2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義第28講與圓有關(guān)的計算

第28講與圓有關(guān)的計算

目錄

題型04求某點的弧形運動路徑長度

一、考情分析題型05求扇形面積

二，知識建構(gòu)題型06求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積

考點一正多邊形與圓題型07求圓錐側(cè)面積

題型01求正多邊形中心角題型08求圓錐側(cè)面積

題型02求正多邊的邊數(shù)題型09求圓錐底面半徑

題型10求圓錐的高

題型03正多邊形與圓中求角度

題型04正多邊形與圓中求面積題型11求圓錐側(cè)面積展開圖的圓心角

題型12圓錐的實際問題

題型05正多邊形與圓中求周長

題型13圓錐側(cè)面上的最短路徑問題

題型06正多邊形與圓中求邊心距、邊長

題型07正多邊形與圓中求線段長考點三不規(guī)則面積的有關(guān)計算

題型01直接公式法

題型08正多邊形與圓中求最值

題型02直接和差法

題型09尺規(guī)作圖-正多邊形

題型10正多邊形與圓的規(guī)律問題題型03構(gòu)造和差法

題型04等面積法

考點二弧長、扇形面積、圓錐的有關(guān)計算

題型01求弧長題型05旋轉(zhuǎn)法

題型02利用弧長及扇形面積公式求半徑題型06對稱法

題型07全等法

題型03利用弧長及扇形面積公式求圓心角

考點要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測

該板塊內(nèi)容以考查綜合題為

正多邊形與圓>了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系.

主，也是考查重點，除了填空題和

弧長、扇形面積、

>會計算圓的弧長、扇形的面積.選擇題外，年年都會考查綜合題，

圓錐的有關(guān)計算

對多數(shù)考生來說也是唯點，2024

不規(guī)則面積的有關(guān)

年各地中考肯定還是會考蟄.

計算

邊快?_?2兒”“字（R*方正多邊、外接"瓶?！?gt;>

AK外向型心角度力匕，血電01求正多邊形中心M

N

應(yīng)忸以求正多邊的邊效

■程Sa?|an?m?n。對角第HI“一）4止多邊形圓中求角度

24

思忡”止多邊形與圓中求面積

r??R?co咤3內(nèi)角*><I>X180>用中05止多邊形與回中求冊K

atJw止多邊形與回中求邊心m.邊長

■■7)M即,（依和子刖）e

起取07止多邊形與圓中求線段長

a

aww正多動座二圜中火燃值

q?fU.riMXS那?母?）（?.《?、r.為溝HIM三角影的三邊表,己M*中兩個值，第三個題型09尺設(shè)作圖正多邊膨

困型1。正多邊形與網(wǎng)的規(guī)律向18

值可以借助句￡門求M.》?*

L正多邊形與圓

設(shè)90的半徑為R,n?困心角所并強長為I,n為貨所對的歐、角的度射，則

團型01求同長

rw瘦長公式」1=雷（1長的長度和國。、角大小和半徑的取值有關(guān)，目n案每型02利用孤長及用膨面積公大求1,徑

示廠的囪心角的信觸，》和180《際要冬里位.》7碘型03利川孤長及用心而枳公式求回心用

題型01求某點的取形運向聯(lián)汴長哎

與

碗司積公式」鹿型05求知形而枳

圓也型06求圖形院轉(zhuǎn)后掃it的面枳

有3泣例面根公式?S?M=nri（R中】是聊的耳線長，r是承的麗半役〉」也里07求四鏤則囪枳

盅里08求闋錐則面機

關(guān)

函全面程公式,S***nri+nr2（圈僮的表面枳=南的8根-底面圓面枳》?身型09求四律底面祭杯

的題型io求H密的高

碧譙的Kh,圖r2+/?2=加

計題型11求超律翻面枳展萬圖的圓心角

位的Ri半徑r題劇12名怦的丈際何尊

胖加長、扇形面積.S

回徘他回上的火如問電

推的有關(guān)計算SS'IYIJRH2

解題技：5：求與圓有關(guān)的不規(guī)則圖形的面枳時.最基本的思想就是5E七

思想.即把所求的不規(guī)則的圖形的面織轉(zhuǎn)化為規(guī)則匣形的面枳.

