福建省廈門市思明區(qū)檳榔中學(xué)2020-2021學(xué)年8下期中試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年福建省廈門市思明區(qū)檳榔中學(xué)8下期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列二次根式中屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用最簡(jiǎn)二次根式的定義得出答案．【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)不是最簡(jiǎn)二次根式；B、是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)正確；C、＝，故此選項(xiàng)不是最簡(jiǎn)二次根式；D、＝2，故此選項(xiàng)不是最簡(jiǎn)二次根式；故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式，正確把握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解題關(guān)鍵．2.如圖，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位線，則DE的長(zhǎng)度是（）A.3 B.4 C.4.8 D.5【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵DE是△ABC的中位線，∴DE＝AC＝×10＝5，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查中位線的性質(zhì)，熟練掌握中位線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3.命題“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是（）A.“若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B.“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”C.“若一個(gè)數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D.“若一個(gè)數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”【答案】B【解析】【分析】將原命題的條件與結(jié)論進(jìn)行交換，得到原命題的逆命題．【詳解】解：因?yàn)橐粋€(gè)命題的逆命題是將原命題的條件與結(jié)論進(jìn)行交換，因此逆命題為“若一個(gè)數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查四種命題的互相轉(zhuǎn)化，解題時(shí)要正確掌握轉(zhuǎn)化方法．4.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)是A.3cm B.6cm C.10cm D.12cm【答案】A【解析】【詳解】試題解析：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC=OB=OD=3，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=3，故選A.點(diǎn)睛：有一個(gè)角等于得等腰三角形是等邊三角形.5.△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A.∠A+∠B＝∠C B.a2＝c2﹣b2C.a：b：c＝1：2：3 D.a＝5，b＝12，c＝13【答案】C【解析】【分析】由三角形內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，則∠C=90°，是直角三角形；B、由a2=c2-b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；C、12+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形；D、由a2+b2=25+144=169=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定，注意在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．6.菱形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接AB交OC于點(diǎn)D，由菱形OACB中，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得OD=CD=4，BD=AD=2，由此即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)．【詳解】∵連接AB交OC于點(diǎn)D，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB⊥OC，OD=CD，AD=BD，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，0），點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是2，∴OC=8，BD=AD=2，∴OD=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，-2）．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系．熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣1，0），B（0，2），以點(diǎn)A為圓心，線段AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸正半軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出OA、OB，根據(jù)勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC長(zhǎng)即可【詳解】解：∵A（-1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=，∴AC=AB=，∴OC=?1．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解此題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理求出OC的長(zhǎng)．8.如圖，四邊形是矩形，的平分線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（）A.4.2 B.4.5 C.5.2 D.5.5【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得AB∥CD，∠A＝90°，再根據(jù)AB∥CD及DE平分∠BDC證得DB＝BE，設(shè)AB＝x，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴AB∥CD，∠A＝90°，∴∠E＝∠EDC，∵DE平分∠BDC，∴∠EDB＝∠EDC，∴∠EDB＝∠E，∴DB＝BE，設(shè)AB＝x，∵AE＝10，∴DB＝BE＝10－x，∵∠A＝90°，∴在Rt△ABD中，AD2＋AB2＝BD2，∵AD＝4，∴42＋x2＝(10－x)2，解得x＝4.2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．9.如圖，OP＝1，過點(diǎn)P作PP1⊥OP且PP1＝1，得OP1＝；再過點(diǎn)P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又過點(diǎn)P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2…依此法繼續(xù)作下去，得OP2021＝（）A B. C. D.【答案】D【解析】分析】根據(jù)勾股定理分別求出每個(gè)直角三角形斜邊長(zhǎng)，根據(jù)結(jié)果得出規(guī)律，即可得出答案．【詳解】解：由勾股定理得：，同理：，，，，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，注意：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律．10.如圖，點(diǎn)P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PD＝2，PC＝1，則∠CPD的度數(shù)是（）A.105° B.115° C.125° D.135°【答案】D【解析】【分析】先將△DPA繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEC，連結(jié)PE，可得AP=CE=3，DP=DE=2，推出∠DEP=∠DPE=45°，根據(jù)勾股定理PE=，再證明△EPC為直角三角形，可得∠EPC=90°即可．