河南鄭州市金水區(qū)2020-2021學(xué)年八下期中試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年河南省鄭州市金水區(qū)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．下列圖形中，屬于中心對稱圖形的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案．解：左起第一、三個圖形是中心對稱圖形，第二、四個圖形不是中心對稱圖形．故選：B．2．一個等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則它的周長為（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【分析】由于未說明兩邊哪個是腰哪個是底，故需分：（1）當?shù)妊切蔚难鼮?；（2）當?shù)妊切蔚难鼮?；兩種情況討論，從而得到其周長．解：①當?shù)妊切蔚难鼮?，底為7時，3+3＜7不能構(gòu)成三角形；②當?shù)妊切蔚难鼮?，底為3時，周長為3+7+7＝17．故這個等腰三角形的周長是17．故選：A．3．若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）A．m+3＞n+3 B．﹣3m＜﹣3n C．＞ D．m2＞n2【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，可得答案．解：A、不等式的兩邊都加3，不等號的方向不變，故A正確，不符合題意；B、不等式的兩邊都乘以﹣3，不等號的方向改變，故B正確，不符合題意；C、不等式的兩邊都除以3，不等號的方向不變，故C正確，不符合題意；D、如m＝2，n＝﹣3，m＞n，m2＜n2；故D錯誤，符合題意；故選：D．4．不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】首先解每個不等式，然后把每個不等式用數(shù)軸表示即可．解：，解①得x≥1，解②得x＜2，利用數(shù)軸表示為：．故選：B．5．三名同學(xué)分別站在一個三角形三個頂點的位置上，他們在玩搶凳子的游戲，要求在他們中間放一個凳子，搶到凳子者獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最適當?shù)奈恢迷谌切蔚模ǎ〢．三條角平分線的交點 B．三邊中線的交點 C．三邊上高所在直線的交點 D．三邊的垂直平分線的交點【分析】根據(jù)三角形三邊中垂線的交點到三個頂點的距離相等可得答案．解：∵三角形三邊中垂線的交點到三個頂點的距離相等，∴為使游戲公平，凳子應(yīng)放的最適當?shù)奈恢迷谌切蔚娜叺拇怪逼椒志€的交點，故選：D．6．下列命題中，錯誤的是（）A．三角形兩邊之和大于第三邊 B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等 C．三角形的一條中線能將三角形面積分成相等的兩部分 D．等邊三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形【分析】利用三角形的三邊關(guān)系、角平分線的性質(zhì)、三角形的中線的性質(zhì)及等邊三角形的對稱性分別判斷后即可確定正確的選項．解：A、三角形的兩邊之和大于第三邊，正確，不符合題意；B、角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，正確，不符合題意；C、三角形的一條中線能將三角形的面積分成相等的兩部分，正確，不符合題意；D、等邊三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故原命題錯誤，符合題意，故選：D．7．如圖，A，B，C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處，若將△ACB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則C′點的坐標為（）A．（1，） B．（1，） C．（1，1+） D．（1，3﹣）【分析】根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)，利用勾股定理可以得到AC的長，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可得到點C′的坐標．解：由圖可得，AC＝＝，∵將△ACB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，∴AC′＝AC＝，∴C′點的坐標為（1，1+），故選：C．8．如圖，兩個直角三角形重疊在一起，將其中一個三角形沿著點B到點C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距離為4，求陰影部分的面積為（）A．20 B．24 C．25 D．26【分析】由S△ABC＝S△DEF，推出S四邊形ABEH＝S陰即可解決問題；解：∵平移距離為4，∴BE＝4，∵AB＝8，DH＝3，∴EH＝8﹣3＝5，∵S△ABC＝S△DEF，∴S四邊形ABEH＝S陰∴陰影部分的面積為＝×（8+5）×4＝26故選：D．9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分別以點A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧交于點E，作射線BE交AD于點F，交AC于點O．若點O是AC的中點，則CD的長為（）A．2 B．4 C．3 D．【分析】連接FC，根據(jù)基本作圖，可得OE垂直平分AC，由垂直平分線的性質(zhì)得出AF＝FC．