力接用公式求解

不規(guī)則面積

的有關(guān)計II

常用方法

（內(nèi)含模型訓(xùn)解）

考點一正多邊形與圓

夯基-必備基礎(chǔ)知識梳理

1.正多邊形的相關(guān)概念

正多邊形概念各條邊相等，并且各個內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形.

正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.

正多邊形的半徑正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.

正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.

正多邊形的邊心距中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

2.正多邊形的常用公式

邊長an=2Rnsin^（為正多邊形外接圓的半徑）

360。

周長Pn=ri'an外角/中心角度數(shù)

n

n(n—3)

面積Sn-airhvn對角線條數(shù)

22

邊心距%=/?〃?cos堇”內(nèi)角和(n-2)x180。.

n

內(nèi)角度數(shù)(n-2)x180°〃邊形的邊數(shù)（內(nèi)角和X80。）+2

n

RkW+號（沏、R…〃為構(gòu)成直角三角形的三邊長，已知其中兩個值，第三

Q”.Rn、Un的關(guān)系

個值可以借助勾股定理求解.）

【解題思路】正多邊形與圓的計算問題：正〃邊形的外接圓半徑和邊心距把正〃邊形分成

2〃個全等的直角三角形而每個直角三角形都集中地反映了這個正〃邊形各元素間的關(guān)系，

故可以把正〃邊形的計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計算.

3.正多邊形常見邊心距與邊長的比值

圖形OA:AB:OB內(nèi)切圓與外接圓半徑的比

等邊三角形窗i：vr：21:2

ZAOB=60°

正方形1:1:萬1:V2

ZAOB=45°

正六邊形?VF：i：2VF：2

ZAOB=30°

【備注】正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓為同心圓.

.提升?必考題型歸納

題型01求正多邊形中心角

[例1]（2021.遼寧沈陽統(tǒng)考二模）在圓內(nèi)接正六邊形A3CDE/中,正六邊形的邊長為2,則這個正六邊形

的中心角和邊心距分別是（）

A.30°,1B.45。,&C.60°,V3D.120°,2

【答案】C

【分析】由正六邊形的性質(zhì)得60。，再證AOCQ是等邊三角形，得8C=CD=OC=2,再由垂徑定

理和含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出OG即可.

【詳解】解：在圓內(nèi)接正六邊形4BCQ"中，NCOD=360*6=60。，

：OC=OD,

.?.△OCO是等邊三角形，

.\BC=CD=OC=2,

.OG±BC,

：.CG=^BC=1,

：^COG=-^COD=30°,

2

:.OG=V3CG=V3,

古嬤：C.

【點撥】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及含30。角的直角三角形

的性質(zhì)；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2022?四川廣安.統(tǒng)考二模）如圖，五邊形48CDE是O。的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角

的度數(shù)是（）

A.72°B.60°C.48°D.36°

【答案】A

【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計算公式：陋計算即可.

n

【詳解】解：?.五邊形48CQE是。。的內(nèi)接正五邊形，

??五邊形ABCDE的中心角NCO。的度數(shù)為*=72°,

古嫡：A,

【點撥】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計算公式：%是解題的關(guān)鍵.

n

【變式1-2]（2020.上海金山.統(tǒng)考一模）正十邊形的中心角等于_____度.

【答案】36

【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的定義即可求解.

【詳解】正十邊形的中心角等于360。內(nèi)0=36。

故答案為：36.

【點撥】此題主要考查中心角,解題的關(guān)鍵是熟知正〃邊形的中心角等于手.

題型02求正多邊的邊數(shù)

[例2]（2023.河北保定.統(tǒng)考二模）如圖，一個正多邊形紙片被一塊矩形擋板遮住一部分，則這個正多邊形

紙片的邊數(shù)是（）

A.4B.3C.6D.7

【答案】C

【分析】先根據(jù)正多邊形的定義把圖形補充完整，再求解.

【詳解】解：根據(jù)正多邊形的定義把多邊形補充完整如下圖；

有圖形得：這個正多邊形紙片是六邊形，

故選：C.

