2024-2025學年高中數學第一章立體幾何初步1.1.2棱柱棱錐和棱臺的結構特征學案新人教B版必修2

PAGEPAGE11．1．2棱柱、棱錐和棱臺的結構特征1．了解多面體的有關概念．2．理解棱柱、棱錐、棱臺的結構特征．3．會進行與棱柱、棱錐、棱臺有關的計算．1．多面體的有關概念(1)定義：由若干個平面多邊形所圍成的幾何體叫做多面體．(2)相關概念如圖，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，如面ABCD、面BCC′B′；相鄰的兩個面的公共邊叫做多面體的棱，如棱AB、棱AA′；棱和棱的公共點叫做多面體的頂點，如頂點A、頂點A′；連接不在同一個面上的兩個頂點的線段叫做多面體的對角線，如對角線BD′．(3)凸多面體：把一個多面體的隨意一個面延展為平面，假如其余的各面都在這個平面的同一側，則這樣的多面體就叫做凸多面體．2．棱柱、棱錐、棱臺名稱棱柱棱錐棱臺定義有兩個相互平行的面，而且夾在這兩個平行平面間的每相鄰兩個面的交線都相互平行有一個面是多邊形，而其余各面都是有一個公共頂點的三角形棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分圖形分類三棱柱四棱柱五棱柱?三棱錐四棱錐五棱錐?三棱臺四棱臺五棱臺?特別的幾何體側棱與底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；側棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱假如棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點在過底面中心且與底面垂直的直線上，則這個棱錐叫做正棱錐由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺1．推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)假如四棱錐的底面是正方形，那么這個四棱錐的四條側棱都相等．()(2)五棱錐只有五條棱．()(3)用與底面平行的平面去截三棱錐，得到的截面三角形和底面三角形相像．()解析：(1)不正確．四棱錐的底面是正方形，它的側棱可以相等，也可以不相等．(2)不正確，五棱錐除了五條側棱外，還有五條底邊，故共有10條棱．(3)正確．答案：(1)×(2)×(3)√2．如圖所示的幾何體中，是凸多面體的是________．解析：①②是凸多面體，③④不是．答案：① ②3．直棱柱與正棱柱有什么區(qū)分？解：(1)直棱柱是在一般棱柱的基礎上加一個條件“側棱與底面垂直”．(2)正棱柱是在直棱柱的基礎上再加一個條件“底面是正多邊形”．棱柱、棱錐、棱臺的概念給出下列幾個命題：①棱柱的側面都是平行四邊形；②棱錐的側面為三角形，且全部側面都有一個公共頂點；③多面體至少有四個面；④棱臺的側棱所在直線均相交于同一點．其中，假命題的個數是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】明顯命題①、②均是真命題．對于命題③，明顯一個圖形要成為空間幾何體，則它至少須要有四個頂點，因為三個頂點只圍成一個平面圖形是三角形，當有四個頂點時，易知它可圍成四個面，因而一個多面體至少應有四個面，而且這樣的面必是三角形，故命題③是真命題．對于命題④，棱臺的側棱所在的直線就是被截原棱錐的側棱所在的直線，而棱錐的側棱都有一個公共的點，它便是棱錐的頂點，于是棱臺的側棱所在的直線均相交于同一點，故命題④為真命題．【答案】Aeq\a\vs4\al()只有理解并駕馭好各種簡潔多面體的概念以及相應的結構特征，才能不至于被各個命題的表面假象所迷惑，從而對問題做出正確的推斷．1．下列命題中正確的是()A．棱柱的面中，至少有兩個面相互平行B．棱柱中兩個相互平行的平面肯定是棱柱的底面C．在平行六面體中，隨意兩個相對的面均相互平行，但平行六面體的隨意兩個相對的面不肯定可當作它的底面D．棱柱的側面是平行四邊形，但它的底面肯定不是平行四邊形解析：選A．正四棱柱中兩個相對側面相互平行，故B錯；平行六面體的隨意兩個相對面可作底面，故C錯；棱柱的底面可以是平行四邊形，故D錯．2．下列關于棱錐、棱臺的說法：①棱臺的側面肯定不會是平行四邊形；②棱錐的側面只能是三角形；③由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐．其中正確說法的序號是__________．解析：①正確，棱臺的側面肯定是梯形，而不是平行四邊形；②正確，由棱錐的定義知棱錐的側面只能是三角形；③正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐．答案：①②③空間幾何體的結構特征如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1．(1)這個長方體是棱柱嗎？假如是，是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？假如是，是幾棱柱？假如不是，說明理由．