再根據(jù)ASA證明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代換得到FC＝AF＝3，利用線段的和差關(guān)系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的長．解：如圖，連接FC，則OE垂直平分AC，則AF＝FC．∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠BCO．在△FOA與△BOC中，，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF＝BC＝3，∴FC＝AF＝3，F(xiàn)D＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．在△FDC中，∵∠D＝90°，∴CD2+DF2＝FC2，∴CD2+12＝32，∴CD＝2．故選：A．10．如圖，在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，連接BD和CE相交于點P，交AC于點M，交AD與點N．則下列結(jié)論：①BD＝CE：②∠BPE＝180°﹣2α；③AP平分∠BPE；④若α＝60°，則PE＝AP+PD．一定正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【分析】由“SAS”可證△BAD≌△CAE，可得BD＝CE；由全等三角形的性質(zhì)可得∠ABD＝∠ACE，由外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠BPE＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣α；由全等三角形的性質(zhì)可得S△BAD＝S△CAE，由三角形面積公式可得AH＝AF，由角平分線的性質(zhì)可得AP平分∠BPE；由全等三角形的性質(zhì)可得∠BDA＝∠CEA，由“SAS”可證△AOE≌△APD，由全等三角形的性質(zhì)得出AO＝AP，證明△APO是等邊三角形，可得AP＝PO，可得PE＝AP+PD，即可求解．解：∵∠BAC＝∠DAE＝α，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，故①正確；∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∵∠BPE＝∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ACB+∠ACP＝∠PBC+∠ACB+∠ABP，∴∠BPE＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣α，故②錯誤；如圖，過點A作AH⊥BD，AF⊥CE，∵△BAD≌△CAE，∴S△BAD＝S△CAE，∴BD×AH＝CE×AF，且BD＝CE，∴AH＝AF，且AH⊥BD，AF⊥CE，∴AP平分∠BPE，故③正確；如圖，在線段PE上截取OE＝PD，連接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA＝∠CEA，且OE＝PD，AE＝AD，∴△AOE≌△APD（SAS），∴AP＝AO，∵∠BPE＝180°﹣α＝120°，且AP平分∠BPE，∴∠APO＝60°，且AP＝AO，∴△APO是等邊三角形，∴AP＝PO，∵PE＝PO+OE，∴PE＝AP+PD，故④正確．故選：C．二、填空題（共5小題，每小題3分，共15分）11．如圖，在x軸，y軸上分別截取OA，OB，使OA＝OB，再分別以點A，B為圓心，以大于AB長為半徑畫弧，兩弧交于點P．若點P的坐標為（a，2a﹣3），則a的值為3．【分析】根據(jù)作圖方法可知點P在∠BOA的角平分線上，由角平分線的性質(zhì)可知點P到x軸和y軸的距離相等，結(jié)合點P在第一象限，可得關(guān)于a的方程，求解即可．解：∵OA＝OB，分別以點A，B為圓心，以大于AB長為半徑畫弧，兩弧交于點P，∴點P在∠BOA的角平分線上，∴點P到x軸和y軸的距離相等，又∵點P在第一象限，點P的坐標為（a，2a﹣3），∴a＝2a﹣3，∴a＝3．故答案為：3．12．如圖，在△ABC中，AB＝5cm，AC＝3cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF∥BC，且EF過點D，則△AEF的周長是8cm．【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，以及根據(jù)角平分線性質(zhì)，可得△FDC、△EDB均為等腰三角形，由此把△AEF的周長轉(zhuǎn)化為AC+AB．解：∵EF∥BC，∴∠DBC＝∠BDE，∠DCB＝∠CDF∵BD、CD分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠DBC＝∠DBE＝∠BDE，∠FCD＝∠DCB＝∠CDF，∴DE＝BE，DF＝CF，∴△AEF的周長＝AF+FE+AE＝AF+DF+DE+AE＝AF+CF+BE+AE＝AB+AC，∵AB＝5cm，AC＝3cm，∴△AEF的周長＝8cm，故答案為：8cm．13．如果不等式組無解，則a的取值范圍是a≤1．【分析】根據(jù)不等式組解集的定義可知，不等式x﹣1＞0的解集與不等式x﹣a＜0的解集無公共部分，從而可得一個關(guān)于a的不等式，求出此不等式的解集，即可得出a的取值范圍．解：解不等式x﹣1＞0，得x＞1，解不等式x﹣a＜0，x＜a．∵不等式組無解，∴a≤1．故答案為：a≤1．14．對于實數(shù)a，b，定義符號min{a，b}，其意義為：當a≥b時，min{a，b}＝b；當a＜b時，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若關(guān)于x的函數(shù)y＝min{2x﹣1，﹣x+3}，則該函數(shù)的最大值為．