【點撥】本題考直了正多邊形和圓，掌握正多邊形的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式2?1X2023?廣東陽江統(tǒng)考二模戊口果一個正多邊形的中心角是45。,那么這個正多邊形的邊數(shù)是（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)正多邊形的邊數(shù)=周角+中心角，計算即可得解.

【詳解】解：這個多邊形的邊數(shù)是360。+45。=8,

古嬤：C.

【點撥】本題考查的是正多邊形的中心角的有關(guān)計算；熟記正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式2?2】（2023.湖南長沙?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，A,B,C,。為一個正多邊形的頂點，。為正多邊形的中

心,若乙4DB=20°,則這個正多邊形的邊數(shù)為（）

D

?o

AB

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】連接OA,OB，根據(jù)圓周角定理得到乙4OB=2乙4D8=40°,進一步即可得到結(jié)論.

【詳解】解：連接。力,0B,

???ARC,。為一個正多邊形的頂點，。為正多邊形的中心，

.?.點A,B,C,D在以點。為圓心，0A為半徑的同一個圓上，

■.Z-ADB=20°,

S./.AOB=2Z,ADB=40°,

???這個正多邊形的邊數(shù)二舞：=9,

故選：C.

【點撥】本題考杳了正多邊形與圓，圓周角定理，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵.

【變式2?3】（2021.貴州貴陽統(tǒng)考一模）如圖，四邊形A8CQ為。。的內(nèi)接正四邊形，“灰為的內(nèi)接

正三角形，連接DF.若力廠恰好是同圓的一個內(nèi)接正多邊形的一邊，則這個正多邊形的邊數(shù)為.

B?OD

【答案】12

【分析】連接OA.ODQF,如圖，利用正多邊形與圓，分別計算0O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的中心

角得到4\。。=90。，乙40尸=120。，則/。0尸=3（）。，然后計算黑即可得到n的值.

【詳解】解：連接OAQDQF,如圖，設(shè)這個正多邊形為〃邊形，

-AD,A尸分別為O。的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊,

.-.ZAC>D=-=90°,NAO"=^=I20。，

43

.^DOF=^AOF-^AOD=30°,

二%翳=12,即。尸恰好是同圓內(nèi)接一個正十二邊形的一邊.

故答案為：12?

【點撥】本題考查了正多邊形與圓：把一個圓分成〃（〃是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的

多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念.

題型03正多邊形與圓中求角度

[例3]（2023?安徽六安統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正六邊形A8CDEF內(nèi)接于。。，點M在初上,則4CM￡1的

A.30°B.36°C.45°D.60°

【答案】D

【分析】先求出正六邊形的中心角，再利用圓周角定理求解即可.

【詳解】解：連接OCQDQE,如圖所示：

.?正六邊形48CDEF內(nèi)接于。。，

：.ACOD=詈60。，貝！J/COE=120°,

"CME=-ZCOE=60°,

2

古媾：D.

【點撥】本題考查正多邊形的中心角、圓周角定理，熟練掌握正〃多邊形的中心角為策是解答的關(guān)鍵.

n

【變式3-1］（2022.廣西南寧?校聯(lián)考一模）如圖，O。與正五邊形4BCDE的兩邊力E,CD相切于4c兩點，則

乙40c的度數(shù)是（）

A.144°B.130°C.129°

【答案】A

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，可得N。A七二90。，/。8=90。，結(jié)合正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為108。，即可

求解.

【詳解】解：."ECO切。。于點AC,

"OAE=90。，ZOCD=90°,

（52）18

??.正五邊形A8COE的每個內(nèi)角的度數(shù)為：~；°°=108。，

/.ZAOC=5400-90o-90o-108o-l08°=144°,

故選：A.

【點撥】本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，以及切線的性質(zhì)定理，掌握正多邊形的內(nèi)角和定理

是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2]（2022.福建福州.福建省福州延安中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于。。,

則NOCQ的度數(shù)為。.

【答案】54

【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：..多邊形/WCQE是正五邊形，

/.ZCOD=—=72°,

：OC=OD,

???/OCO寺（180°-72°）=54°,

故答案為：54.

【點撥】本題主要考查了正多邊形與圓，多邊形內(nèi)角與外角的知識點，解答本題的關(guān)鍵是求出正五邊形中

心角的度數(shù).