【解】(1)該長方體是棱柱，并且是四棱柱，因為以長方體相對的兩個面作底面都是四邊形，其余各面都是矩形，當然是平行四邊形，并且四條側棱相互平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1-CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1-DCFD1，其中四邊形ABEA1和DCFD1是底面．假如本例條件不變，若用一個平面只截去側棱B1C1所在的一個角，剩余的幾何體是棱柱嗎？如何截取能得到一個棱柱？解：用一個平面只截去側棱B1C1所在的一個角，則剩余的幾何體不肯定是棱柱，如圖(1)所示，沿平面EFF1E1(其中EF≠E1F1)，所截得幾何體ABEFA1-DCE1F1D1不是棱柱，當截面按平行于側棱BC的方向去截時，所得幾何體為棱柱，如圖(2)所示．eq\a\vs4\al()多面體的幾何特征(1)棱柱的幾何特征側棱都相等，側面都是平行四邊形，兩個底面相互平行；(2)棱錐的幾何特征有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形；(3)棱臺的幾何特征上、下底面相互平行，各側棱的延長線交于同一點．1．若一個棱錐的各棱長和底面邊長均相等，則該棱錐肯定不是()A．三棱錐 B．四棱錐C．五棱錐 D．六棱錐解析：選D．因為正六邊形的邊長與它的外接圓半徑相等，所以滿意上述條件的棱錐肯定不是六棱錐．2．如圖所示，在三棱臺A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，則剩余部分是()A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．以上答案都不對解析：選B．剩余部分是四棱錐A′-BCC′B′．棱柱、棱錐、棱臺中的有關計算如圖正三棱臺ABC-A1B1C1中，已知AB＝10，棱臺一個側面的面積為eq\f(20\r(3),3)，O1、O分別為上、下底面正三角形的中心，D1D為棱臺的斜高，∠D1DA＝60°，求上底面的邊長．【解】AB＝10，則AD＝eq\f(\r(3),2)AB＝5eq\r(3)，所以OD＝eq\f(1,3)×AD＝eq\f(5\r(3),3)．設上底面邊長為x，則O1D1＝eq\f(\r(3),6)x．過D1作D1H⊥AD于點H，則DH＝OD－OH＝OD－O1D1＝eq\f(5\r(3),3)－eq\f(\r(3),6)x．在△D1DH中，D1D＝eq\f(DH,cos60°)＝2(eq\f(5\r(3),3)－eq\f(\r(3),6)x)，所以在梯形B1C1CB中，S＝eq\f(1,2)(B1C1＋BC)·D1D，即eq\f(20\r(3),3)＝eq\f(1,2)(x＋10)·2(eq\f(5\r(3),3)－eq\f(\r(3),6)x)，解得x＝2eq\r(15)．所以上底面的邊長為2eq\r(15)．eq\a\vs4\al()在正棱臺的有關計算中，要留意找尋直角梯形，一般有：正棱臺兩底面中心連線，相應的邊心距和斜高組成一個直角梯形；兩底面中心連線，側棱和兩底面相應的外接圓半徑組成一個直角梯形．已知正三棱錐V-ABC，底面邊長為8，側棱長為2eq\r(6)，計算它的高和斜高．解：如圖所示，設O是底面中心，連接AO，并延長交BC于點D，則D為BC的中點，所以△VAO和△VCD是直角三角形．因為底面邊長為8，側棱長為2eq\r(6)，所以AO＝eq\f(\r(3),3)×8＝eq\f(8,3)eq\r(3)，CD＝4，所以VO＝eq\r(VA2－AO2)＝eq\r((2\r(6))2－(\f(8,3)\r(3))2)＝eq\f(2,3)eq\r(6)．VD＝eq\r(VC2－CD2)＝eq\r((2\r(6))2－42)＝2eq\r(2)．即正三棱錐的高是eq\f(2,3)eq\r(6)，斜高是2eq\r(2)．1．棱錐是當棱柱的一個底面收縮為一個點時形成的空間圖形，棱臺則可以看成是用一個平行于棱錐底面的平面截棱錐所得到的圖形．應留意：若一個幾何體是棱臺，則其側棱延長后必交于同一點，也就是說若一個幾何體的各條側棱延長后不交于同一點，則該幾何體肯定不是棱臺．駕馭好棱柱、棱錐、棱臺的定義和性質，是解決問題的基礎和關鍵．2．棱臺是由棱錐截得的，在處理與棱臺有關的問題時要留意聯系棱錐的有關性質，“還臺為錐”是常用的解題方法和策略．不能正確地理解棱柱、棱錐、棱臺的定義及其幾何特征，簡潔致錯．對于正棱錐和正棱臺，要留意精確理解概念，把握圖形的特征，尤其是圖中的一些重要的直角三角形和直角梯形．1．下面圖形所表示的幾何體中，不是棱錐的為()解析：選A．推斷一個幾何體是否是棱錐，關鍵看它是否滿意以下條件：有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，且是有一個公共頂點的三角形，故A不是棱錐；B是四棱錐；C，D是五棱錐．2．用一個平面去截四棱錐，不行能得到()A．棱錐 B．棱柱C．棱臺 D．四面體答案：B3．下列說法錯誤的是()A．多面體至少有四個面B．九棱柱有9條側棱，9個側面，側面為平行四邊形C．長方體、正方體都是棱柱D．三棱柱的側面為三角形解析：選D．三棱柱的側面為平行四邊形．4．一個棱柱有10個頂點，全部的側棱長的和為60cm，則每條側棱長為__________cm．解析：因為棱柱有10個頂點，所以棱柱為五棱柱，共有五條側棱，所以側棱長為eq\f(60,5)＝12(cm)．