【分析】根據(jù)定義先列不等式：2x﹣1≥﹣x+3和2x﹣1≤﹣x+3，確定其y＝min{2x﹣1，﹣x+3}對應(yīng)的函數(shù)，畫圖象可知其最大值．解：由題意得：，解得：，當2x﹣1≥﹣x+3時，x≥，∴當x≥時，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝﹣x+3，由圖象可知：此時該函數(shù)的最大值為；當2x﹣1≤﹣x+3時，x≤，∴當x≤時，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}＝2x﹣1，由圖象可知：此時該函數(shù)的最大值為；綜上所述，y＝min{2x﹣1，﹣x+3}的最大值是當x＝所對應(yīng)的y的值，如圖所示，當x＝時，y＝，故答案為：．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝30°，將△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)θ（0＜θ＜60°）到△A′BC′，邊AC和邊A′C′相交于點P，邊AC和邊BC′相交于Q，當△BPQ為等腰三角形時，則θ＝20°或40°．【分析】過B作BD⊥AC于D，過B作BE⊥A'C'于E，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得△ABC≌△A'BC'，則BD＝BE，進而得到BP平分∠A'PC，再根據(jù)∠C＝∠C'＝30°，∠BQC＝∠PQC'，可得∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，即可得出∠BPQ＝（180°﹣∠C'PQ）＝90°﹣θ，分三種情況討論，利用三角形內(nèi)角和等于180°，即可得到關(guān)于θ的方程，進而得到結(jié)果．解：如圖，過B作BD⊥AC于D，過B作BE⊥A'C'于E，由旋轉(zhuǎn)可得，△ABC≌△A'BC'，則BD＝BE，∴BP平分∠A'PC，又∵∠C＝∠C'＝30°，∠BQC＝∠PQC'，∴∠CBQ＝∠C'PQ＝θ，∴∠BPQ＝（180°﹣∠C'PQ）＝90°﹣θ，分三種情況：①如圖所示，當PB＝PQ時，∠PBQ＝∠PQB＝∠C+∠QBC＝30°+θ，∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB＝180°，∴90°﹣θ+2×（30°+θ）＝180°，解得θ＝20°；②如圖所示，當BP＝BQ時，∠BPQ＝∠BQP，即90°﹣θ＝30°+θ，解得θ＝40°；③當QP＝QB時，∠QPB＝∠QBP＝90°﹣θ，又∵∠BQP＝30°+θ，∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP＝2（90°﹣θ）+30°+θ＝210°＞180°（不合題意），故答案為：20°或40°．三、解答題（本大題共8小題，共75分）16．解不等式組并求它的所有整數(shù)解的和．【分析】先求出兩個不等式的解集，再求其公共解，然后找出整數(shù)求和即可．解：，由①得x≥﹣3，由②得x＜2，所以不等式組的解集是﹣3≤x＜2，所以它的整數(shù)解為：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，所以所有整數(shù)解的和為﹣5．17．如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，△ABC的頂點均在格點上，坐標分別為A（2，2），B（1，0），C（3，1）．（1）畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；（2）畫出將△ABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得的△A2B2C2；（3）△A1B1C1與△A2B2C2，成中心對稱圖形嗎？若成中心對稱圖形，直接寫出對稱中心的坐標．【分析】（1）利用關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征寫出A1、B1、C1的坐標，然后描點即可；（2）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、B、C的對應(yīng)點A2、B2、C2即可；（3）連接B1B2、C1C2、A1A2，它們相交于一點，則這個點為對稱中心．解：（1）如圖，△A1B1C1；為所作；（2）如圖，△A2B2C2為所作；（3）△A1B1C1與△A2B2C2成中心對稱圖形．對稱中心的坐標為（，）．18．如圖，△ABC中，AB＝AC，點D在AB上，點E在AC的延長線上，DE交BC于F，且DF＝EF，求證：BD＝CE．【分析】如圖，作輔助線；證明△DGF≌△ECF，得到DG＝CE，此為解決該問題的關(guān)鍵性結(jié)論；證明BD＝GD，即可解決問題．【解答】證明：如圖，過點D作DG∥AE，交BC于點G；則△DGF≌△ECF，∴DG：CE＝DF：EF，而DF＝EF，∴DG＝CE；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB；∵DG∥AE，∴∠DGB＝∠ACB，∴∠DBG＝∠DGB，∴DG＝BD，∴BD＝CE．19．如圖，直線y＝x+3分別與x軸、y軸交于點A、C，直線y＝mx+分別與x軸、y軸交于點B、D，直線AC與直線BD相交于點M（﹣1，b）（1）不等式x+3≤mx+的解集為x≤﹣1．（2）求直線AC、直線BD與x軸所圍成的三角形的面積．【分析】（1）直線y＝x+3落在直線y＝mx+下方的部分對應(yīng)的x的取值范圍即為所求；（2）先將點M（﹣1，b）代入y＝x+3，求出b，得到M（﹣1，2），把M（﹣1，2）代入y＝mx+，求出直線BD的解析式，得到B（2，0）．再求出A（﹣3，0），那么AB＝5，然后根據(jù)三角形面積公式即可求解．