題型04正多邊形與圓中求面積

[例4]（2022.山西大同?校聯(lián)考一模）如圖，是一張邊長為2的正六邊形紙版，連接對角線，則阻影部分的

面積是（）

【答案】A

【分析】由正六邊形從性質(zhì)可得陰影部分的面積等于正六邊形面積的一半，可得△48。為等邊三角形，再計

算正六邊形的面積即可得到答案.

【詳解】解：如圖，.?正六邊形，

..圖形①，②，③，④，⑤，⑥與上半部分的陰影部分的圖形分別對應(yīng)相等，

.??整個陰影部分的面積為正六邊形的面積的一半，

.?正六邊形，

?,正六邊形的面積等于6sA48C，△4BC為等邊三角形，AD1BC,

：.AB=BC=AC=2、BD=DC=1,

：.AD=V3,

「?正六邊形的面積為：6s△詆=6x|x2xV3=6>/3,

二?陰影部分的面積為：3V3.

故選A

【點撥】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正六邊形的性質(zhì)，熟記正六邊形是軸對稱圖

形是解本題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2023?海南海口海師附中?？既＃┤鐖D，正五邊形48C0E的邊長為4,以頂點H為圓心，AB

長為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積是______.

D

【答案】。

【分析】首先確定扇形的圓心角的度數(shù)，然后利用扇形的面積公式計算即可.

【詳解】解「?正五邊形的外角和為360。，

,每一個外角的度數(shù)為360。+5=72。，

二正五邊形的每個內(nèi)角為180。-72。=108°,

???正五邊形的邊長為4,

c108-7TX4224

??.S淚影=1^=不兀,

故答案為：.

【點撥】本題考查了正多邊形和圓及扇形的面積的計算的知識，解題的關(guān)鍵是求得正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)

并牢記扇形的面積計算公式，難度不大.

【變式4?2】（2022.陜西西安??？寄M預(yù)測）劉徽是中國古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出

了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓的面積.設(shè)。。的半徑為2,若用O。的內(nèi)

接正六邊形的面積來近似估計O0的面積，則O。的面積約為.

【分析】連接。4OB，根據(jù)正多邊形和圓的關(guān)系可判斷出404B為等邊三角形，過點。作OM1AB于點M,

再利用勾股定理即可求出0M長，進而可求出△40B的面積，最后利用O。的面積約為650。8即可計算出結(jié)

果.

【詳解】解：如圖，連接。人OB

E、~C

由題意可得：乙4。8=360+6=60°

■：OA=OB=2

???△。力8為等邊三角形，

：.AB=2

過點。作。M1/W于點M，則4M=BM=1

在田△40M中，OM=V22-I2=V3

??.O。的面積約為6sM。8=6V3

故答案為：6V3.

【點撥】本題主要考查正多邊形與圓、勾股定理等，正確應(yīng)用正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式4-3].（2023?河南省直轄縣級單位統(tǒng)考二模）如圖，已知正六邊形力BCDE產(chǎn)，O。是此正六邊形的外

接圓，若4B=2,則陰影部分的面積是______.

R

【答案】2/+4

【分析】如圖，連接，。力交研于G,由正六邊形的性質(zhì)可得出A4。/?是等邊三角形，AOFR會

△ODB，進而可得陰影部分的面積=三角形OB/7的面積x2+扇形OFED的面積，然后根據(jù)三角形的面積和扇形

的面積公式解答即可.

【詳解】解：如圖，連接。4OB,OF,。。,04交BF于G,

。是正六邊形48CDEF的外接圓，

：.0A=OB=OF=OD/BOF=LBOD=乙DOF=120°,/.AOB=60°,OG1BF,

「.△NOB是等邊三角形，△OFB=△ODB,

：.0A=OB=AB=2,

???陰影部分的面積二三角形。"的面積x2+扇形OFED的面積，

在直角三角形OBG中,OG=0B,cos60°=L8G=。8?sin60。=V3,

???陰影部分的面積WxlxV3x2x2+^^=2次+4；

ZoovS

故答案為：2百+）

【點撥】本題考查了正多邊形和圓以及不規(guī)則圖形面積的計算，正確添加輔助線、熟練掌握正多邊形和圓

的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

題型05正多邊形與圓中求周長

［例5］（2023?廣西欽州?統(tǒng)考一模）如圖，若一個正六動形的對角線的長為10，則正六邊形的周長（）

B

A.5B.6C.30D.36

【答案】c

【分析】連接CD、EF，交于點。，則點。是正六邊形的中心，先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得乙10C=60。，

OC=OA=\AB=5,再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得AC=。4=5,由此即可得.