答案：12[學生用書P79(單獨成冊)])[A基礎達標]1．視察如圖所示的四個幾何體，其中推斷不正確的是()A．①是棱柱 B．②不是棱錐C．③不是棱錐 D．④是棱臺解析：選B．由棱柱、棱錐、棱臺的定義可知，①是棱柱，②是棱錐，④是棱臺，③不是棱錐．2．下列說法正確的是()A．棱柱的底面肯定是平行四邊形B．棱錐的底面肯定是三角形C．棱錐被平面分成的兩部分不行能都是棱錐D．棱柱被平面分成的兩部分可能都是棱柱解析：選D．棱柱和棱錐的底面可以是隨意多邊形，故選項A、B均不正確；可沿棱錐的側棱將其分割成兩個棱錐，故C錯誤；用平行于棱柱底面的平面可將棱柱分割成兩個棱柱．3．具備下列條件的多面體是棱臺的是()A．兩底面是相像多邊形的多面體B．側面是梯形的多面體C．兩底面平行的多面體D．兩底面平行，側棱延長后交于一點的多面體解析：選D．由棱臺的定義可知，棱臺的兩底面平行，側棱延長后交于一點．4．如圖所示，在棱錐A-BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶AB＝1∶3，已知△DBC的周長是18，則△EFG的周長為()A．2 B．4C．6 D．9解析：選C．由已知得EF∥BD，FG∥CD，EG∥BC，所以△EFG∽△BDC，所以eq\f(△EFG的周長,△DBC的周長)＝eq\f(EF,BD)．又因為eq\f(EF,BD)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,3)，所以eq\f(△EFG的周長,△DBC的周長)＝eq\f(1,3)，所以△EFG的周長＝18×eq\f(1,3)＝6．5．五棱柱中，不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個五棱柱共有對角線()A．20條 B．15條C．12條 D．10條解析：選D．如圖，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，從頂點A動身的對角線有兩條：AC1，AD1，同理從B，C，D，E點動身的對角線均有兩條，共有2×5＝10(條)．6．四棱柱有________條側棱，________個頂點．解析：四棱柱有4條側棱，8個頂點(可以結合正方體視察求得)．答案：487．一個棱臺至少有________個面，面數最少的棱臺有________個頂點，有________條棱．解析：面數最少的棱臺是三棱臺，共有5個面，6個頂點，9條棱．答案：5698．在下面的四個平面圖形中，是側棱都相等的四面體的綻開圖的為__________．(填序號)解析：由于③④中的圖組不成四面體，只有①②可以．答案：① ②9．已知正四棱錐V-ABCD中，底面面積為16，一條側棱的長為2eq\r(11)，求該棱錐的高．解：取正方形ABCD的中心O，連接VO、AO，則VO就是正四棱錐V-ABCD的高．因為底面面積為16，所以AO＝2eq\r(2)．因為一條側棱長為2eq\r(11)，所以VO＝eq\r(VA2－AO2)＝eq\r(44－8)＝6．所以正四棱錐V-ABCD的高為6．10．如圖在正方形ABCD中，E，F分別為AB，BC的中點，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點A，B，C重合，重合后記為點P．問：(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？(2)若正方形邊長為2a，則每個面的三角形面積為多少？解：(1)如圖折起后的幾何體是三棱錐．(2)S△PEF＝eq\f(1,2)a2，S△DPF＝S△DPE＝eq\f(1,2)×2a×a＝a2，S△DEF＝eq\f(3,2)a2．[B實力提升]11．關于如圖所示幾何體的正確說法為()①這是一個六面體．②這是一個四棱臺．③這是一個四棱柱．④此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到．⑤此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到．A．①②③ B．①③④C．①②④⑤ D．①③④⑤解析：選D．①正確．因為有六個面，屬于六面體的范圍．②錯誤．因為側棱的延長線不能交于一點，所以不正確．③正確．假如把幾何體放倒就會發(fā)覺是一個四棱柱．④⑤都正確．如圖所示．12．正四棱臺的上、下底面邊長分別是5和7，體對角線長為9，則棱臺的斜高等于________．解析：如圖，四邊形BDD1B1是等腰梯形，B1D1＝5eq\r(2)，BD＝7eq\r(2)，BD1＝9，所以OO1＝eq\r(BDeq\o\al(2,1)－(\f(BD＋B1D1,2))2)＝3．又E1，E分別為B1C1，BC的中點，所以O1E1＝eq\f(5,2)，OE＝eq\f(7,2)．所以在直角梯形OEE1O1中，斜高E1E＝eq\r(OOeq\o\al(2,1)＋(OE－O1E1)2)＝eq\r(10)．答案：eq\r(10)13．正四棱錐S-ABCD的高為eq\r(3)，側棱長為eq\r(7)．(1)求側面上的斜高；(2)求一個側面的面積；(3)求底面的面積．解：(1)如圖所示，在正四棱錐S-ABCD中，高SO＝eq\r(3)，側棱SA＝SB＝SC＝SD＝eq\r(7)，解Rt△