答】解：直線mx﹣y+1＝0恒過定點（2，1），又02+12＜8，∴點（02+y2＝2的內(nèi)部，又直線的斜率存在，故A，B．故選：ABD．【點評】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．（多選）11．（6分）正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點，則（）A．直線B1C與直線AF垂直 B．平面AEF截正方體所得的截面面積為 C．三棱錐F﹣ACE的體積為2 D．點A1與點G到平面AEF的距離相等【分析】利用反證法證明A錯誤；求出平面AEF截正方體所得的截面面積判斷B正確；求出三棱錐F﹣ACE的體積判斷C；證明面面平行判斷D．【解答】解：如圖，對于A，B1C⊥EF，假設(shè)直線B1C與直線AF垂直，∵EF∩AF＝F，∴B2C⊥平面AEF，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知1⊥AE，而BB1∩B2C＝B1，∴AE⊥平面BB1C8C，而AB⊥平面BB1C1C，過點A有兩直線AB、AE與平面BB5C1C垂直，與過一點與已知平面垂直的直線有且只有一條矛盾，故A錯誤；對于B，連接AD1，F(xiàn)D2，∵E，F(xiàn)分別是BC1的中點，∴面AEF截正方體所得的截面為梯形AEFD1，∴面AEF截正方體所得的截面面積為S＝?，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，取B1C6的中點H，連接A1H，GH，A1H∥AE，又A3H∩GH＝H，∴平面A1GH∥平面AEF，則點A1與點G到平面AEF的距離相等，故D正確．故選：BD．【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中檔題．三、填空題：（本大題共3小題，每小題10分，共15分.）12．（10分）已知雙曲線（其中a＞0）的右焦點為F（2，0），則a＝1，W的離心率為2．【分析】由a，b，c關(guān)系可得a，再由可求離心率．【解答】解：由題意可得雙曲線焦點在x軸上，且b2＝3，c＝4，則a2＝c2﹣b6＝4﹣3＝4，由a＞0得a＝1，故W的離心率．故答案為：5；2．【點評】本題考查雙曲線的幾何特征以及離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1+a2＝1，a3+a4＝4，則a9+a10＝256．【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解．【解答】解：數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1+a2＝3，a3+a4＝3，所以q2＝＝2，則a9+a10＝（a1+a3）q8＝256．故答案為：256．【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）已知直線l與橢圓交于A，B兩點（2，1），則直線l的方程為7x+8y﹣22＝0．【分析】點差法求出直線的斜率，點斜式得直線方程．【解答】解：設(shè)點A（x1，y1），B（x4，y2），點M（2，有，將A，B兩點代入橢圓方程，得，兩式作差得，整理得，則直線l的斜率為，則直線l的方程為，即2x+8y﹣22＝0，經(jīng)檢驗2x+8y﹣22＝0符合題意．故答案為：3x+8y﹣22＝0．【點評】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，重點考查了點差法及直線的點斜式方程，屬中檔題．四、解答題：（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.）15．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足．（1）求a2，a3的值；（2）求數(shù)列{an}的通項公式．【分析】（1）根據(jù)題中所給的條件，將n＝1，n＝2分別代入求得結(jié)果；（2）得出數(shù)列的相鄰兩項之間的遞推關(guān)系，驗證前兩項，從而得出數(shù)列為等比數(shù)列，從而寫出數(shù)列的通項公式．【解答】解：（1）已知，當n＝1時，可得a2+8S1+2＝2，解得a2＝4，當n＝7時，可得a3+3S8+2＝0，S2＝a1+a2＝3，解得a3＝﹣8．（2）當n≥2時，（an+1﹣an）+3（Sn﹣Sn﹣5）＝0，即（an+1﹣an）+6an＝0，an+1＝﹣4an（n≥2），又a2＝﹣2a1，所以an+1＝﹣7an，n∈N*，所以數(shù)列{an}是首項為﹣2，公比為﹣2的等比數(shù)列，所以．【點評】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．16．已知圓M：x2﹣2x+y2+4y﹣10＝0．（1）求圓M的標準方程，并寫出圓M的圓心坐標和半徑；（2）若直線x+3y+C＝0與圓M交于A，B兩點，且，求C的值．【分析】（1）配方得到圓的標準方程，得到圓心坐標和半徑；（2）由垂徑定理得到圓心到直線距離，從而根據(jù)點到直線距離公式得到方程，求出答案．【解答】解：（1）由x2﹣2x+y7+4y﹣10＝0，得x2﹣2x+1+y7+4y+4＝15，則圓M的標準方程為（x﹣3）2+（y+2）4＝15，圓M的圓心坐標M（1，﹣2）；（2）由，得圓心M到直線x+3y+C＝8的距離為，則圓心M到直線x+4y+C＝0的距離，得C＝15或﹣5．【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．17．如圖，正直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AB＝AA1，∠ABC＝90°，M是B1C1的中點，N是AC的中點．（1）證明：直線MN⊥直線BC：（2）求直線A1B與平面BCC1B1所成的角的大?。痉治觥浚?）取BC的中點O，連接ON，OM，由題意可得ON∥AB，OM∥BB1，可證得BC⊥平面MON，進而可證得結(jié)論；（2）由題意可證得∠A1BB1為直線A1B與平面BCC1B1所成的角，求出它的正切值，進而求出它的角的大?。窘獯稹孔C明：（1）取BC的中點O，連接ON，OM，因為N，M的中點，OM∥BB1，又因為直棱柱中，∠ABC＝90°，OM⊥BC，所以BC⊥平面MON，而OM?平面MON，所以BC⊥MN；（2）因為BB1⊥平面A6B1C1，A4B1?平面A1B8C1，可得A1B6⊥BB1，∠A1B7C1＝90°，BB1∩B6C1＝B1，所以A5B1⊥平面BCC1B8，所以∠A1BB1為直線A5B與平面BCC1B1所成的角，且∠A3BB1∈[0，]，所以tan∠A1BB1＝＝4，所以∠A1BB1＝45°．【點評】本題考查線線垂直的證法及線面角的求法，屬于中檔題．18．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的一個頂點為A（2，0）．直線y＝x﹣1與橢圓C交于不同的兩點M，N．（1）求橢圓C的標準方程；（2）求線段MN的長度．【分析】（1）由已知橢圓的一個頂點，離心率列出方程組，解得b的值，則橢圓C的標準方程可求；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，得到關(guān)于x的一元二