【詳解】解：如圖，連接皿EF,交于點。，

則點。是正六邊形4CEBDF的中心,

.?六邊形4CEBDF是正六邊形，4B=10,

44。01

/.Z/1OC=—6=60°,2OC=OA=-AB=5,

.??△力。0是等邊三角形，

AC=OA=5,

?.正六邊形4CE8DF的周長為5x6=30,

故選：C.

【點撥】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式5-1]（2023?吉林松原?統(tǒng)考二模）如圖，已知圓內(nèi)接正六邊形的周長為24,則圖中陰影部分圖形的周

【分析】連接。4,OB,根據(jù)正六邊形ABCD"是。。的內(nèi)接六邊形得出好=BC=CD=DE=EF=AF,

求出圓心角乙力。8的度數(shù)，再求出弧力8的長度,最后求出答案即可.

【詳解】解：連接。人OB,

B

???六邊形力BG9EF是正六邊形，圓內(nèi)接正六邊形的周長為24,

AB=BC=CD=DE=EF=AF,

二正六邊形ABCD"的邊長為4,

:.AB=4,

Z.AOB=-x360°=60°,

6

vOA=OB,

.??△力。8是等邊三角形，

OA=OB=AB=4,

二陰影部分的周長是甯+4=5+4.

loUS

故答案為：齷+4.

【點撥】本題考直了正多邊形的性質(zhì)，扇形的面積公式等知識點，能求出圓心角乙4。8的度數(shù)是解此題的關(guān)

鍵.

【變式5-2]（2023?陜西西安?高新一中?？寄M預(yù)測）如圖，已知圓內(nèi)接正六邊形43CD"的邊心距。G等于

3V3,則。。的周長等于.

【分析】連接OC、0D，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到=60。，0C=0D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CG=

DG/COG=^COD=30°,利用三角函數(shù)解直角三角形得到求出半徑，再根圓的周長計算即可解題.

../-COD=60°,OC=OD,

-.OG1CD,

CG=DG,乙COG=^COD=30°,

.OG=3V3,

..℃=$=38+33。。=6,

.'.0。的周長2x6rr=127r.

故答案為：12rr.

【點撥】本題考查正多邊形與圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、圓的周長計算等知識，熟練

掌握正六邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3]（2023?江蘇南京?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正六邊形ABODE/中，48=4,順次連接718、BC、

CD、DE、凡4的中點4、/、G、名、Ei、&,則六邊形力津16。1J月的周長是

【分析】連接力C,過點8作BM1&Bi于點M,先說明六邊形4BIGDIE/I為正六邊形，然后根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)，三角函數(shù)求出4道，-2V3,即可得出周長.

【詳解】解：連接4c,過點8作8M1①當(dāng)于點M,如圖所示：

.?六邊形A8CDEF為正六邊形，

：.BC=CD=DE=EF=FA=AB=4,^ABC=180°--=120°,

6

,.4、Bl為AB、8c的中點，

「ABi=,

同理可得：BG=”D,GDl=/E,DXEX=\DF，民F]="E,F]A]=旨8,

..六邊形力8CDE尸為正六邊形，

：.AC=BD=CE=DF=EA=F3,

=Big=C1D1=D1E1=E]F]=F1/l1,

?「48=^AB=2,B]B=^BC=2,

.".AiB=B]B,

〈BM1A1氏,

「?NAIBM==60°,41M=,

.AM=AXBxsin60°=2Xy=V3,

「AB]=2V3,

???六邊形4叢4。[￡/]的周長是6乂2百=12V3.

故答案為：12V3.

【點撥】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形中位線的性質(zhì)，

解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出AB】=2V3.

