2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第十二章坐標(biāo)系與參數(shù)方程不等式選講不等式的證明理

PAGEPAGE1不等式的證明不等式的證明方法：作差比較法(1)作差比較法的理論依據(jù)：a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b.(2)作差比較法解題的一般步驟：①作差；②變形整理；③判定符號(hào)；④得出結(jié)論．其中變形整理是解題的關(guān)鍵，變形整理的目的是為了能夠干脆判定與0的大小關(guān)系，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．作商比較法(1)作商比較法：若a＞0，b＞0，要證明a＞b，只要證明eq\f(a,b)＞1；要證明b＞a，只要證明eq\f(a,b)＜1.這種證明不等式的方法，叫做作商比較法．(2)作商比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：①b＞0，若eq\f(a,b)＞1，則a＞b；若eq\f(a,b)＜1，則a＜b；②b＜0，若eq\f(a,b)＞1，則a＜b；若eq\f(a,b)＜1，則a＞b.(3)作商比較法解題的一般步驟：①判定a，b符號(hào)；②作商；③變形整理；④判定與1的大小關(guān)系；⑤得出結(jié)論.(1)綜合法①定義：一般地，從已知條件動(dòng)身，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法，綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чǎ谔攸c(diǎn)：由因?qū)Ч?，即從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．③證明的框圖表示用P表示已知條件或已有定義、定理、公理等，用Q表示所要證明的不等式，則綜合法可用框圖表示為eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)(2)分析法①定義：證明命題時(shí)，經(jīng)常從要證的結(jié)論動(dòng)身，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法．這是一種“執(zhí)果索因”的思索和證明方法．②特點(diǎn)：執(zhí)果索因，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”．③證明過程的框圖表示用Q表示要證明的不等式，則分析法可用框圖表示為eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P2?P3)→…→eq\x(得到一個(gè)明顯成立的條件)反證法(1)反證法的定義：先假設(shè)要證明的命題不成立，以此為動(dòng)身點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)沖突的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立．(2)反證法證明不等式的一般步驟：①假設(shè)命題不成立；②依據(jù)假設(shè)推理論證；③推出沖突以說明假設(shè)不成立，從而斷定原命題成立．放縮法(1)放縮法證明的定義證明不等式時(shí)，通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的．這種方法稱為放縮法．(2)放縮法的理論依據(jù)①不等式的傳遞性．②等量加(減)不等量為不等量．③同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較．基本不等式(1)定理1：假如a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立)．(2)定理2：假如a，b＞0，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立)．(3)引理：若a，b，c∈R＋，則a3＋b3＋c3≥3abc(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立)．(4)定理3：假如a，b，c∈R＋，那么eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立)．(5)推論：若a1，a2，…，an∈R＋，則eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an).當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)，等號(hào)成立；二維形式的柯西不等式(1)二維形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(2)柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則|α·β|≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使α＝kβ時(shí)，等號(hào)成立．(3)二維形式的三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2∈R，那么eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))＋eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))≥eq\r(x1－x22＋y1－y22).一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立．排序不等式設(shè)a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實(shí)數(shù)，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，則a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.數(shù)學(xué)歸納法：一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的全部正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：①證明當(dāng)n＝n0時(shí)命題成立；②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立．在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的全部正整數(shù)都成立．這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．1．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)，，，，．（1）證明：；（2）用，，表示，，的最大值，證明：，，．【解析】（1），，，，，，，均不為0，，；（2）不妨設(shè)，則，，，而，與假設(shè)沖突，故，，．2．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)，，，，．（1）證明：；（2）用，，表示，，中的最大值，證明：，，．【解析】（1），，，，，，，均不為0，，；（2）不妨設(shè)，則，，，而，與假設(shè)沖突，故，，．3．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)，，，且．（1）求的最小值；（2）若成立，證明：或．【解析】（1），，，且，由柯西不等式可得，可得，即有的最小值為；（2）證明：由，柯西不等式可得，可得，即有的最小值為，由題意可得，解得或．4．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知，，為正數(shù)，且滿意．證明：（1）；（2）．【解析】（1）分析法：已知，，為正數(shù)，且滿意．要證（1）；因?yàn)椋鸵C：；即證：；即：；；，，為正數(shù)，且滿意．；；恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)：時(shí)取等號(hào)．即得證．故得證．（2）證成立；即：已知，，為正數(shù)，且滿意．為正數(shù)；為正數(shù)；為正數(shù)；；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；即：時(shí)取等號(hào)；，，為正數(shù)，且滿意．；；；當(dāng)且僅當(dāng)，；時(shí)取等號(hào)；即：時(shí)取等號(hào)；；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；故．得證．故得證．5．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知，，．證明：（1）；（2）．【解析】（1）由柯西不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，（2），，，，，由均值不等式可得：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．1．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)，，，，．（1）證明：；（2）用，，表示，，的最大值，證明：，，．【解析】（1），，，，，，，均不為0，，；（2）不妨設(shè)，則，，，而，與假設(shè)沖突，故，，．2．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)，，，，．（1）證明：；（2）用，，表示，，中的最大值，證明：，，．【解析】（1），，，，，，，均不為0，，；（2）不妨設(shè)，則，，，而，與假設(shè)沖突，故，，．3．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)，，，且．（1）求的最小值；（2）若成立，證明：或．【解析】（1），，，且，由柯西不等式可得，可得，即有的最小值為；（2）證明：由，柯西不等式可得，可得，即有的最小值為，由題意可得，解得或．4．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知，，為正數(shù)，且滿意．證明：（1）；（2）．【解析】（1）分析法：已知，，為正數(shù)，且滿意．要證（1）；因?yàn)椋鸵C：；即證：；即：；；，，為正數(shù)，且滿意．；；恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)：時(shí)取等號(hào)．即得證．故得證．（2）證成立；即：已知，，為正數(shù)，