【詳解】解：將△DPA繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DEC，連結(jié)PE，則△DPA≌△DEC，∴AP=CE=3，DP=DE=2，∴∠DEP=∠DPE=45°，根據(jù)勾股定理PE=，在△EPC中，EP2+PC2=∴△EPC為直角三角形，∴∠EPC=90°，∴∠DPC=∠DPE+∠EPC=45°+90°=135°，故選擇D．【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理與逆定理，直角三角形判定，掌握正方形性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理與逆定理，直角三角形判定是解題關(guān)鍵．二、填空題：（本題共6小題，每小題4分，共24分）11.使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是_______．【答案】．【解析】【詳解】根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的條件，要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須．12.如圖所示，字母所代表的正方形的邊長(zhǎng)是______．【答案】12cm【解析】【分析】根據(jù)勾股定理解題．【詳解】解：由勾股定理得，字母所代表的正方形的面積為：225-81=144故字母所代表的正方形的邊長(zhǎng)為12cm,故答案為：12cm．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．13.如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形草坪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了________步路（假設(shè)步為米），卻踩傷了花草．【答案】【解析】【分析】少走的距離是AC+BC-AB，在直角△ABC中根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，∵在中，，∴，則少走的距離為：，∵步為米，∴少走了步．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．14.若直角三角形斜邊上的高是4cm，斜邊上的中線是5m，則這個(gè)直角三角形的面積是_____．【答案】20m2．【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)是5m，∴斜邊長(zhǎng)為10m，∵直角三角形斜邊上的高是4m，∴這個(gè)直角三角形的面積＝×10×4＝20m2．故答案為20m2．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，熟記直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.15.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，1），則點(diǎn)C的坐標(biāo)是___．【答案】（6，4）．【解析】【分析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥DC，且AB=DC，根據(jù)坐標(biāo)間關(guān)系可得2-（-1）=xC-3，3-0=yC-1，解得xC=6，yC=4即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，且AB=DC，∴2-（-1）=xC-3，3-0=yC-1，∴xC=6，yC=4，點(diǎn)C（6，4）故答案為（6，4）．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系建構(gòu)方程，掌握平行四邊形的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系建構(gòu)方程．16.如圖，矩形ABCD中，AB=20，AD=30，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=10，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)H為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CH、GH，則GH+CH的最小值為_______.【答案】45【解析】【分析】延長(zhǎng)BA至點(diǎn)使得,此時(shí)三點(diǎn)共線，,此時(shí)為最小值.【詳解】解：如圖所示：延長(zhǎng)BA至點(diǎn)使得此時(shí)三點(diǎn)共線，,點(diǎn)G為EF中點(diǎn)，此時(shí)，即：,此時(shí)為最小值,則：,故答案為：45.【點(diǎn)睛】本題考查線段相加的最值問題，解題關(guān)鍵找對(duì)稱點(diǎn)即可.三、解答題：（本題共6小題，共86分，解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟．）17.（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：；（3）計(jì)算：．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）先去括號(hào)，合并同類二次根式即可得到答案；（2）先計(jì)算二次根式乘除法，然后合并同類二次根式即可；（3）先計(jì)算二次根式的乘除法，再利用二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式即可．【詳解】解：（1），=，=；（2），=，=；（3），=，=，=．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)．18.如圖，AC是平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線，DE⊥AC，BF⊥AC垂足分別是E、F．求證：四邊形DEBF是平行四邊形．【答案】見解析【解析】【分析】利用平行四邊形性質(zhì)可得，再由DE⊥AC，BF⊥AC，可得，，可證，從而得到，即可求證．【詳解】解：∵AC是平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線，∴，，∴，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴，，在和中，∵，∴，∴，∵，∴四邊形DEBF是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．19.如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，AB=10，BC=6，AC=AD=8．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）求CD邊的長(zhǎng).【答案】（1）90°；（2）【解析】【詳解】（1）如圖2．∵△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，∴.∴△ABC是直角三角形，.（2）∵AD//BC，∴.∵在Rt△ACD中，，AC=AD=8，∴．20.如圖，在△ABC中，∠B＝90°，O為AC的中點(diǎn)，連接BO并延長(zhǎng)至D，使OD＝OB，連接AD，CD，求證：四邊形ABCD是矩形．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)O為AC的中點(diǎn)，OD＝OB，可得四邊形是平行四邊形，再由∠B＝90°，即可求證．【詳解】證明：如圖，∵O為AC的中點(diǎn)，∴，∵，∴四邊形平行四邊形，∵∠B＝90°，∴四邊形ABCD是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定，熟練掌握有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形是解題的關(guān)鍵．21.定義：若（m+2）2＝n，則稱m是n的“伴生數(shù)”．設(shè)m＝，n＝，判斷m是不是n的“伴生數(shù)”，并說明理由．【答案】m不是n的“伴生數(shù)”，理由見解析【解析】【分析】利用二次根式的性質(zhì)分別計(jì)算和，再比較大小，即可求解．【詳解】解：m不是n的“伴生數(shù)”，理由如下：∵m＝，∴，n＝∵，∴，∴m不是n的“伴生數(shù)”．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，理解新定義，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.正方形中，點(diǎn)P是邊上的任意一點(diǎn)，連接為的中點(diǎn)，作于E，連接．（1）若，求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；（2）用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）；（2