題型06正多邊形與圓中求邊心距、邊長

[例6]（2023河北衡水衡水和緘中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，。。是正五邊形4BCDE的外接圓，這個正五邊

形的邊長為a,半徑為R,邊心距為r,則下列關(guān)系式錯誤的是（）

A.r=/?cos36°B.a=2/?sin36°C.a=2rtan36°D.a=rsin360

【答案】D

【分析】先根據(jù)正多邊形的性質(zhì)求出乙80C=72。，進而求出乙1=36。，“="，再解直角三角形即可得

到答案.

【詳解】解：vO。是正五邊形力8。?！甑耐饨訄A，

0Z.BOC=-x360°=72°,

\OB=OC,OF1BC,

“2。。="=36。，吟叫。，

=Rsin36。，即a=2/?sin36°,故B不符合題意；D符合題意；

=rta/736o,即a=2rta〃36°,故C不符合題意；

cos36°=,即廠=Rcos36。，故A不符合題意；

K

古媾：D.

【點撥】本題考查了圓內(nèi)接正五邊形、解直角三角形的知識，掌握圓內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)，并求出中心角

的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式6?1】（2023.四川瀘州.四川省瀘縣第四中學(xué)?？家荒＃┮阎?。。的半徑為I,則它的內(nèi)接正三角形邊

心距為.

【答案】;/0.5

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：如圖，△48。是等邊三角形。是△48。的外接圓，過點。作。。1BC，連接OB,0C,OB=1,

A

V乙BOC=244=120°,OD=OC,

：.WBD=30°,

在吊△08D中,OD=；OB=]

故答案為：1.

【點撥】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是

解題的關(guān)鍵.

【變式6-2]（2023.陜西西安??？级＃┤鐖D，已知。。的內(nèi)接正六邊形48C0EF的邊心距。”是百，則正

六邊形的邊長為.

----------------------------

【答案】2

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)可求出乙DOE=60。，進而得出^DOE是正三角形，由圓內(nèi)接正六邊形

的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系可求出邊長.

【詳解】解：如圖，連接。。、0E.

???六邊形48CDE/是O。的內(nèi)接正六邊形，

.../DOE=—=60°,

6

vOD=OE,

???△D0E是IEH角形，

???0。的內(nèi)接正六邊形A8CD"的邊心距。M是V5,

???0。=詈x2=2=Z）E,

即正六邊形48CDEF的邊長為2,

故答案為：2.

【點撥】本題考查正多邊形與圓，勾股定理，掌握圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)是

解決問題的關(guān)鍵.

【變式6-31（2023.湖南衡陽??？寄M預(yù)測）已知圓的半徑為R,那么它的內(nèi)接正三角形的邊長

>_________________.

【答案】V37?

【分析】根據(jù)正三角形外心的性質(zhì)得力。IBC,OC=R,^BCE=30。，BC=2CD,再根據(jù)含30度直角三

角形的性質(zhì)及勾股定理求出邊長即可.

【詳解】解：如圖所示，。為正三角形△4BC外接圓的圓心，

A

:.AD1BC,OC=R,乙BCE=\LBCA=30°,BC=2CD,

在法△ODC中,

v乙BCE=30°,OC=R,

?..0D*OCWR,CD=7OC2-OD2=與R,

BC=\[3R

故答案為：y/3R

【點撥】本題考查圓與正多邊形的相關(guān)計算,解題關(guān)鍵掌握正三角形外心的性質(zhì).

【變式6-4]（2022.陜西西安?高新一中?？寄M預(yù)測）半徑為4的正六邊形的邊心距為.

【答案】2V3

【分析】首先根據(jù)題意作出圖形，由正六邊形的性質(zhì)，易得△80。是等邊三角形，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，

可求得?！钡闹?，繼而可求得答案.

【詳解】解：如圖所示,連接。民0C，作。"18c與H,

??此六邊形是正六邊形，

???Z.BOC=360°+6=60°,OB=0C,

???△80C是等邊三角形，

Z.OBC=60°,

???正六邊形的半徑為4,

v0B=4,

???OH1BC,

.??在R△。8,中,

OH=4X”2V5,

即這個正六邊形的邊心距為26.

故答案為：2V3.

【點撥】本題考查了正多邊形與圓的知識，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線；由正六邊

形的性質(zhì)判斷出八BOC的形狀是解答此題的關(guān)鍵.