解：（1）∵直線y＝x+3與直線y＝mx+相交于點M（﹣1，b），∴不等式x+3≤mx+的解集為x≤﹣1．故答案為x≤﹣1；（2）∵直線y＝x+3過點M（﹣1，b），∴b＝﹣1+3＝2，M（﹣1，2），將M（﹣1，2）代入y＝mx+，得2＝﹣m+，解得m＝﹣，∴直線BD的解析式為y＝﹣x+，∴當y＝0時，x＝2，∴B（2，0）．∵直線AC的解析式為y＝x+3，∴當y＝0時，x＝﹣3，∴A（﹣3，0）．∴AB＝5，∴S△ABM＝×5×2＝5．20．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE與BD相交于點M，BD交AC于點N．證明：（1）△ABD≌△ACE（2）BD⊥CE．【分析】（1）求出∠BAD＝∠CAE，再利用“邊角邊”證明即可；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ADB＝∠AEC，然后求出∠DEM+∠MDE＝90°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠DME＝90°，最后根據(jù)垂直的定義證明即可．【解答】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）證明：∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，∴∠DEM+∠MDE＝∠DEM+∠ADB+∠ADE＝∠DEM+∠AEC+∠ADE＝∠DAE+∠ADE＝90°，在△DEM中，∠DME＝180°﹣（∠DEM+∠MDE）＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥CE．21．學(xué)校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品．已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元．（1）求A，B兩種獎品的單價；（2）學(xué)校準備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數(shù)量不少于B獎品數(shù)量的．請設(shè)計出最省錢的購買方案，并說明理由．【分析】（1）設(shè)A的單價為x元，B的單價為y元，根據(jù)題意列出方程組，即可求解；（2）設(shè)購買A獎品z個，則購買B獎品為（30﹣z）個，購買獎品的花費為W元，根據(jù)題意得到由題意可知，z≥（30﹣z），W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；解：（1）設(shè)A的單價為x元，B的單價為y元，根據(jù)題意，得，∴，∴A的單價30元，B的單價15元；（2）設(shè)購買A獎品z個，則購買B獎品為（30﹣z）個，購買獎品的花費為W元，由題意可知，z≥（30﹣z），∴z≥，W＝30z+15（30﹣z）＝450+15z，當z＝8時，W有最小值為570元，即購買A獎品8個，購買B獎品22個，花費最少；22．閱讀材料：對于兩個正數(shù)a、b，則a+b≥2（當且僅當a＝b時取等號）．當ab為定值時，a+b有最小值；當a+b為定值時，ab有最大值．例如：已知x＞0，若y＝x+，求y的最小值．解：由a+b≥2，得y＝x+≥2＝2×＝2，當且僅當x＝，即x＝1時，y有最小值，最小值為2．根據(jù)上面的閱讀材料回答下列問題：（1）已知x＞0，若y＝4x+，則當x＝時，y有最小值，最小值為12．（2）已知x＞3，若y＝x+，則x取何值時，y有最小值，最小值是多少？（3）用長為100m籬笆圍一個長方形花園，問這個長方形花園的長、寬各為多少時，所圍的長方形花園面積最大，最大面積是多少？【分析】（1）根據(jù)閱讀材料提供的方法，將y＝4x+，寫成y＝4x+可得答案；（2）將y＝x+化為若y＝x﹣3++3，再根據(jù)提供的方法求解即可；（3）得出長方形的長、寬、面積之間的關(guān)系式，再聯(lián)系（1）中的方法求解．解：（1）由題目中提供的方法可得，y＝4x+＝4x+≥2＝12，∴當4x＝時，即x＝時，y的最小值為12，故答案為：，12；（2）∵x＞3，∴x﹣3＞0，由a+b≥2可得y＝x﹣3++3≥2+3＝9，當x﹣3＝時，即x＝6時，y的最小值為9，答：當x＝6時，y的最小值為9；（3）設(shè)這個長方形的長為xm，則寬為＝（50﹣x）m，∴長方形的面積S＝x（50﹣x），由題意得x＞0，50﹣x＞0，即0＜x＜50，由a+b≥2可得x+（50﹣x）≥2，即≤25，但且僅當x＝50﹣x時，即x＝25時，x?（50﹣x）取最大值，最大值為25×（50﹣25）＝625，此時寬為50﹣x＝25，S最大值為625，答：當長方形的長、寬均為25m時，所圍成的長方形的花園的面積最大，最大面積為625m2．23．探究：如圖1和圖2，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，點E、F分別在BC、CD上，∠EAF＝45°．（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，直接寫出線段BE、DF和EF之間的數(shù)量關(guān)系EF＝BE+DF；②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，但滿足∠B+∠D＝180°，線段BE、DF和EF之間的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．點D、E均在邊BC邊上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的長．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；（2）如圖3，同理作旋轉(zhuǎn)三角形，根據(jù)等腰直角