2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章三角函數(shù)5.6.2函數(shù)y=Asinωxφ二課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版必修第一冊

PAGE13-函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(二)(15分鐘30分)1.函數(shù)y=sinQUOTE在區(qū)間QUOTE上的簡圖是 ()【解析】選A.當x=0時，y=sinQUOTE=-QUOTE<0，解除B、D.當x=QUOTE時，sinQUOTE=sin0=0，解除C.2.下列函數(shù)中，圖象關(guān)于直線x=QUOTE對稱的是()A.y=sinQUOTE B.y=sinQUOTEC.y=sinQUOTE D.y=sinQUOTE【解析】選B.當x=QUOTE時，僅有選項B中的函數(shù)y=sinQUOTE取得最值，故函數(shù)y=sin2x-QUOTE的圖象關(guān)于直線x=QUOTE對稱.3.將函數(shù)f(x)=2cosQUOTE圖象上全部點的橫坐標縮短到原來的QUOTE(縱坐標不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則函數(shù)y=g(x)的圖象的一個對稱中心是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由題意g(x)=2cosQUOTE，令2x+QUOTE=QUOTE+kπ，k∈Z，解得x=QUOTE+QUOTE，k∈Z，當k=1時，x=QUOTE，故函數(shù)y=g(x)的圖象的一個對稱中心是QUOTE.4.y=2sinQUOTE的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是_______.

【解析】由函數(shù)圖象知兩條相鄰對稱軸之間的距離為半個周期，即QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE5.已知曲線y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)上的一個最高點的坐標為QUOTE，此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點QUOTE，且φ∈QUOTE.(1)試求這條曲線的函數(shù)解析式；(2)用“五點法”畫出(1)中函數(shù)在QUOTE上的圖象.【解析】(1)由題意知A=QUOTE，T=4×QUOTE=π，ω=QUOTE=2，所以y=QUOTEsin(2x+φ).又因為sinQUOTE=1，所以QUOTE+φ=2kπ+QUOTE，k∈Z，所以φ=2kπ+QUOTE，k∈Z，又因為φ∈QUOTE，所以φ=QUOTE，所以y=QUOTEsinQUOTE.(2)列出x，y的對應(yīng)值表：x-QUOTEQUOTEπQUOTEπQUOTEπ2x+QUOTE0πQUOTEπ2πy00-QUOTE0描點、連線，如圖所示：(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1.函數(shù)y=8sinQUOTE取最大值時，自變量x的取值集合是 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選B.因為y的最大值為8，此時sinQUOTE=1，即6x+QUOTE=2kπ+QUOTE(k∈Z)，所以x=QUOTE+QUOTE(k∈Z).2.若將函數(shù)y=sinQUOTE的圖象上的各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向右平移QUOTE個單位，則所得函數(shù)g(x)圖象的一個對稱中心為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.將y=sinQUOTE的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，可以得到y(tǒng)=sinQUOTE=sinQUOTE的圖象，再向右平移QUOTE個單位可以得到y(tǒng)=sinQUOTE=sinQUOTE的圖象，因此g(x)=sinQUOTE，將各選項中的橫坐標代入，只有當x=QUOTE時，gQUOTE=sin0=0.3.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)QUOTE的部分圖象如圖所示，則φ= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由題圖可知A=2，T=4×QUOTE=π，故ω=2，又fQUOTE=2，所以2×QUOTE+φ=QUOTE+2kπ(k∈Z)，故φ=2kπ+QUOTE，又|φ|<QUOTE，所以φ=QUOTE.【補償訓練】同時具有性質(zhì)“①最小正周期是π；②圖象關(guān)于直線x=QUOTE對稱；③在QUOTE上單調(diào)遞增”的一個函數(shù)是 ()A.y=sinQUOTEB.y=cosQUOTEC.y=sinQUOTED.y=cosQUOTE【解析】選C.由①知T=π=QUOTE，ω=2，解除A.由②③知x=QUOTE時，f(x)取最大值，驗證知只有C符合要求.4.設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0).若f(x)在區(qū)間QUOTE上具有單調(diào)性，且fQUOTE=fQUOTE=-fQUOTE，則f(x)的最小正周期為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.π D.QUOTE【解析】選C.因為fQUOTE=fQUOTE，所以x=QUOTE=QUOTE為函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸.因為fQUOTE=-fQUOTE，f(x)在區(qū)間QUOTE上具有單調(diào)性，所以x=QUOTE-QUOTE=QUOTE為f(x)圖象的一條對稱軸，且與x=QUOTE相鄰，故函數(shù)f(x)的最小正周期T=2×QUOTE=π.【誤區(qū)警示】留意fQUOTE=fQUOTE=-fQUOTE，不要理解成了fQUOTE=fQUOTE=fQUOTE.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5.函數(shù)y=QUOTEsinQUOTE的圖象的對稱軸是 ()A.x=QUOTE B.x=-QUOTEC.x=QUOTE D.x=-QUOTE【解析】選BCD.由x-QUOTE=kπ+QUOTE，k∈Z，解得x=kπ+QUOTE，k∈Z，當k=-1時，x=-QUOTE；當k=0時，x=QUOTE；當k=-2時，x=-QUOTE.【光速解題】函數(shù)在對稱軸處取得最值，將選擇項逐項代入驗證即可.6.如圖是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0，|φ|<QUOTE的部分圖象，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移QUOTE個單位長度得到g(x)的圖象，給出下列四個說法中正確的有 ()A.函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2sinQUOTEB.g(x)的一條對稱軸的方程可以為x=-QUOTEC.對于實數(shù)m，恒有fQUOTE=fQUOTED.f(x)+g(x)的最大值為2【解析】選AB.由圖象知，A=2，QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE，即T=π，則QUOTE=π，得ω=2，依據(jù)題意，由五點對應(yīng)法得2×QUOTE+φ=2π，φ=QUOTE，則f(x)=2sinQUOTE，故A正確，當x=QUOTE時，fQUOTE=2sinπ=0，則函數(shù)關(guān)于x=QUOTE不對稱，故C錯誤，將函數(shù)f(x)的圖象向右平移QUOTE個單位長度得到g(x)的圖象，即g(x)=2sinQUOTE=2sin2x，當x=-QUOTE時，gQUOTE=2sinQUOTE=-2為最小值，則x=-QUOTE是函數(shù)g(x)的一條對稱軸，故B正確，f(x)+g(x)=2sinQUOTE+2sin2x=2sin2xcosQUOTE+2cos2xsinQUOTE+2sin2x=3sin2x+QUOTEcos2x=2QUOTEsinQUOTE，則f(x)+g(x)的最大值為2QUOTE，故D錯誤.三、填空題(每小題5分，共10分)7.某同學利用描點法畫函數(shù)y=Asin(ωx+φ)QUOTE的圖象，列出的部分數(shù)據(jù)如表：x01234y101-1-2經(jīng)檢查，發(fā)覺表格中恰有一組數(shù)據(jù)計算錯誤，請你依據(jù)上述信息推斷函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式應(yīng)是_______.