題型07正多邊形與圓中求線段長

【例7】（2023?安徽六安統(tǒng)考三模）如圖,正六邊形4BC0EF的邊長為6，點。是其中心，點P是A8上一

A.2B.2V7C.4D.6

【答案】B

【分析】如圖，連接。力，作OG1AB,垂足為G，構(gòu)造直角三角形；

RAOAG中,OG=OAsinWAG=373,由勾月殳定理，OP=>JOG2+PG2=2^7.

【詳解】如圖，連接。4,作OG1AB,垂足為點G,則。4=6,AG=^AB=3

R△O71G中，OG=OAsin^OAG=6xsin60°=3痘,PG=AG-AP=3--x6=l

：.0P=VOG2+P<72=+(3V3)2=2V7

古煙：B.

【點撥】本題考查正多邊形的性反，解直角三角形；通過添設(shè)輔助線將正多邊形問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形

問題是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1]（2023?河北石家莊?統(tǒng)考二模）如圖,在邊長為6療的正六邊形A3CDE”中，連接DE,CF,相交

于點O,若點M,N分別為OB,OF的中點，則MN的長為（）

A.6B.6V3C.8D.9

【答案】D

【分析】連接B/，利用8C尸是含30。角的直角三角形，再利用MN是三角形BOF的中位線求MN即可.

;近六邊形4BCDEF中，Z/4=LABC=120°,AB=AF,

J.AABV=30°

：./-CBF=Z.ABC-乙ABF=90°,

..在正六邊形48co1中,Z.BOC=60°,OB=OC

??.BOC是等邊三角形，

"BCF=90°,

.??8CF是含30。角的直角三角形

又?.正六邊形/BCD1的邊長為6b，即8c=6V3

“F=1275,

：.BF=VCF2-BC2=J(12V3)2-(6x/3)2=18

,?點M,N分別為OB,。尸的中點,

二.MN是三角形80r的中位線，

：.MN=-BF=9

古煙：D.

【點撥】本題考查正多邊形的內(nèi)角和中心角，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30。的直角三角形三邊關(guān)系，正

確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式7-2]（2023?浙江?統(tǒng)考二模）如圖，要擰開一個邊長為a的正六邊形螺帽，則扳手張開的開口b至少

為（）

A.2aB.V3aC.D."a

22

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，即是求該正六邊形的邊心距的2倍.構(gòu)造一個由半徑、半邊、邊心距組成的直角三角形，

且其半邊所對的角是30。，再根據(jù)說角三角函數(shù)的知識求解.

【詳解】設(shè)正多邊形的中心是。，其一邊是48,

Z.AOB=乙BOC=60。，

???OA=OB=AB=OC=BC,

???四邊形48co是菱形，

vAB=a,Z.AOB=60°,

???COSZ.BAC=—,

AB

:.AM=ya,

???0A=0C,且匕408=LBOC,

AM=MC=AC,

2

:.AC=2AM=V3a.

扳手張開的開口b至少為.

【點撥】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3]（2023?安徽合肥統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正方形4BCD和等邊三角形4E/均內(nèi)接于O。，則第的

值為（）

A-TB.苧C.孝D.當(dāng)

【答案】D

【分析】如圖所示，連接4c,CE,由正方形的性質(zhì)得到4力BC=90°,LACB=45。，貝必。是直徑，即可得

到，/!EC=90。，解心△48。得到＜8=^-AC,再由等邊三角形的性質(zhì)和圓周角定理得到乙4CE=^AFE=

60。，解R△4EC得到=^ACt由此即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，連接AC,CE.

.?四邊形A8C0是正方形，

：./-ABC=90。，4AC8=45°,

.MC是直徑，

.."EC=90°,

在吊△48C中,AB=AC-sinACB=^-AC,

?.?△4EF是等邊三角形，

..Z.ACE=Z.AFE=60°

在田△4EC中，4E=4C?sinACE=^-AC,

HL

.竺_五_漁

五一立一1-，

?2

故選D.

【點撥】本題主要考查了正多邊形與圓，解直角三角形，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

題型08正多邊形與圓中求最值

［例8］（2023?河北滄州模擬預(yù)測）如圖，將Y正世形繞其中心。