【解題指南】畫出題表所列點的散點圖，解除錯誤數(shù)據(jù)，依據(jù)正確數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式.【解析】在平面直角坐標系中描出這五個點，如圖所示.依據(jù)函數(shù)圖象的大致走勢，可知點(1，0)不符合題意；又因為0<A≤2，函數(shù)圖象過(4，-2)，所以A=2.因為函數(shù)圖象過(0，1)，所以2sinφ=1，又因為-QUOTE<φ<QUOTE，所以φ=QUOTE，由(0，1)，(2，1)關(guān)于直線x=1對稱，知x=1時函數(shù)取得最大值2，因此函數(shù)的最小正周期為6.所以ω=QUOTE.答案：y=2sinQUOTE【補償訓練】已知函數(shù)y=2sin(ωx+φ)QUOTE在一個周期內(nèi)，當x=QUOTE時有最大值2，當x=QUOTE時有最小值-2，則ω=_______，φ=_______.

【解析】由題意知，T=2×QUOTE=π，所以ω=QUOTE=2；又因為當x=QUOTE時有最大值2.所以fQUOTE=2sinQUOTE=2sinQUOTE=2，所以QUOTE+φ=QUOTE+2kπ，k∈Z，又|φ|≤QUOTE，所以φ=QUOTE.答案：2QUOTE8.當-QUOTE≤x≤QUOTE時，函數(shù)f(x)=QUOTEsinQUOTE的最大值是_______，最小值是_______.

【解析】因為-QUOTE≤x≤QUOTE，所以-QUOTE≤x+QUOTE≤QUOTEπ.因為當x+QUOTE=-QUOTE，即x=-QUOTE時，f(x)min=-QUOTE，當x+QUOTE=QUOTE，即x=QUOTE時，f(x)max=QUOTE.答案：QUOTE-QUOTE四、解答題(每小題10分，共20分)9.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0，-QUOTE<φ<QUOTE一個周期的圖象如圖所示，(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；(2)求函數(shù)f(x)的解析式、單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】(1)由題圖知，函數(shù)f(x)的最小正周期為T=4×QUOTE=π，函數(shù)的最大值為1，最小值為-1.(2)T=QUOTE，則ω=2，又x=-QUOTE時，y=0，所以sinQUOTE=0，而-QUOTE<φ<QUOTE，則φ=QUOTE，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=sinQUOTE，由2kπ-QUOTE≤2x+QUOTE≤2kπ+QUOTE，k∈Z，得kπ-QUOTE≤x≤kπ+QUOTE，k∈Z，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE，k∈Z.10.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π).(1)若函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)為偶函數(shù)，求φ的值；(2)若函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)關(guān)于x=QUOTE對稱，求出φ的值及f(x)的對稱軸方程及對稱中心.【解析】(1)因為f(x)為偶函數(shù)，所以φ=kπ+QUOTE，k∈Z，又φ∈(0，π)，所以φ=QUOTE.(2)因為f(x)=sin(2x+φ)關(guān)于x=QUOTE對稱，所以f(0)=fQUOTE，即sinφ=sinQUOTE=cosφ，所以tanφ=1，φ=kπ+QUOTE(k∈Z).又φ∈(0，π)，所以φ=QUOTE，所以f(x)=sinQUOTE.由2x+QUOTE=kπ+QUOTE(k∈Z)，得x=QUOTE+QUOTE(k∈Z)，由2x+QUOTE=kπ，得x=QUOTE-QUOTE(k∈Z)，所以f(x)的對稱軸方程為x=QUOTE+QUOTE(k∈Z)，對稱中心為QUOTE(k∈Z).1.已知函數(shù)f(x)=|Acos(x+φ)+1|A>0，|φ|<QUOTE的部分圖象如圖所示，則()A.A=2，φ=QUOTE B.A=3，φ=QUOTEC.A=2，φ=QUOTE D.A=3，φ=QUOTE【解析】選C.由題圖知：A=QUOTE=2，又f(0)=|2cosφ+1|=2，所以cosφ=QUOTE或cosφ=-QUOTE(舍)，因為|φ|<